通過變題培養(yǎng)學(xué)生對新問題的把控能力

陳后萬 方均斌

(1浙江省洞頭區(qū)第一中學(xué) 325700; 2溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 325035)

素質(zhì)教育倡導(dǎo)對學(xué)生的能力培養(yǎng)，注重人的潛能開發(fā)，其根本在于每一個學(xué)生今后的發(fā)展和成長.而在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很大一部分高三學(xué)生雖做了大量的題，但面對一些“陌生的問題”還是無從下手，教師也總是抱怨：這種類型的題學(xué)生“曾經(jīng)做過”，但“換一個面孔后”學(xué)生為什么還是束手無策？雙方很受挫折.盡管原因很多，筆者認(rèn)為到高三一輪復(fù)習(xí)之后，基本功扎實(shí)的學(xué)生所欠缺不是基本知識點(diǎn)的整理歸納，而是綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高，是對知識的融會貫通.它不是讓學(xué)生成為一個“解題機(jī)器”，而是需要他們具有一定剖析能力、化歸水平，需要掌握透過表象抓實(shí)質(zhì)的本領(lǐng).

那么，在高三課堂教學(xué)中如何提高學(xué)生面對新問題的把控能力呢？筆者認(rèn)為在高三復(fù)習(xí)的后階段，教師可以通過改編、拼合、集擇等變題手段對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行適度處理，不僅提高學(xué)生面對新問題的分析、化歸能力，領(lǐng)悟新問題的本質(zhì)，還可以調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生猜測原題設(shè)計(jì)的意圖，讓師生共同進(jìn)入一個解題的新領(lǐng)域.當(dāng)然，變題有很多種方式，下面筆者就談?wù)勼w會最為深刻的三點(diǎn).

1 改編

我們這里的改編是指：(1)改寫原數(shù)學(xué)問題的條件，使形式更新、內(nèi)容更豐富；(2)改寫原題的結(jié)論，使封閉題成為開放題，拓展思維；(3)修改問題的呈現(xiàn)方式(如圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)換，或者題型的修改)，這些修改是一種讓學(xué)生領(lǐng)會編題者意圖的一種嘗試，也是提高學(xué)生駕馭新問題能力的一個舉措.

雖然只是由選擇題改為填空題，形式不同，卻可以說呆萌的變化，得到傲嬌的效果.

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

原題是三角函數(shù)問題，根據(jù)特殊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)和正余弦定理可以解決.原題圖形很不錯，以三角形為背景，抓住P點(diǎn)的軌跡是圓弧，既有美感又有規(guī)律，且原題條件符合極化恒等式的要求.

案例3原題(浙江省2006年高考題第10題)：f：A={1,2,3}到B={1,2,3}的映射滿足f[f(x)]=f(x),這樣的函數(shù)個數(shù)有多少?

原題主要考查映射概念，部分學(xué)生可以用例舉法求解(數(shù)量較少)，但容易造成遺漏，分類不完整，思維不嚴(yán)密.筆者將其變化為三個不等式，作為它的條件，相對原題更加突出對排列組合知識的考查，讓學(xué)生理解并運(yùn)用排列組合知識.在得出結(jié)論f(1)≥f(2)≥f(3)≥f(4)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用排列組合知識，分類求出結(jié)果.

這樣，提高了難度，豐富了原有內(nèi)容，訓(xùn)練了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.其實(shí)，不等式只是排列組合的條件和要求，學(xué)生必須聯(lián)系問題，學(xué)會深入分析、合理轉(zhuǎn)化，以鍛煉學(xué)生對新問題的剖析、化歸能力，提高透過表象抓住實(shí)質(zhì)的本領(lǐng).

案例4原題證明不等式

a2+b2+1≥ab+a+b.

改編題刪去右邊的代數(shù)式，改為a2+b2+1≥，在橫線上填入代數(shù)式，使之恒成立并給出證明.

學(xué)生甲：a2+b2+1≥1.

學(xué)生丙：a2+b2+1≥ab+a+b.

學(xué)生?。骸?/p>

這類題起點(diǎn)低，學(xué)生可以根據(jù)自己不同情況得出不同難度的結(jié)論.通過改編，將“封閉題”改為“開放題”，其對學(xué)生的思維訓(xùn)練要求顯然靈活了！

這樣的變題是為了欲擒故縱，先讓問題更開放，讓學(xué)生發(fā)散思維、積極聯(lián)想，再收網(wǎng)尋求解決問題的辦法.

通過改編題，可以讓學(xué)生將原有解法中不足點(diǎn)暴露出來，突顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；可以考查想要考查的重要概念、基本技能、思想方法；通過改編題，可以在知識點(diǎn)之間形成串聯(lián)、轉(zhuǎn)變，提高學(xué)生靈活應(yīng)用知識以及把控新問題的能力；通過改編題，可以讓學(xué)生站在更高的高度去思考問題，去猜測設(shè)計(jì)者的想法及設(shè)計(jì)意圖.

2 拼合

拼合就是對兩道或者幾道數(shù)學(xué)問題的解決方法進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)或者綜合，達(dá)到從解法少到多解或者從單科知識、技能的考核到多科的能力綜合.

這道題考查學(xué)生的基本向量知識與不等式最值的結(jié)合.

原題2已知a(2,0),b=(x,y)，若b與b-a的夾角為300，求|b|的最大值.(《中學(xué)教研》2014年第2期高考理科模擬卷)

這道題是比較典型的向量與三角形結(jié)合問題，但難度不大.

拼合題已知e1,e2是夾角為1200的兩個單位向量，a=4e1+4e2，b·(a-b)=2，求a與b夾角的最大值.

本題拼合的理由是兩道題都在向量背景下,分別考查學(xué)生應(yīng)用不等式和解三角形知識 (結(jié)合圖形).筆者通過拼合,適當(dāng)改變條件,讓其功能更加強(qiáng)大, 條件“b與b-a的夾角為300”改變?yōu)閎·(a-b)=2，使其原來可以容易作圖(向量的夾角)，變得似乎無從下手，學(xué)生甚至認(rèn)為只能從代數(shù)角度入手.但也不是很容易解決.

略解

b·(a-b)=|b|×|a|×cosθ-|b|2=2,

這里運(yùn)用了參數(shù)分離的想法，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用基本不等式等方法解決.本題若用向量等方法也可以解決，要求的能力更高，若用向量的投影和基本不等式解決，則“含金量”更高.

拼合題已知函數(shù)f(x)=4x-2x+1,若方程f(f(x))=a有兩個實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為.

原題1和2相同之處，都是分段函數(shù),同時都注重學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，以零點(diǎn)和方程的根為手段.通過拼合變題，轉(zhuǎn)變到對復(fù)合函數(shù)的考查，突出了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及定義域問題.對學(xué)生的邏輯思維要求更高.表面看似相似的問題，考查的卻是學(xué)生的不同能力，變換了角度，舊瓶裝新酒，以鍛煉學(xué)生把控新問題的能力.

拼合也是變題，只是另一種手段，一般是拼合兩道或者多道數(shù)學(xué)問題的知識點(diǎn)或解決方法，從更高角度去綜合問題，進(jìn)一步考查學(xué)生的能力.通過變換角度，讓學(xué)生從中尋找差異，求同存異，抓住問題本質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生的分析、歸納能力，善用化歸思想，以駕馭新問題.需要注意的是，若綜合的知識太多,難度會變大,拼合應(yīng)該要循序漸進(jìn),才有效果.同時在拼合時，不能過于機(jī)械，以免出現(xiàn)條件冗余，甚至矛盾的現(xiàn)象.

3 集擇

所謂集擇就是將若干個常見的數(shù)學(xué)問題條件集中在一起，要學(xué)生根據(jù)要求從中選擇出幾個條件得出一個結(jié)論；或者任給一個結(jié)論A，要求學(xué)生選擇其中所給的若干個條件作為條件，由這些條件推出結(jié)論A并讓學(xué)生體驗(yàn)編題的樂趣與艱辛.

案例7[1]問題△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，面積為S，分別給出以下條件：

③a2+b2-c2=4S；

⑥cos2C+cos2B-cos2A=1-2sinBsinC；

⑦(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)；

能否從中選擇三個條件或者自編條件，確定三角形？并求解剩余的元素？

該問題設(shè)計(jì)新穎,活躍了學(xué)生思維，活躍了課堂.一個問題既可以以點(diǎn)帶面，也可以四通八達(dá)，聯(lián)系各方面知識.如此變題，改變了以往學(xué)生拿一題做一題的習(xí)慣，要求學(xué)生自己去編題，去審視每個知識，這需要很強(qiáng)的理解能力和駕馭能力.對他們來說是一種全新挑戰(zhàn).

集擇是一種很好的提高應(yīng)對新問題的鍛煉方法，一則是學(xué)生必須透過一些表面的條件，抓住各條件隱含的本質(zhì)內(nèi)容；二是它使學(xué)生必須自己架構(gòu)問題，包括一些錯誤和不合理的想法，統(tǒng)統(tǒng)都要自己想辦法去否定、排除，充分提高了學(xué)生的分析和應(yīng)對能力.

案例8復(fù)習(xí)回顧已經(jīng)學(xué)過的空間中垂直的結(jié)論有哪些?請梳理一下，已知a,b,l是不同的直線，α，β是不重合的平面，從下列幾個條件中，選擇一些條件作為命題的主要條件和結(jié)論，構(gòu)造正確命題：

①l⊥a，②l⊥b，③b∥a，④b⊥α，⑤a⊥α，

⑥a⊥β，⑦b⊥α，⑧l(xiāng)⊥α,⑨α∥β,⑩α⊥β.

通過這一集擇，可以把垂直的知識框架整理出來:線線平行→線面垂直;面面平行→線面垂直;線面垂直→面面平行,等等.本案例把知識的復(fù)習(xí)變成一道題,讓學(xué)生從眾多的選支中梳理出相關(guān)結(jié)論,改變了常規(guī)一問一答式的復(fù)習(xí)方法.

集擇方法能讓學(xué)生體會如何去編題，對知識點(diǎn)的把握要求更加全面、更有高度，更能準(zhǔn)確聯(lián)系各個條件；集擇方法還能夠提高學(xué)生的分析能力、聯(lián)想能力，體會到解題、編題的樂趣.

數(shù)學(xué)問題的變題方法很多，我們就改編、拼合、集擇談幾點(diǎn)想法.我們認(rèn)為，學(xué)生甚至是老師陷入題海的根本原因是沒有對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行總結(jié)與變化，致使“解一題拋一題的現(xiàn)象”嚴(yán)重，而且我們還發(fā)現(xiàn)，很多老師對一道數(shù)學(xué)問題解法進(jìn)行總結(jié)的比較多，而對數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)剖析、問題來源、問題變化等進(jìn)行總結(jié)探索的比較少，這或許也是我國目前數(shù)學(xué)問題教學(xué)的一個“軟肋”.筆者長期的教學(xué)實(shí)踐體會是，要把數(shù)學(xué)問題的變化經(jīng)常呈現(xiàn)給學(xué)生(至于問題解決之前還是之后，需要看具體的情況)，不要隱去問題的來源，否則會讓學(xué)生被千變?nèi)f化的表面形式所迷惑.有時還需要和學(xué)生“一起變題”或者引導(dǎo)他們與命題者進(jìn)行“心靈上的對話”.只要長期堅(jiān)持，一定會讓學(xué)生“以不變應(yīng)萬變”，提升應(yīng)對數(shù)學(xué)問題新面孔的能力.