參數(shù)情形下第一類曲面積分的計算

任一雄1 ，徐懷

(1.安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

參數(shù)情形下第一類曲面積分的計算

任一雄1，徐懷2

(1.安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

第一類曲面積分有著廣泛的運用。主要研究當(dāng)曲面是以參數(shù)方程的形式給出時面積微元的計算方法，一種方法是采用法向量投影的思路，另外一種是直接計算曲面面積微元的方法，得出相同的結(jié)果。最后給出幾個數(shù)值的例子。

第一類曲面積分；二重積分；參數(shù)方程

(1)

類似地，依據(jù)不同的曲面方程，還可以在XoZ,或YoZ平面上計算這個第一型曲面積分， 在此不再贅述。

我們自然地考慮一個推廣情形，就是曲面方程是個參數(shù)方程時，如何計算這個第一型曲面積分，也就是能否把曲面投影到任何一個參數(shù)平面上，進而計算積分結(jié)果。在下文中將給出在任意參數(shù)平面上的計算公式，并給出兩種證明方法，最后給出兩個數(shù)值計算例子。

1 主要結(jié)論

定理設(shè)曲面S由如下參數(shù)方程描述：S:x=f(u，v),y=g(u，v),z=h(u,v),(u,v)∈D,

(2)

其中：

證明：

容易得到雅可比式：

代入化簡得：

因此曲面的面積微元為：

此時的第一型曲面積分的計算公式可表示為：

下面給出另外一個證明方法：

(方法2)取(u,v)坐標(biāo)下的兩組平行的線，它們之間的差分別為Δu,Δv，在曲面S上分別交于四個點M1,M2,M3,M4，面積微元也就是也就是求四邊形M1M2M3M4的面積，四點的坐標(biāo)分別是：

M1:

x1=f(u,v)

y1=g(u,v)

z1=h(u,v)

M2:

x2=f(u+Δu,v)

y2=g(u+Δu,v)

z2=h(u+Δu,v)

M3:

x3=f(u+Δu,v+Δv)

y3=g(u+Δu,v+Δv)

z3=h(u+Δu,v+Δv)

M4:

x4=f(u,v+Δv)

y4=g(u,v+Δv)

z4=h(u,v+Δv)

應(yīng)用向量的矢量積并略去高階無窮小得出面積微元的近似值為:

注:

(1)兩種證明方法都得到了同樣的面積元素，思考方式卻截然不同。第一種方法我們將曲面投影在我們熟知的直角坐標(biāo)系中，再由二重積分的換元公式得到(2)。第二種方法直接采用空間向量方法，應(yīng)用向量的矢量積，得到曲面面積微元的表達式。定理表明可以建立空間曲面的參數(shù)方程，在計算第一型曲面積分時，這樣選擇恰當(dāng)?shù)那鎱?shù)方程，可以大大簡化我們的計算[6-7]。

(2)特別的當(dāng)曲面方程為z=fx,y時，此時曲面的參數(shù)方程可視為S:x=x,y=y,z=f(x,y),(x,y)∈D。

可見(2)式是(1)式的一個推廣，(1)式是(2)式的一個特例。

2 數(shù)值例子

解：我們可以應(yīng)用參數(shù)方法的公式

設(shè)x=Rcosu,y=Rcosu,z=v，其中u∈(0,2π),v∈(0.H)

解：橢球面參數(shù)方程可寫為：

直接計算可得：

[1] Dold J W.An efficient surface-integral algorithm applied to unsteady gravity waves[J].Journal of Computational Physics,1992,103(1):90-115.

[2] 郭嗣琮,趙穎,韓建.基于結(jié)構(gòu)元的模糊值函數(shù)曲面積分[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2017,47(12):239-244.

[3] 劉春鳳,袁書娟.再談積分學(xué)——宏積分[J].河北聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,39(1):108-113.

[4] Wang Y.Simplifing the evaluation of the first type surface integral by element-method[J].Mathematical Theory & Applications,2010,42(5):224-236.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下)[M].2版.北京:高等教育出版社,2000:303-304.

[6] TUCK E O.Some accurate solutions of the lifting surface integral equation[J].Journal of the Australian Mathematical Society,1993,35(2):127-144.

[7] 寧榮健,周江濤.曲面積分的換元法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2017,33(2):73-78.

Calculation for the first Type Surface Integral in Parameter Equation

REN Yixiong1，XU Huai2

(1.School of Physics and Materials Science of Anhui University，Hefei Anhui 230039,China;2.School of Mathematics，Anhui University，Hefei Anhui 230039,China )

The first type surface integral is widely used.In this paper we present two proofs of the calculation formula when the surface is given by a parameter equation.One is using the method of vector projection method,the other is calculating area element of surface directly.Finally,we give two numerical example in the end of the article.

surface integral;double integral;parameter equation

2017-10-20

安徽高校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2016A033)

任一雄(1997-),男,內(nèi)蒙古烏蘭察布人,2016級應(yīng)用物理專業(yè)本科生,研究方向為理論物理。E-mail:b31614052@stu.ahu.edu.cn

徐懷，E-mail:Xuhai@ahu.edu.cn

O213.9

A

1004-2237(2017)06-0016-04

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.06.004