在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)創(chuàng)新思維
——以三角形中位線的教學(xué)為例

王玉宏

(江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院 225000 )

1 問題的提出

當(dāng)前時(shí)代，人類的知識(shí)總量呈幾何級(jí)數(shù)增長，人工智能技術(shù)飛速發(fā)展，如果課堂教學(xué)僅僅關(guān)注知識(shí)的積累和技能的訓(xùn)練，那么人類在知識(shí)記憶貯量和技能熟練程度上，現(xiàn)在連一部智能手機(jī)都比不上．因此，學(xué)生學(xué)習(xí)的最大任務(wù)是學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)創(chuàng)新．當(dāng)前，作為思維科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)科，課堂教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)有余，重視創(chuàng)新不足．為此，課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)將創(chuàng)新意識(shí)作為核心概念之一，并將傳統(tǒng)“雙基”擴(kuò)充為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將傳統(tǒng)“兩能”擴(kuò)充為“四能”，即分析和解決問題的能力、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．隨著課程改革的深入實(shí)施，數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)該而且可以在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力上作出本學(xué)科應(yīng)有的貢獻(xiàn)．

2 關(guān)于創(chuàng)新思維的教學(xué)課例

筆者曾參與蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第九章第五節(jié)“三角形中位線”一課的磨課活動(dòng)，本節(jié)課著力培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力，現(xiàn)將教學(xué)流程簡述如下．

2.1 板塊一：認(rèn)識(shí)三角形的中位線

問題1三角形中除了組成三角形的三條邊，我們還學(xué)過哪些與之相關(guān)的重要線段？它們有哪些特殊性質(zhì)？

逐步投影出示相關(guān)圖形，師生共同結(jié)合圖形回憶三角形的三條重要相關(guān)線段：三角形的角平分線、中線、高及其性質(zhì)．

問題2除了三角形的角平分線、中線和高，你認(rèn)為還有哪些與三角形相關(guān)的重要特殊線段？嘗試畫一畫．

學(xué)生先獨(dú)立嘗試，再小組交流，最后大班展示，學(xué)生展示的成果有三角形面積三等分線、連接三角形兩高垂足的線段、連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段等，教師揭示課題及中位線的概念：今天我們就來研究連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段——三角形的中位線，這是大家新發(fā)現(xiàn)的一條與三角形相關(guān)的重要特殊線段．

【設(shè)計(jì)意圖】這里沒有以教材中“三角形剪拼平行四邊形”來引入課題，而是以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的與三角形相關(guān)的重要線段為知識(shí)生長點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己提出新的研究對(duì)象，解決教材引入“不是做不到，而是想不到”的問題．

問題3(投影出示△ABC)三角形的中位線有幾條？請(qǐng)把它們?nèi)慨嫵鰜恚切蔚闹形痪€與三角形的中線有何異同？

【設(shè)計(jì)意圖】這里通過變式與反例促進(jìn)概念的深化理解．學(xué)生嘗試畫出三角形的所有中位線，既在動(dòng)手操作中鞏固應(yīng)用了概念，又自己發(fā)現(xiàn)三角形中位線的各種變式圖形．比較三角形的中位線與中線的異同，通過反例(中線)深化對(duì)概念內(nèi)涵的理解．

2.2 板塊二：研究三角形的中位線

問題4研究一個(gè)幾何對(duì)象，我們一般按照什么思路去研究？我們已經(jīng)獲得了一個(gè)新的幾何對(duì)象——三角形的中位線，對(duì)它我們下面將要研究什么？

教師舉例并引導(dǎo)學(xué)生回憶過去研究幾何對(duì)象的一般思路，展望三角形中位線后續(xù)研究的路徑，聚焦三角形中位線的性質(zhì)．

【設(shè)計(jì)意圖】這里向?qū)W生滲透研究一個(gè)幾何對(duì)象的一般路徑：概念—性質(zhì)—應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己規(guī)劃研究路徑、自己發(fā)現(xiàn)和提出研究問題．

問題5研究三角形中位線的性質(zhì)，我們可以先從一些特殊的三角形入手，請(qǐng)嘗試畫一些特殊三角形及其中位線，你有什么發(fā)現(xiàn)？再研究一般情況，嘗試畫一個(gè)一般三角形及其中位線，你的發(fā)現(xiàn)在一般三角形中成立嗎？

學(xué)生先小組合作，從特殊(如圖1所示的等邊三角形△ABC和等腰直角三角形△ABC)到一般研究三角形中位線的性質(zhì)，再大班交流展示，引導(dǎo)學(xué)生猜想得到結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

圖1

問題6猜想經(jīng)過嚴(yán)格證明才能成為定理，如何證明我們的猜想？

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】問題5、問題6讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)幾何性質(zhì)探究的全過程：先歸納推理，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再演繹推理，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想證明結(jié)論，從而向?qū)W生滲透科學(xué)探究的一般方法．學(xué)習(xí)三角形中位線定理的作用，除了定理所具備的計(jì)算或證明其它問題的工具性，還有定理本身證明過程附載轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想和截長補(bǔ)短數(shù)學(xué)方法的載體性，兩者不能偏廢．

2.3 板塊三：應(yīng)用三角形的中位線

問題7(投影圖形略)如圖，A、B兩棵樹被池塘阻隔，如何運(yùn)用三角形中位線定理測(cè)量A、B兩棵樹間的距離？

追問：如果中位線的兩端也被阻隔、不能直接測(cè)量，如何測(cè)量AB長？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再交流匯報(bào)．

【設(shè)計(jì)意圖】問題7是三角形中位線定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，需要學(xué)生會(huì)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將測(cè)量AB長轉(zhuǎn)化為測(cè)量其對(duì)應(yīng)的中位線長．通過追問可以檢測(cè)學(xué)生是否掌握解決這類問題的實(shí)質(zhì)．

問題8如圖3，請(qǐng)分別畫出四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，并順次連接E、F、G、H四點(diǎn)．試判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．

圖3

追問1：四邊形ABCD是一般四邊形，其中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，由此你能聯(lián)想到什么，或能提出哪些問題？

追問2：特殊四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH僅是平行四邊形嗎？為什么？

追問3：中點(diǎn)四邊形EFGH要是菱形，原四邊形ABCD必須是矩形嗎？

追問4：中點(diǎn)四邊形EFGH要是矩形，原四邊形ABCD需滿足什么條件？

問題及追問逐步投影出示，每個(gè)問題都讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再交流匯報(bào)，最后教師小結(jié)：一個(gè)常用輔助線——遇中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，一個(gè)規(guī)律——中點(diǎn)四邊形的形狀決定于原四邊形對(duì)角線之間的關(guān)系．

【設(shè)計(jì)意圖】問題8是三角形中位線定理在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，讓學(xué)生嘗試先猜想再證明的探究歷程．追問1、追問2遵循“一般性寓于特殊性之中”的哲學(xué)原理，引導(dǎo)學(xué)生由一般四邊形發(fā)散、拓展到特殊四邊形，由一個(gè)命題得到一組命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí)．追問3、追問4通過追問揭示決定中點(diǎn)四邊形形狀的本質(zhì)因素，有利于學(xué)生養(yǎng)成追根求源、深入思考的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．

2.4 板塊四：小結(jié)與反思

問題9今天我們研究了什么？我們是如何研究的，你有何體會(huì)和感悟？

學(xué)生交流匯報(bào)，教師適時(shí)通過追問予以強(qiáng)調(diào)和明晰．

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題9引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本的思想方法，更重視對(duì)研究歷程、研究方法的反思感悟，提升學(xué)生的元認(rèn)知水平．

3 關(guān)于創(chuàng)新思維的教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新思維”，就要讓學(xué)生敢于提出研究對(duì)象、讓學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)劃研究路徑、讓學(xué)生掌握科學(xué)探究方法、讓學(xué)生感悟基本數(shù)學(xué)思想.

(1) 讓學(xué)生敢于提出研究對(duì)象

甘做十年冷板凳的青年科學(xué)家韓春雨在基因編輯技術(shù)領(lǐng)域的研究經(jīng)歷非常曲折，先是做跟隨研究，但不斷被別人搶先取得成功，后來開辟新的基因編輯技術(shù)途徑，通過努力終于取得諾獎(jiǎng)級(jí)成果．這充分說明開辟新的研究領(lǐng)域、提出新的研究對(duì)象的重要性，課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生敢于自己提出研究對(duì)象．

三角形中位線的引入，過去有以下幾種典型做法：“餡餅”式引入，讓學(xué)生將三角形剪拼成平行四邊形從而引入三角形中位線，這樣的引入學(xué)生會(huì)生發(fā)“怎樣才能想到這樣操作就能發(fā)現(xiàn)三角形中位線及其性質(zhì)”的疑問，學(xué)生做得到但想不到；“圈套”式引入，讓學(xué)生按步驟取中點(diǎn)、畫中位線、測(cè)量角度和長度、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這樣的過度牽引除了動(dòng)手操作毫無思維含量；“倒敘”式引入，由三角形中位線的應(yīng)用引入，這樣的引入除了激發(fā)興趣還是不能解決如何想到的問題．本文課例將“三角形的相關(guān)線段(中線等)”作為三角形中位線的知識(shí)生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)“發(fā)現(xiàn)”三角形的相關(guān)線段，從而提出新的研究對(duì)象．從學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)生發(fā)，順應(yīng)學(xué)生知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯線索[1]，是學(xué)生想得到、提得出新的研究對(duì)象的關(guān)鍵．

(2)讓學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)劃研究路徑

成語“南轅北轍”充分說明研究對(duì)象確定后規(guī)劃研究路徑的重要性，課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己規(guī)劃研究路徑．

本文課例在引入三角形中位線后，師生共同回憶過去已有研究經(jīng)驗(yàn)，以已經(jīng)研究過的幾何對(duì)象為先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃、設(shè)計(jì)三角形中位線的研究路徑：概念—性質(zhì)—應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究的路徑規(guī)劃意識(shí)，從而提升研究效率．先行組織者的使用是規(guī)劃研究路徑的關(guān)鍵．

(3) 讓學(xué)生掌握科學(xué)探究方法

科學(xué)發(fā)現(xiàn)有其自身規(guī)律，一般先由個(gè)別現(xiàn)象猜想一般規(guī)律，再實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證(自然科學(xué))或嚴(yán)格證明(數(shù)學(xué)科學(xué))，課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生掌握基本的科學(xué)探究方法．

本文課例在探究三角形中位線的性質(zhì)時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生從特殊三角形(等邊三角形和等腰直角三角形)入手探究三角形中位線所具有的性質(zhì)，從而猜想一般結(jié)論，再嚴(yán)格證明猜想在一般情況下也成立，從而得到三角形中位線的性質(zhì)定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)科學(xué)探究的全過程．從特殊到一般猜想結(jié)論是歸納推理，嚴(yán)格證明猜想成立是演繹推理，推理是科學(xué)探究的基本方法．兩種推理不能偏廢，因?yàn)闅w納推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理是證明結(jié)論，它們是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的雙翼[2]．

(4)讓學(xué)生感悟基本數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是人們?cè)诮?shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)所應(yīng)用的基本思想．但數(shù)學(xué)思想從來就不是數(shù)學(xué)家的專利，也不是只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中才能發(fā)揮它的作用．科學(xué)研究早已經(jīng)走向定量化，數(shù)學(xué)思想隨著數(shù)學(xué)幾乎滲透到了各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域．可以毫不夸張地說，數(shù)學(xué)思想幾乎存在于人類的各種思維活動(dòng)中，具有最大的廣泛性和深刻性[3]，課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生感悟基本的數(shù)學(xué)思想．

本文課例中對(duì)三角形中位線的研究充分應(yīng)用了推理的基本思想，如由特殊到一般猜想結(jié)論，這是推理思想下一般化的轉(zhuǎn)化方法；由一般四邊形到特殊四邊形研究中點(diǎn)四邊形，這是推理思想下特殊化的轉(zhuǎn)化方法；定理證明中將線段之間的平行和倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為加倍后線段之間的平行且相等關(guān)系，從而將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題，這是推理思想下的命題轉(zhuǎn)化方法，這些推理思想和具體轉(zhuǎn)化方法在科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛．?dāng)?shù)學(xué)基本思想應(yīng)有意識(shí)地不斷向?qū)W生滲透，課堂教學(xué)時(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用中感悟，課堂小結(jié)時(shí)讓學(xué)生在反思中明晰，后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)讓學(xué)生在有意識(shí)的應(yīng)用中強(qiáng)化．

(5)讓學(xué)生養(yǎng)成深入思考習(xí)慣

一個(gè)自然或社會(huì)現(xiàn)象在研究清楚它們之前總是讓人們感覺紛繁復(fù)雜、茫然無緒，需要研究者能撥開迷霧、抽絲剝繭看到問題的本質(zhì)，從而抓住本質(zhì)解決問題，課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成深入思考、追尋本質(zhì)的習(xí)慣．

本文課例中，問題8后變式追問：中點(diǎn)四邊形要是菱形，原四邊形必須是矩形嗎？中點(diǎn)四邊形要是矩形，原四邊形需滿足什么條件？讓學(xué)生探究決定中點(diǎn)四邊形形狀的本質(zhì)因素，可以讓學(xué)生意識(shí)到許多現(xiàn)象不能只看到表象，而應(yīng)看到表象背后的本質(zhì)，許多問題不能就題論題，而應(yīng)多問一句究竟是什么、為什么，或反過來再多想一下，提升學(xué)生思維的深刻性，養(yǎng)成追根求源、深入思考的良好習(xí)慣．