直線方程、傾斜角與斜率的教學實踐與反思

伍春蘭

(北京教育學院數(shù)學系 100120)

2016年底，筆者以“直線方程、傾斜角與斜率”為題，在某地著名中學給高一學生上了一節(jié)課. 學生的數(shù)學學習基礎(chǔ)良好，成績優(yōu)秀.

直線方程的概念本質(zhì)上是刻畫直線與方程的一一對應(yīng)的關(guān)系，這是解析幾何可以用方程(代數(shù))研究直線(幾何)的基礎(chǔ). 雖然直線方程的概念有些抽象，但思考問題的角度和方法都是數(shù)學味道的體現(xiàn). 直線的傾斜角與斜率概念、公式，作為事實性知識不難理解，如果就事論事直接給出，省時省力，但學生錯失了一次思維體操的機會. 把學生思維參與作為一個重要指標，并且從解析幾何入門課的身份考量，筆者就直線方程的概念、傾斜角概念、斜率定義及斜率公式四大教學要點反思.

1 直線方程的概念的了解

直線方程的概念有正反兩方面含義：方程的直線(直線上點的坐標都是這個方程的解)和直線的方程(方程的解為坐標的點都是直線上的點). 概念的表述從字面上看似繞口令，如果照本宣科只講其表，學生易被繞進去不知所云. 在多次教師資格考試中，筆者發(fā)現(xiàn)直線方程的概念不少考生把自己都講糊涂了. 為規(guī)避難點，有的教科書不提直線方程的概念，轉(zhuǎn)而默認直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系. 將直線與其方程視為一體不去深究的好處是，減輕了學生的認知負荷. 但筆者主張有必要讓中等水平及以上的學生思考直線與其方程的關(guān)系，理由有二：

第一，解析幾何研究直線，就是借助坐標把直線(幾何)問題轉(zhuǎn)化為方程(代數(shù))問題，通過方程(代數(shù))運算研究直線(幾何)的性質(zhì). 問題是直線轉(zhuǎn)化為方程是否“充分必要”，而“充分必要”是數(shù)學教學應(yīng)該培養(yǎng)的基本思維習慣，特別是高中.

第二，直線是解析幾何研究的最簡單的曲線，也是第一個研究的曲線，直線和方程的形與數(shù)的關(guān)系學生是有基礎(chǔ)的，因為他們在初中學過一次函數(shù)，并畫過具體的一次函數(shù)圖象. 基于學生已有的經(jīng)驗，是可以讓他們接受的，人民教育出版社的普通高中課程標準實驗B版教科書，就涉及了直線方程的概念[1].

1.1 直線方程的概念片段回放

先出示x-y-1=0，然后分步提問：(1)這個等式叫什么？(2)這個方程的解是什么？請舉出兩組解，并說明為什么是方程的解；(3)這兩組解在幾何上表示什么？(4)方程x-y-1=0所有的解在幾何上表示什么(幾何意義)？(5)反過來這條直線上任意一點滿足方程x-y-1=0嗎？

前4個問題，學生輕松破解. 問題(3)學生回答“點”時，筆者強調(diào)建立xOy直角坐標以后，有序數(shù)對(坐標)與平面上的“點”就建立了一一對應(yīng)關(guān)系. 問題(4)學生回答“直線”時，追問“為什么”，學生能利用一次函數(shù)y=x-1說明. 問題(5)筆者借助GeoGebra平臺，讓學生觀察直線上任意一點坐標，計算后發(fā)現(xiàn)滿足方程x-y-1=0，由此指出(直線的)方程x-y-1=0與(方程x-y-1=0的)直線的一一對應(yīng)關(guān)系.

接下來分別出示y-1=0、x-1=0，還是分步思考相應(yīng)的問題(1)到問題(5). 在此基礎(chǔ)上，歸納出直線方程的概念.

本環(huán)節(jié)最后，就解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒和費馬，及解析幾何基本研究方法做了簡單介紹. 笛卡兒創(chuàng)建的坐標系是為了解決幾何問題化歸成方程問題的結(jié)晶，而問題的提出源自笛卡兒解決所有問題的一個理論假說：任何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，繼而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最終化歸為方程的求解，這充分展現(xiàn)了“我思故我在”的笛卡兒兼具理性精神和創(chuàng)新品格.

1.2 直線方程的概念片段反思

本環(huán)節(jié)從一個具體的二元一次方程x-y-1=0出發(fā)，通過列舉方程的解和平面上點的關(guān)系，繼而將方程x-y-1=0變形為y=x-1，利用學生已有的一次函數(shù)y=x-1與直線的關(guān)系，得到方程x-y-1=0解的幾何直觀——直線. 然后利用信息技術(shù)，學生發(fā)現(xiàn)直線上的任意點的坐標也滿足方程，完成方程x-y-1=0與直線一一對應(yīng)的認識. 同時通過方程y-1=0、x-1=0，學生覺察到有些直線的代數(shù)表示未必能轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)(y=kx+b，k≠0)，意識到直線方程概念的合理性. 至于直線方程(Ax+By+C=0，A、B不能同時為零)的抽象，留待學完“直線的方程”一節(jié)再讓學生思考.

此設(shè)計特色有三. 第一，由學生熟悉的二元一次方程出發(fā)，從解的幾何意義、與一次函數(shù)的關(guān)系等不同以往的思考角度，激發(fā)了學生的好奇心；第二，作為解析幾何的首節(jié)課，舍得筆墨在直線方程的概念和數(shù)學史的相關(guān)內(nèi)容上，將數(shù)學文化的理性和創(chuàng)新精神融入其中，并契合“了解”這一定位，為后面學習圓錐曲線方程的概念打下良好基礎(chǔ)；第三，學生借助笛卡爾坐標這個橋梁，在初中學習的基礎(chǔ)上，對“數(shù)”與“形”的聯(lián)系有了進一步地認識.

2 直線的傾斜角的引入

角的定義有靜態(tài)和動態(tài)兩種，不同教材采用的傾斜角定義也有靜態(tài)和動態(tài)之別，但筆者認為作為直線傾斜程度的刻畫，簡單合理為上，所以傾斜角使用靜態(tài)定義更好.

2.1 直線的傾斜角片段回放

圖1

出示圖1提問：過(1,0)點的這些直線的差異是什么？學生回答：傾斜程度不同. 于是追問：傾斜程度相對誰？用什么量刻畫傾斜程度？學生回答：x軸；角.

圖2

圖3

圖4

接下來出示圖2至圖4，分步提出系列問題：選擇圖中∠1—∠4的哪個角刻畫傾斜程度？如何給選定的角命名？如何用文字語言描述你所選定的角？特殊的直線(不與x軸相交)傾斜程度的角如何規(guī)定？刻畫直線傾斜程度的角的范圍如何規(guī)定？得出上述問題的答案你的理由是什么？

在學生獨立思考基礎(chǔ)上，小組交流，最后展示傾斜角的概念.

2.2 直線的傾斜角片段反思

出示圖1用意有兩點，一是發(fā)現(xiàn)過一點不能確定一條直線，二是相對某軸(線)的傾斜程度不同(習慣以x軸為基準).描述傾斜程度，除了“角”，還有“斜率”，學生不預(yù)習是不知道“斜率”的，也很難想到用比值表示. 可能會想到k(y=kx+b)，因為學生在初中學習了一次函數(shù)，前面環(huán)節(jié)又借用了一次函數(shù)y=x-1與直線的關(guān)系. 但現(xiàn)場學生沒有提出k，只指出了“角”，這樣給“角”下定義的必要性就顯現(xiàn)了：刻畫直線的傾斜程度. 需要指出的是有的教材將直線斜率的概念先于直線的傾斜角，筆者不贊成這樣的安排. 因為表示傾斜程度，對學生而言“角”比“斜率”更自然更直觀，學生在課堂面對問題“用什么量刻畫傾斜程度”，只有“角”的答案可以支持筆者的觀點.

上述設(shè)計的系列問題，來源于傾斜角定義中所有規(guī)定的內(nèi)容，需要學生決策(選擇)，具有一定的挑戰(zhàn)性，又在其能力范圍內(nèi)，使他們積極投入到學習中，不僅經(jīng)歷了傾斜角“誕生”的全過程，也對定義的合理性有了較深認識，思維得到相應(yīng)鍛煉. 其中“用文字語言描述你所選定的角”，課堂上學生表達得不順暢，因為用精準的文字語言描述概念對學生而言是難點.但這種磕磕絆絆的經(jīng)歷，才能使學生真正體會教科書上的定義之妙，讓學生重視并較深入地理解概念，發(fā)現(xiàn)自己的不足(特別是學優(yōu)生)促其成長.

其實還可以更開放，比如不出示圖2至圖4，先讓學生思考直線與x軸的位置關(guān)系，自己畫圖再分別琢磨上述問題. 筆者考慮到與學生初次見面，還有很多同仁聽課，以及時間緊等原因，所以沒有采用后者的設(shè)計.

3 直線的斜率定義的構(gòu)建

有的教材不用傾斜角的正切值界定斜率，益處是可以規(guī)避沒有學習三角函數(shù)的尷尬. 但筆者主張還是用“直線的傾斜角α的正切值”定義直線的斜率k為好，理由是k=tanα(α≠90°)搭建了刻畫直線傾斜程度的形(傾斜角)和數(shù)(斜率)之間的關(guān)系，使斜率有了幾何直觀. 由于傾斜角的范圍：0°≤α<180°，而學生在初中學習過銳角三角函數(shù)，所以如果學生沒有學習三角函數(shù)(必修4的內(nèi)容)，在需要時給出傾斜角為鈍角時相應(yīng)正切的公式即可.

不少教師仿某教材，類比“坡度”引出“斜率”概念，筆者認為值得商榷. “坡度”是學生學習“解直角三角形”(9年級下冊)一章時，解決相關(guān)實際背景的習題時涉及的一個概念，教材直接給出. 筆者曾就“坡度”問題，隨機尋問幾位初中數(shù)學教師，他們都表示只是簡單介紹一下概念，不會讓學生做更多地思考. 例如，為什么斜面的“坡度”用坡面的“鉛直高度”與“水平寬度”的比[2]-[3]，而不用“鉛直高度”與“斜面長度”的比表示(見圖5)，這樣的問題教師不會有時間(面臨中考)讓學生探究的. “坡度”概念學生充其量只知其“表”不知其“本”，因此將“坡度”遷移到新概念(“斜率”)，無助“斜率”的理解. 另外，“坡度”解釋“斜率”定義的合理性也只局限在傾斜角為銳角的情形. 建議引入“斜率”概念后，再回顧“坡度”，說明“坡度”定義的合理性.

圖5

3.1 直線的斜率定義片段回放

(1)請畫過(1,0)、(2,1)兩點的直線，并求其方程及傾斜角.

(2)請畫過點(2,1)、傾斜角α為60°的直線，并求其方程. 思考：60°傾斜角在求直線方程過程和結(jié)果中是如何體現(xiàn)的？結(jié)合題(1)，你有什么猜想？

(3) 分別求直線方程y=kx+b的k：過A(2,1)，傾斜角為α(0°<α<90°、90°<α<180°).

(4)當直線傾斜角α=0°、90°，(3)的結(jié)論是否成立？

學生得到k=tanα(α≠90°)并命名，然后教師解讀斜率的含義并出示斜率定義.

3.2 直線的斜率定義片段反思

因為學生還沒有學習怎樣求直線的方程，此時他們只能借用初中的一次函數(shù)y=kx+b，通過待定系數(shù)求解.

題(1)不僅讓學生體驗了兩點確定一直線外，還復(fù)習了待定系數(shù)求直線方程的方法，同時傾斜角的求解為后面的猜想做了鋪墊. 題(2)需要將問題化歸為題(1)，即將傾斜角α為60°的條件，借助直角三角形通過正切找到另一個點. 觀察題(1)、(2)求得的方程，學生易猜想k=tanα. 這一發(fā)現(xiàn)，讓學生有些興奮，一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中k竟然與傾斜角α有瓜葛，點燃了學生進一步探究真?zhèn)蔚挠? 題(3)將傾斜角α一般化，分類求k，其解決問題的方法與題(2)相同. 題(4)考慮特殊的傾斜角α=0°、90°的情形.

通過題(2)、(3)的求解，學生體會到一點、一傾斜角α能確定一直線，但是還要將傾斜角α轉(zhuǎn)換成其正切值，而由題(3)、(4)，表明k=tanα(α≠90°)，此時為tanα下定義的必要性和合理性呼之欲出.

題(3)當傾斜角為90°<α<180°時，由于學生沒有學習三角函數(shù)，所以給出誘導(dǎo)公式：tan(180°-α)=-tanα. 另外，題(3)、(4)傾斜角α的分類，完全可以交給學生思考. 與上一環(huán)節(jié)的顧慮一樣，筆者沒有采用后者的設(shè)計.

本設(shè)計的特點是“做中思”，且題目之間環(huán)環(huán)相扣一舉數(shù)得，特別是為引出斜率公式(兩點式) 找到生長點.

4 直線的斜率公式的設(shè)計

(1)提問1：傾斜角和斜率都是描述直線傾斜程度，它們的差異和聯(lián)系是什么？

預(yù)設(shè)：差異是傾斜角是“形”，斜率是“數(shù)”；聯(lián)系是k=tanα(α≠90°).

意圖：明確傾斜角和斜率的差異和聯(lián)系.

(2)提問2：不借助傾斜角，已知什么條件可以求斜率？理由是什么？

預(yù)設(shè)：已知兩點；理由是：3.1環(huán)節(jié)題(1)的啟示；兩點定直線.

意圖：讓學生參與到問題的提出過程.

(3)提問3：已知兩點求斜率如何用符號語言表述問題？

指導(dǎo)(有需要時)：在直角坐標下，已知兩點就是知道兩點坐標.

預(yù)設(shè)：已知兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，求直線P1P2的斜率.

意圖：讓學生經(jīng)歷將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程.

(4)提問4：上述問題先不考慮特殊情況(x1=x2或y1=y2)，如何畫出圖形？需要分類嗎？

指導(dǎo)：畫圖不必考慮點所在坐標的位置，只需考慮兩點的相對位置及傾斜角的大小(分類).

預(yù)設(shè)：根據(jù)兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的相對位置及傾斜角的大小(銳角、鈍角)，分為4類，見圖6-圖9.

意圖：讓學生經(jīng)歷將較復(fù)雜數(shù)學問題，通過分類，數(shù)形結(jié)合地解決問題的過程.

圖6

圖7

圖8

圖9

(5)提問5：請分別計算圖6-圖9中P1P2的斜率.

意圖：學生能得到兩點斜率公式，發(fā)現(xiàn)公式與兩點坐標的順序無關(guān).

(6)提問6：請考慮特殊情況(x1=x2或y1=y2)，斜率兩點公式是否存在，并總結(jié)傾斜角、斜率、直線的關(guān)系.

預(yù)設(shè)：見表1

表1

意圖：在教師指導(dǎo)下,學生梳理傾斜角、斜率與直線的關(guān)系.

遺憾的是一節(jié)課(40分鐘)時間馬上到了，此環(huán)節(jié)設(shè)計的活動匆匆掠過，學生沒能充分參與.

5 結(jié)論

“直線方程、傾斜角與斜率”上述設(shè)計由兩部分組成. 第一部分有一個概念(直線方程)、一段歷史簡介；第二部分有兩個概念(傾斜角α；斜率k)、一個公式(斜率公式).

第一部分中的直線方程概念的教學意義，除了放心地將直線與其方程混為一談，重要性在于讓學生明白數(shù)學講“理”，重視嚴謹，數(shù)學推演過程既要考慮充分條件，也要思量必要條件.

第二部分是教學重點，概念引入的必要性、界定的合理性；兩個概念的共性、差異、聯(lián)系、拓展(和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)；公式的引入、推導(dǎo)等等都是具有數(shù)學味道的思考.

基于此，建議一氣呵成連排兩節(jié)課，多些學生的思維參與，少些教師的牽引替代.