循環(huán)半群及其矩陣表示

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒 334001)

循環(huán)半群及其矩陣表示

徐誠(chéng)慷， 周彪， 石黃萍

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒 334001)

循環(huán)群在群同構(gòu)意義下只有兩類，即整數(shù)加法群和整數(shù)模n剩余類群。證明了循環(huán)半群共有6類，其中無(wú)限循環(huán)半群有整數(shù)加法群、非負(fù)整數(shù)加法半群和正整數(shù)加法半群這三類，而有限循環(huán)半群也只有三類：整數(shù)模n剩余類群，還有兩類變換半群。更進(jìn)一步，對(duì)有限循環(huán)半群給出兩個(gè)矩陣表示。

半群；循環(huán)半群；矩陣表示

1 循環(huán)半群的幾個(gè)例子

在這一部分我們先給出半群的定義，以及6個(gè)互不同構(gòu)的循環(huán)半群的例子。

定義1[1]設(shè)S是一個(gè)集合，在S上有一個(gè)二元運(yùn)算。若該二元運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱S為一個(gè)半群。若S含有單位元，則稱為幺半群。與循環(huán)群類似，若S可由一個(gè)元素a生成，則稱S為循環(huán)半群，記S=〈a〉。

對(duì)半群的研究主要集中在其結(jié)構(gòu)方面。循環(huán)半群作為最簡(jiǎn)單的一類半群，在結(jié)構(gòu)方面已有很多結(jié)論，例如文獻(xiàn)[2-4]。在本文中當(dāng)提到循環(huán)半群S時(shí)，我們都默認(rèn)其有一個(gè)生成元為a。對(duì)一個(gè)循環(huán)半群S的階S(元素個(gè)數(shù))有如下的判定。

引理2S有限的充要條件是存在不同的非負(fù)整數(shù)k,l使得ak=al。

證明：設(shè)n=S有限，考慮S的子集{ak|k=1,2,…,n,n+1}，它有n+1個(gè)元素，則其中必有兩個(gè)是相等的。

反過(guò)來(lái)，若存在不同的非負(fù)整數(shù)k,l使得ak=al，則顯然集合{k>0|存在ln，我們有ak=ak-nan=ak-nal=ak-n+l。對(duì)k做歸納法可得，存在s

下面我們給出6個(gè)循環(huán)半群的例子。

例1 整數(shù)加法群(Z,+)。群必是半群。

例2 非負(fù)整數(shù)加法半群(N,+)。

例3 正整數(shù)加法半群(Z+,+)。

很容易驗(yàn)證以上3個(gè)例子都是無(wú)限的循環(huán)半群。下面3個(gè)例子都是有限循環(huán)半群。

例4 整數(shù)模n剩余類群(Zn,+)，這是一個(gè)n階循環(huán)群。

例5 此例來(lái)自文獻(xiàn)[5]。 對(duì)任意正整數(shù)m>1,r，記集合A={1,2,…,m,m+1,…,m+r}，在A有一個(gè)變換σ定義如下：

用類似置換群中置換的表示方法，我們可記

則在集合A的變換半群中，由σ生成一個(gè)循環(huán)半群，記為〈σ〉。容易看出半群〈σ〉中沒(méi)有單位元。在本文中符號(hào)σ均用以表示此例中集合A上的這一變換。

例6 對(duì)任意不含單位元的半群S，令S1=S∪{e}，其中e與S中元素的乘法定義為

ea=ae=a，?a∈S。

則S1構(gòu)成一個(gè)幺半群。特別地，由例5中的半群〈σ〉，我們得到一個(gè)循環(huán)幺半群〈σ〉1，我們把這里添加的單位元(即集合A上的單位映射)記為1A。

下面我們給出循環(huán)幺半群〈σ〉1幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)。

證明：直接計(jì)算可知σm+r=σm，所以σm=σm+r=σrσm=σrσm+r=σm+2r。則由歸納法可得σm+rk=σm。 對(duì)s≥m，有σs+rk=σs-mσm+rk=σs-mσm=σs，證明了(1)。

當(dāng)n

σn=σm+kr+s=σsσm+rk=σsσm=σm+s∈〈σ〉1。

這同時(shí)證明了(2)(3)。

對(duì)任意am+s,am+t∈Kσ，存在正整數(shù)k使得s-t+kr≥m。則σs-t+kr∈Kσ，且

σm+tσs-t+kr=σm+s+kr=σm+s，

即方程σm+tx=σm+s在Kσ中有解。又Kσ是交換半群，所以Kσ是一個(gè)r階群。注意到存在整數(shù)0≤g

下面我們給出本文的一個(gè)主要定理。

定理4 設(shè)S=〈a〉是一個(gè)循環(huán)半群，則S必然同構(gòu)于例 (1)-(6) 中的某一個(gè)半群。

2 定理的證明

在這一部分我們就對(duì)定理分六種不同的情形給出證明。我們沿用上一部分的記號(hào)。

首先由引理2，當(dāng)S=+時(shí)，不同的整數(shù)k對(duì)應(yīng)的元素ak互不相等。

情形1S=+，有單位元，生成元可逆。此時(shí)顯然S中所有元素可逆，即S是一個(gè)無(wú)限循環(huán)群，所以S同構(gòu)于整數(shù)加法群(Z,+)，同構(gòu)映射為ρ1:akаk，k∈Z。

情形2S=+，有單位元，生成元不可逆。此時(shí)S中除單位元以外的所有元素都不可逆，

S={ak|k=0,1,2,3,…} (k=0時(shí)為單位元)。

則顯然映射ρ2:akаk，k≥0是從S到非負(fù)整數(shù)加法半群(N,+)的半群同構(gòu)映射。

情形3S=+，沒(méi)有單位元，此時(shí)S={ak|k=1,2,3,…}，映射ρ3:akаk，k>0是從S到正整數(shù)加法半群(Z+,+)的半群同構(gòu)映射。

無(wú)限循環(huán)半群在同構(gòu)意義下只有(Z,+)，(N,+)，(Z+,+)。接下來(lái)我們討論有限循環(huán)半群，即S<+。由引理2 可知，存在正整數(shù)k,l使得ak=al。因此集合{k>0|存在l>0使得ak=al}非空，記m為該集合的最小正整數(shù)。則集合{l>0|am+l=am}也非空，記其最小元素為r，即有am+r=am。這里的正整數(shù)m、r分別稱為循環(huán)半群S的指數(shù)和周期。

類似命題3可證Aa={ak|k=1,2,…,m,m+1,…,m+r-1}是S的一個(gè)循環(huán)子半群，且它包含一個(gè)r階循環(huán)子群{ak|k=m,m+1,…,m+r-1}。

情形4S<+，S=Aa，且m=1。此時(shí)有S=Aa={ak|k=1,2,…,r}為一個(gè)r階循環(huán)群，因此S同構(gòu)于整數(shù)模r剩余類群(Zr,+)，同構(gòu)映射為

情形5S<+，S=Aa，且m>1。此時(shí)S中沒(méi)有單位元，所有元素互不相等。定義從S到例5給出的循環(huán)半群〈σ〉的映射如下：

ρ5:akаσk，k=1,2,…,m+r-1。

顯然ρ5是一個(gè)半群同構(gòu)映射。

情形6S<+，S≠Aa。注意到SAa中元素必是ak,k≤0的形式。對(duì)任一元素a-k∈SAa,k≥0，有a0=a-kak∈SAa，即半群S中有單位元。更進(jìn)一步，若有元素a-k∈SAa,k>0，則a-1=a-kak-1∈S，即S的生成元a可逆，則S為有限循環(huán)群，因而與情形4雷同。為免重復(fù)，我們可設(shè)S=Aa∪{a0}。此時(shí)S?〈σ〉1，同構(gòu)映射為

ρ5:akаσk，k=0,1,2,…,m+r-1(這里σ0=1A)。

至此，我們完成了定理4的證明。

3 有限循環(huán)半群的矩陣表示

在這一部分中，我們給出有限循環(huán)半群的兩個(gè)矩陣表示，F(xiàn)表示一個(gè)特征0的域。我們只需對(duì)情形4、5進(jìn)行討論，而情形6的循環(huán)半群的矩陣表示可由情形5得到的矩陣表示添加相應(yīng)的單位矩陣得到。由定理4，我們不妨設(shè)S=〈σ〉(注意到S的指數(shù)等于1即是情形4)。此時(shí)S=m+r-1，其中m、r分別為半群S的指數(shù)與周期。

我們給出的第一個(gè)表示的空間是m+r維的。設(shè)V是一個(gè)域F上的m+r維線性空間，有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1,ε2,…,εm+r。定義半群S在集合{ε1,ε2,…,εm+r}上的作用如下：

σ(εi)=εσ(i)，i=1,2,…,m+r。

φ1:S→EndV，σkаKm,rk，k=1,2,…,m,m+1,…,m+r-1。

顯然這個(gè)表示來(lái)自半群EndV在V上的自然表示。

接下來(lái)我們?cè)俳o出S一個(gè)在m+r+1維線性空間上的表示。設(shè)W是一個(gè)域F上的m+r+1維線性空間，有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1,ε2,…,εm+r,εm+r+1。記

φ2:σkаτk，k=1,2,…,m,m+1,…,m+r-1。

顯然這是一個(gè)半群的單同態(tài)，同態(tài)像就是由矩陣Am,r生成的半群。即我們得到一個(gè)半群S在m+r+1維線性空間上的表示。而且從這個(gè)表示我們很容易看到，S的生成元σ(在同構(gòu)意義下就是矩陣Am,r)是由一個(gè)m+1維線性空間上的冪零映射Nm+1和一個(gè)r維線性空間上的置換Pr合成的。

[1] 盛德成.抽象代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2000:23-27.

[2] 項(xiàng)觀捷.關(guān)于單演半群的周期和指數(shù)[J].山東師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1994,9(4):18-20.

[3] 趙雨清.單演半群的幾條性質(zhì)[J].湘潭師范學(xué)院(自然科學(xué)版),2004,26:20-22.

[4] 徐文鋒.有限單演半群的性質(zhì)[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,37(12):4-6.

[5] HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxfold:Clarendon Press,1995:7-11.

Monogenic Semigroups and their Matrix Presentations

XU Chengkang,ZHOU Biao,SHI Huangping

(School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001，China)

There are only two different isomorphic classes of cyclic groups,the group of integers and the group of integers modulo n. In this paper we prove that there are only 6 different classes of cyclic semigroups in the sense of isomorphism,of which the three infinite classes are the group of integers,the semigroup of non-negative integers and the semigroup of positive integers,the three finite classes are the group of integers modulo n,and two transformation semigroups. Moreover,two matrix presentations for the finite cyclic semigroups are given.

semigroup;cyclic semigroup;matrix presentation

2017-06-02

數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目(11656157)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ161044)

徐誠(chéng)慷(1985- )，男，江西上饒人，講師，博士，研究方向：代數(shù)學(xué)、李代數(shù)及其表示。E-mail：xiaoxiongxu@126.com

O152.7

A

1004-2237(2017)06-0001-04

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.06.001