高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究

楊欣怡

【摘 要】廣義上講數(shù)學(xué)就是研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科，“數(shù)”即不同量之間的直觀表達，而“形”就是數(shù)據(jù)表達的形象體現(xiàn)，兩者在教材內(nèi)容中有著豐富的體現(xiàn)。首先是在集合的學(xué)習(xí)過程中，恰當(dāng)?shù)亟?shù)軸或是韋恩圖法，能將抽象的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)變直觀的圖形體現(xiàn)，進而提高解題能力。其次是函數(shù)和方程的運用，函數(shù)和方程是與圖像關(guān)系最為緊密的分支體系，恰當(dāng)設(shè)參，建立關(guān)系能有效解決函數(shù)的極值以及方程根的分布。最后是圓錐曲線的學(xué)習(xí)，作為高中最難的一部分，若能有效利用圖像對相關(guān)概念和運算清楚進行把握，并在題目給定的條件綜合其幾何和代數(shù)表達，形成一套完整的數(shù)學(xué)問題求解的思想方法，將對學(xué)生學(xué)習(xí)能力有質(zhì)的提升。本文結(jié)合教材相關(guān)內(nèi)容，舉例說明“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；集合；函數(shù)方程；解析幾何

1.數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用

1.1利用數(shù)軸求解數(shù)集問題

數(shù)軸常用來解決數(shù)集問題，其實質(zhì)是參數(shù)的幾何表達。解題的關(guān)鍵把握集合基本概念，并將數(shù)值用數(shù)軸準(zhǔn)確表達。比如在對數(shù)值集合進行求解的時候，可以先通過對集合下的數(shù)值進行代數(shù)運算，得到一個參量的取值范圍，然后將該取值范圍在數(shù)軸上進行直觀體現(xiàn)。而不同集合之間的交并問題反映到數(shù)軸上就是取值范圍的相交或是包含關(guān)系，通過數(shù)軸就可以很簡便地解出約束條件下的參數(shù)取值。

1.2利用韋恩法求解集合問題

韋恩法最主要是將題目給出的集合關(guān)系用Venn圖表達，再根據(jù)圖像列出參數(shù)方程，進而求解相關(guān)問題。

例1.已知一班學(xué)生總?cè)藬?shù)為52名，且每人至少要參加一項兒童節(jié)彩排活動，其中參加鋼琴演奏、詩歌朗誦及兒童歌唱的人分別為30、26、17，同時參加鋼琴和朗誦的人數(shù)有10人，同時參加鋼琴和歌唱的有8人，同時參加詩歌和歌唱的有5人，試問三項均參加的人數(shù)為多少？

解析：先用圓A、B、C分別表示參加鋼筋、詩歌及歌唱小組的人數(shù)，并用Venn圖表示，則三圓的交集就是同時參加三項節(jié)目的人數(shù)。設(shè)n表示集合元素數(shù)目，由題意得：n（A）+n（B）+n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC）+n（ABC）=52，帶入等式求得n（ABC）=2，即同時參加三項節(jié)目的人數(shù)有2人.

2.利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)極值

函數(shù)與圖像聯(lián)系最為緊密，借助圖像函數(shù)性質(zhì)是最為實用的解題方法之一。它從“形”的方面來刻畫抽象的函數(shù)，形象表達函數(shù)的性質(zhì)，為研究“量”提供直觀表達，充分體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想和特征。比如再對符合函數(shù)f（x）=min{y（x■），y（x■），y（x■）}進行最小值求解的情況，我們可以先把函數(shù)進行分段處理，然后將每一段的函數(shù)用圖像呈現(xiàn)出來。如此一來就能很方便對函數(shù)每一區(qū)域進行直觀的對比，判斷在不同區(qū)域函數(shù)的極值，從而綜合每一段的結(jié)果求出參量的最小值。

3.數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用

3.1利用函數(shù)圖象求解不等式

函數(shù)方程用圖象表達則為一條曲線或是多段線，而不等式有函數(shù)方程演化而來，在坐標(biāo)系中則表示與函數(shù)圖象相關(guān)的區(qū)域分布。高中數(shù)學(xué)重點講解一元二次不等式的求解問題，而在二次不等式求解過程中，只要抓住對于函數(shù)圖象的開口方向和x軸交點值，問題就迎刃而解。以一元二次不等式計算為例，我們知道一元二次函數(shù)圖像與x軸的交點即為方程的根，那么當(dāng)方程大于0時，自變量取值分布區(qū)域就應(yīng)在圖像的上方；而小于0則分布在圖象下方。因此通過圖像就能對方程進行變量分析和快速求解，簡化數(shù)學(xué)的運算。

3.2利用函數(shù)圖象求根的分布

對涉及到一元二次函數(shù)根的分布問題往往涉及的參數(shù)比較復(fù)雜，通過代數(shù)運算確定其范圍往往比較抽象，如果能有效運用數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)問題化成幾何運算，通過描繪的函數(shù)草圖反過來再去感知函數(shù)的關(guān)系式和相關(guān)性質(zhì)的正確性，則可相輔相成，不僅能讓老師較為輕松地把概念知識傳授給學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也能夠?qū)χR點進行更為清晰直觀的掌控，對提高學(xué)生思維和學(xué)習(xí)能力有很大幫助。

例2.已知方程a■x■+ax+1-2a■=0，求a的取值，使方程的兩根均在（-1，1）內(nèi)。

分析：顯然a≠0，方程為一元二次等式，且函數(shù)圖象y=a■x■+ax+1-a■開口向上，找出函數(shù)三個關(guān)鍵點及x=-b/2a、x=±1，要使拋物線與x軸的交點落在（-1，1）區(qū)間范圍內(nèi)，則要滿足在x=-1/2a、x=±1三點的函數(shù)值的乘積為負(fù)，最終求得a的取值范圍為-1

4.數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

老師在講解高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的時候，要重點對學(xué)生思維能力進行發(fā)散啟迪，加強對數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)。如此一來，學(xué)生學(xué)習(xí)才不會生搬硬套，二是熟練理解題目的內(nèi)涵及出題者想要傳達的思想，以求一擊突破。在解析幾何部分則要求學(xué)生根據(jù)不同圖象進行對于解析式的求解，還能夠反過來有解析式畫出對應(yīng)圖象，通過圖形的性質(zhì)和參數(shù)的量化關(guān)系，讓學(xué)生能在兩者中進行相互轉(zhuǎn)變、相互啟迪，形成自主的思考和解題能力。

例3.設(shè)雙曲線x■/a■-y■/b■■=1（a>0，b>0）的右焦點為（1，0），過點F做x軸垂線交雙曲線為B，C，過B，C分別做垂線交于D，若D到直線BC的距離小于a+■，求該雙曲線的漸近線斜率取值區(qū)間。

解析：題目已知點坐標(biāo)分別為A（a，0），B（c，b■/a），C（c，-b■/a），由雙曲線的對稱性可得D在x軸上。設(shè)D（x，0），由垂直條件得b■■/（ac-ax）·b■■/（a■-ac）=-1■，解得c-x=b■■/（a■c-a■）

總之，老師必須要有深厚的知識功底和熟練的基本技巧，在高中教學(xué)中不光要傳授學(xué)生知識，更重要是講授給學(xué)生思考和解題的能力。師者傳道受業(yè)解惑過程中，要注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透，對于問題要從多方面進行考慮和解答，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，以經(jīng)典例題為出發(fā)點揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，用“數(shù)”準(zhǔn)確澄清“形”，用“形”直觀反應(yīng)“數(shù)”，從而讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。

【參考文獻】

[1]何凡.數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].教育科學(xué)：引文版：00227-00227

[2]陳敏.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的“孵化”[J].教學(xué)與管理， 2012（22）：61-64