從一道高考真題談函數(shù)導數(shù)壓軸題的備考

龍正武

(人民教育出版社 100081 )

近些年來的全國高考數(shù)學試卷中，函數(shù)導數(shù)題往往作為最后一道壓軸題出現(xiàn)，起到區(qū)分學生層次、選拔人才的作用，因此也深受廣大一線師生的關注.另一方面，函數(shù)導數(shù)題的考查方式靈活，所蘊含的思維量比較大，因此即使解題工具眾所周知，很多人仍然對函數(shù)導數(shù)題如何備考有無所適從的感覺.而且，同其他思想性較高的數(shù)學內(nèi)容一樣，對函數(shù)導數(shù)的內(nèi)容，高中學生也同樣是“一聽就懂，一做就錯，一講就會，一考就亂”，他們最大的困惑是：好的解題思路是從哪里來的？也就是說，在面對“山重水復疑無路”的困境時，如何找到“柳暗花明又一村”的途徑，是學生們最需解決的問題.

誠然，因為“對函數(shù)和導數(shù)的考查側(cè)重于理解和應用，試題有一定的綜合性，并與數(shù)學思想方法緊密結(jié)合，對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等都進行深入的考查，體現(xiàn)能力立意的命題原則”[1]，因此這類題的備考確實也是不容易的，但也不能說沒有方法可循.下面筆者以廣受討論的2014年全國甲卷第21題為例來說明這一點.該題原題如下：

已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值；

前面兩問無疑是常規(guī)的，第(Ⅰ)問考查了平均值不等式，做第(Ⅱ)問的關鍵是使用整體代換和分類討論，應該說只要基礎足夠好，完全是可以做出來的.

然而，如果對整個高中數(shù)學的知識都比較熟悉，計算能力又過關的話，試題分析所提到的思路和答案可以按照下述方式快速得到.

實際上，由第二問可得

g(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)，

而且

(1)當b≤2時，g(x)在(-∞,+∞)上遞增，且x>0時，g(x)>0；

為了求出ln2的近似值，當然需要借助這些結(jié)論.那么，接下來該如何思考呢？

首先，求一個數(shù)的近似值，而且要滿足給定的精度要求，這一方法在現(xiàn)行高中必修一的二分法中是有的，按照二分法求零點的想法，題目實際上需要找出兩個值t1與t2，使之滿足

t1

由此可知，可以通過g(x)>0或g(x)<0去得到想要的t1與t2.當然，在往下計算之前，我們要決定怎樣才能讓g(x)中出現(xiàn)ln2.由g(x)的表達式以及對數(shù)恒等式eln2=2不難想到，最直接的辦法就是在g(x)中代入x=ln2，即利用

又因為估計的精度取決于

有了上述對解題思路的“抽絲剝繭”過程，就可以看出，用上述思路順利做出第(Ⅲ)問的關鍵是：能夠理解函數(shù)與不等式之間的深刻聯(lián)系，能由二分法求函數(shù)零點精度的估計找到解題的大致思路，將題目給出的問題進行轉(zhuǎn)化，能通過不等式的求解得到最終的答案.其中，最后的一條中涉及分類討論以及大量的計算.從這個意義上來說，此題的解題思路其實是比較自然的，也無怪乎2017年的考試說明在點評此題時會提到：“試題是函數(shù)與導數(shù)的綜合性問題，涉及復合函數(shù)的求導、基本不等式、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，是主干知識的有機融合，新而不偏、難而不怪，較好地考察了分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和考生的推理論證能力、運算求解能力等，特別是第(Ⅲ)問體現(xiàn)了用簡單對象研究復雜對象的基本方法.”[1]

而且，雖然這個題是2014年的高考題，但是即使按照2017年統(tǒng)一考試大綱數(shù)學學科中“能力要求”的“創(chuàng)新意識”標準來看，這個題也是非常好的.事實上，2017年統(tǒng)一考試大綱對“創(chuàng)新意識”的表述為：“能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.”[3]不難看出，上述對第(III)問的分析完全是綜合與靈活應用所學數(shù)學知識、思想方法的結(jié)果.

那么，這些能夠給我們教學上什么啟示呢？在函數(shù)導數(shù)大題的備考這一方面，我們有什么樣的“章法”可循呢？

1.分析以往試題特點，破解思維難點

毫無疑問，分析與研究以往高考試題是大家了解命題思路最好的也是最便捷的途徑，這也是一線教師們經(jīng)常采用的方法.

一般來說，試題的研究主要包括3個方面：一是研究試題的考查內(nèi)容，具體包括問題類別的鑒定，問題所涉及的知識、方法、思想和能力的分析；二是研究求解問題的策略，包括解法思路及其由來、方法策略形成的過程；三是研究解法程序，包括解法步驟的確定、相關公式的選擇、推演過程的優(yōu)化.[4]

但這里筆者要補充的是，對于一線教師來說，試題的研究除了上述內(nèi)容之外，還要格外注意思維難點的破解，要研究怎樣才能啟發(fā)學生想到解題的方法，也就是如何教的問題.實際上，這一任務比分析解題思路的由來更加重要，畢竟最后參加考試的是學生，讓學生在盡可能短的時間內(nèi)獨立發(fā)現(xiàn)出解題思路、探索出解題途徑，才是我們高三復習教學的核心目標所在.

不難看到，上述2014年高考第(Ⅲ)問的講解，如果僅僅只是將答案呈現(xiàn)一遍，那么只會讓學生有種在看“變魔術(shù)”、覺得數(shù)學“難”“深奧”的感覺，思考問題的方式上不會有什么太大的收獲.但是，如果上課過程中，教師能與學生一起逐步進行探索和分析，破解解題過程中的難點，讓學生完整經(jīng)歷一遍思路的形成過程，甚至再要他們?nèi)ソ?jīng)歷一遍精度值不理想的計算過程，那么學生的解題能力、計算能力等，一定都能得提高.而且，筆者認為，只有帶領學生經(jīng)歷多次類似這樣的過程，才能真正達到波利亞所提倡的“教會年輕人思考”[5]的目的.

2.高度重視高考能力要求中的創(chuàng)新意識

2004年高中課程標準實施以來，考察學生的能力一直是高考命題的原則之一[6][7].在空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識以及創(chuàng)新意識這七大能力中，創(chuàng)新意識無疑是要求比較高的，而且歷年來導數(shù)的大題事實上都要求考生有較強的創(chuàng)新意識.例如，2016年全國I卷理科第21題的第(II)問，要求考生證明x1+x2<2，這同樣需要提出新的問題，將問題進行轉(zhuǎn)化才能完整地做出來.因此，如果要讓學生充分做好導數(shù)壓軸題的備考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識是必不可少的.

當然，復習備考過程中怎樣培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識是一個值得研究的問題.但是，筆者認為，考試大綱已經(jīng)給大家指明了途徑：“創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學問題的‘觀察、猜測、抽象、概括、證明’，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強.”[3]

這就是說，為了讓學生具有較強的創(chuàng)新意識，在平常教學的過程中，要讓學生充分經(jīng)歷觀察—猜測—抽象—概括—證明的全過程，要讓他們有發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的經(jīng)驗，并在這個過程中，學會對數(shù)學知識進行遷移、組合.從具體途徑上來講，在日常復習教學中，要加大對學生探索的鼓勵，讓他們敢于嘗試，尤其是要容許學生犯錯誤，從而培養(yǎng)學生的綜合分析能力.這在實際的教學過程中，是最容易被忽視的問題.筆者曾多次在高中的數(shù)學課堂上看到這樣的情形：有學生給出“方向不對”的解題思路時，教師為了趕進度，會不置可否，直接叫其他同學或者自己進行補充和糾正.這樣的處理方式當然是不利于學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)的.仔細分析每一年的函數(shù)導數(shù)題，都可以發(fā)現(xiàn)，題中會出現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，解題方法的選擇等，這就要求學生在審題和探索解題思路時，要有足夠快的反應能力，尤其是在發(fā)現(xiàn)已有的思路行不通時，要知道從哪些方面去轉(zhuǎn)換思路，提出新的問題，尋找突破的途徑.筆者相信，如果平常學生有多次類似的解題經(jīng)歷，在考場上就不至于慌張，從而也就能想出創(chuàng)造性的解題辦法來.當然，這樣的經(jīng)歷如果是在老師的指導下進行的，無疑會是最理想的.

還需要注意的是，學生創(chuàng)新意識的養(yǎng)成，是離不開“基礎”與“綜合”這兩個詞的.目前，高考內(nèi)容的改革中，強調(diào)要增強基礎性和綜合性.[8]圍繞基礎進行命題，無疑對一線高中數(shù)學的教學起到了很好的導向作用，使得一線教師教學的時候有了抓手.然而，現(xiàn)在的教學過程中也還是有值得注意的地方.例如，學生對基礎知識的掌握往往停留在識記的層面，忽視其中所蘊含的思想、原理與方法.這樣一來的一個后果就是，只有直接問到的東西才會回答，間接提到的內(nèi)容就不能快速地聯(lián)想.以上述涉及精度的估計來說，給定t2-t1≤0.001問區(qū)間[t1，t2]內(nèi)值的精確程度，學生往往是知道的，但是反過來很多學生就想不到了.再例如，對基本方法的掌握，學生往往能夠看得懂過程，但會忽視對為什么要這樣進行思考.以分類討論為例，絕大多數(shù)學生其實是不能迅速地得到前文中的(3)(4)兩個結(jié)論的.當然，這也就意味著，在基本方法的教學過程中，要帶領學生多問為什么，只有這樣，才能真正提高學生的答題能力和得分能力.

總而言之，函數(shù)導數(shù)作為壓軸題出現(xiàn)時，一定會是有難度的.而且，幾乎可以肯定的是，函數(shù)導數(shù)題的最后一問，一定會涉及問題的轉(zhuǎn)化，這就要求學生會發(fā)現(xiàn)和提出新問題，也就是創(chuàng)新意識要比較強才行.為此，高三教師在幫助學生進行函數(shù)導數(shù)備考時，要在學生創(chuàng)新意識培養(yǎng)方面多花時間和精力，要讓學生在掌握基礎知識和基本方法的基礎上，有多次解題思路的分析與嘗試的經(jīng)歷，使他們具有在考場產(chǎn)生頓悟的能力.這可以通過對歷年高考函數(shù)導數(shù)真題的分析來完成.