彰顯數(shù)學(xué)文化的弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 劉芹芹 陳克勝 (郵編：241000)

彰顯數(shù)學(xué)文化的弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 劉芹芹 陳克勝 (郵編：241000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的基本理念之一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,但在數(shù)學(xué)課堂真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化仍值得我們進(jìn)一步去研究.數(shù)學(xué)文化的物質(zhì)基礎(chǔ)是知識(shí)體系、應(yīng)用框架是工具性、得以發(fā)揚(yáng)的源泉是隱形價(jià)值、歷史積淀是數(shù)學(xué)史,以高中數(shù)學(xué)課程“弧度制”的教學(xué)為研究對(duì)象,從這四個(gè)層面改造弧度制教學(xué)設(shè)計(jì),彰顯弧度制的數(shù)學(xué)文化,真正將數(shù)學(xué)文化融入課堂,在此基礎(chǔ)上,提出在數(shù)學(xué)課堂中彰顯數(shù)學(xué)文化的一點(diǎn)思考.

弧度制;數(shù)學(xué)文化;弧長;教學(xué)設(shè)計(jì)

1 “弧度制”的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

弧度制的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵可以這樣思考：以弧度制的概念作為數(shù)學(xué)文化教育的載體,在教育載體的背后隱藏著數(shù)學(xué)文化的價(jià)值內(nèi)涵,換言之,用“長度”度量角是人類思想的巨大轉(zhuǎn)變,是用“度”度量角思想之后的又一個(gè)解決角度問題的關(guān)鍵性思想;弧度制本質(zhì)上是通過常用度量衡中長度的比例計(jì)算思想,統(tǒng)一了角和長度的單位,彰顯了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美;弧度和弧度符號(hào)的數(shù)學(xué)史展示了數(shù)學(xué)文化豐富的歷史積淀,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的符號(hào)化思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美;弧度制的數(shù)學(xué)文化決定了人的思維方式轉(zhuǎn)變,在解決實(shí)際問題時(shí)提供有鮮明特色的思考方式,實(shí)際問題往往大多源于生產(chǎn)實(shí)踐,因而,數(shù)學(xué)文化在很多方面為社會(huì)直接創(chuàng)造價(jià)值.

2 “弧度制”的教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)特殊引入——易于轉(zhuǎn)換思維

在單位圓中,半徑繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角度都是“360°”,是不變的定值,用角作為單位來度量角的單位制叫做角度制,角度制規(guī)定圓周的360分之一為1度的角.同樣,在單位圓中,,“C＝2π”也是不變的定值,我們可以分割圓周長找度量單位,將半徑作為度量單位度量弧長,由此得到＝1”時(shí),此時(shí)弧長所對(duì)的角叫1弧度的角,用符號(hào)rad表示,讀作弧度,這樣就可以用弧長來刻畫角度,實(shí)現(xiàn)了弧長與角度在量上的對(duì)等,這種以弧度為單位度量角的單位制就稱為弧度制.

“弧度(radian)”一詞,是愛爾蘭工程師詹姆斯·湯姆森(JamesThomson)在1875年首先創(chuàng)造使用的,由半徑(radius)和角(angle)兩個(gè)英語單詞組合而成.1935年,我國《數(shù)學(xué)名詞》把radian譯為“弳(弧和徑兩字合成,讀jing)”,這表明圓心角的弧度數(shù)是由弧長和半徑r共同決定的.1956年版的《數(shù)學(xué)名詞》廢除此字,定為弧度(梁宗巨,2000)[1].

弧度的符號(hào)表示在歷史上也幾次變換.1881年霍爾斯特德(Halsted)用ρ表示弧度單位;1909年霍爾(Hall)等用R表示;1907年鮑爾(Bauer)用r表示.直到1925年朗尼(Loney)的《平面三角》還用πc表示.近幾十年來,數(shù)學(xué)家卻習(xí)慣將弧度的符號(hào)省去不寫[1].這里老師提醒學(xué)生不寫“弧度”二字或弧度符號(hào)不等于沒有,依舊是一個(gè)量而非實(shí)數(shù),要注意和實(shí)數(shù)的區(qū)別.

思考 上述弧度制是在單位圓中給出定義的,那在非單位圓的圓中是否依然成立呢?

設(shè)計(jì)意圖 從單位圓出發(fā),將定值“2π”與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的定值“360°”建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過程,更容易使學(xué)生轉(zhuǎn)化思維方式.從數(shù)學(xué)文化的角度出發(fā),在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)知識(shí)的基礎(chǔ)上,將學(xué)生的思維方式從角作為單位來度量角轉(zhuǎn)換為從弧長作為單位來度量角,使學(xué)生對(duì)弧度制有初步的感性認(rèn)識(shí).問題的引入激發(fā)了學(xué)生探究新知的欲望,提高了學(xué)生的好奇心,為本節(jié)課作下了良好的鋪墊.

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過程,以學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)作為數(shù)學(xué)文化的物質(zhì)基礎(chǔ),借助定值“360°”研究定值“2π”,建構(gòu)一種學(xué)生思考問題的方法,在學(xué)生潛移默化的轉(zhuǎn)變思維方式的過程中發(fā)揮著其文化價(jià)值的作用.其二,體現(xiàn)用弧長度量角的思想.其三,從數(shù)學(xué)史的角度,將弧度和弧度符號(hào)的由來置于豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵之中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡潔美,陶冶了學(xué)生的審美情操,對(duì)于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)起著重要的作用.

(二)特殊到一般——得出弧度制概念

在非單位圓的圓中,由于r≠1,弧長與角度在量上雖然是不對(duì)等的,但只需要將等于半徑長的弧所對(duì)的角定義為1弧度的角,即1弧度的角所對(duì)弧長等于半徑,用符號(hào)rad表示,讀作弧度,依然可以利用“弧長”來刻畫其他的角,比如2弧度的角是此“弧長”的2倍,3弧度的角是此“弧長”的3倍等等.這節(jié)課之前我們將角的概推廣到任意角,有正角、負(fù)角、零角,但弧長與半徑的比值不可能為負(fù).一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0,如果半徑r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是,這里,角α的正負(fù)由角α的終邊旋轉(zhuǎn)方向決定[3].

思考 弧度制作為角的另一種度量單位,如何與角度制轉(zhuǎn)換的呢?

設(shè)計(jì)意圖 從單位圓到非單位圓的圓,從特殊到一般,利用學(xué)生思維已有弧長度量角的思想自然而然得出弧度制的概念.從數(shù)學(xué)文化出發(fā),在數(shù)學(xué)教學(xué)中介紹“弧度制”的發(fā)展歷程,讓學(xué)生知道它們不是憑空出現(xiàn),是前人積極探索的結(jié)果.

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,常用度量衡中長度的比例計(jì)算思想,特殊到一般的思想,用“長度”度量角的思想,向?qū)W生揭示了一種科學(xué)的思維方法,優(yōu)化了學(xué)生的思維,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化對(duì)學(xué)生的精神影響.其二,借助數(shù)學(xué)史上角的其它度量方式并不能使進(jìn)位制統(tǒng)一的問題,將弧度制的由來置于豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵之中,進(jìn)一步表明引入弧度制不是為了引入而引入,而是解決了進(jìn)位制統(tǒng)一的問題,讓學(xué)生真正感受到現(xiàn)實(shí)世界需要這種數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵以及引入弧度制的可行性.其三,數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)家所遇到的困難,同樣也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難,向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家解決問題的研究歷程,反映出人類對(duì)數(shù)學(xué)研究的精神,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)家探求知識(shí)的艱難,培養(yǎng)學(xué)生的探索科學(xué)的精神.這種以弧度制的史實(shí)系統(tǒng)作為載體,在學(xué)生逐步建立人文主義精神和數(shù)學(xué)觀念的同時(shí),發(fā)揮著重要的數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

36例患者影像測量結(jié)果見表3。術(shù)后側(cè)凸Cobb角較術(shù)前明顯降低，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）；前凸角度、椎間孔高度、椎間隙高度、椎間孔面積、椎管面積較術(shù)前明顯升高，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。典型病例影像資料見圖2。

(三)引導(dǎo)探究——理解角度與弧度的關(guān)系

圓轉(zhuǎn)一周在角度制下度數(shù)是360,在弧度制下弧度數(shù)是2π,所以

其他[0,2π]內(nèi)的特殊角,可以通過類比如圖1和圖2所示的“形”化出來.

這樣,在弧度制條件下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間就可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這也為后面學(xué)習(xí)把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)打下了基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生領(lǐng)悟到角度制、弧度制都是角的度量制,二者雖然單位不同,但是是互相聯(lián)系,相互統(tǒng)一的,更容易看清角與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而解決了“sin30°＝”這類進(jìn)制不統(tǒng)一的問題.

圖1 特殊角的圖形

圖2 特殊角的圖形

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,用直觀的圖形將弧度制與角度制關(guān)系聯(lián)系起來,讓學(xué)生學(xué)會(huì)將復(fù)雜繁多的問題直觀化,感受圖形所帶來的方便簡潔美,從而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)所帶來的快樂,欣賞弧度制之美.其二,在直角三角形中,弧度作為三角函數(shù)的自變量等于圓弧長與半徑的比值,而三角函數(shù)的自變量是三角形邊長的比,從而可以得出三角函數(shù)是從長度的比值到長度的比值的映射,使自變量與因變量的形式統(tǒng)一,極大的彰顯了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

(四)及時(shí)應(yīng)用——體會(huì)弧度制精髓所在

①75° ②22°30′ ③－265°

例2 按照下列要求,將弧度化為角度.

例3 利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式[3];

其中R是半徑,l是弧長,α(0＜α＜2π)為圓心角,S是扇形的面積.

設(shè)計(jì)意圖 例1和例2是讓學(xué)生掌握弧度制和角度制的轉(zhuǎn)換過程,加深對(duì)弧度制的理解和應(yīng)用.通過例3使學(xué)生自然而然的體會(huì)到弧度制可以簡化公式,如為求扇形的面積和弧長提供了方便,從而大大簡化了有關(guān)公式及其運(yùn)算并培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和意識(shí).

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,在解決問題的過程中,讓學(xué)生體會(huì)利用弧度制刻畫面積公式,感受弧度制給我們學(xué)習(xí)生活所帶來的簡便,潛移默化中改變學(xué)生的思維方式,體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的隱形價(jià)值.其二,人渴望欣賞美,數(shù)學(xué)之美正是人所需要的,弧度制下的圓的面積和弧長公式的流暢,推理的精煉,等式兩邊度量衡的統(tǒng)一,彰顯了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,弧度制下的圓的面積和弧長公式與角度制下的圓的面積和弧長公式對(duì)比,極大的彰顯了弧度制的簡潔美.

(五)小結(jié)作業(yè)——理順熟練知識(shí)

(1)小結(jié)

不管圓的大小如何發(fā)生改變,圓的周長與直徑的比值都是“π”,無理數(shù)“π”具有濃密的傳奇韻味,在以后學(xué)習(xí)中讓我門慢慢用心去品味他.

弧度制成為角的度量單位之一,可以與角度制進(jìn)行換算,即

用弧度制度量角,不僅數(shù)量簡單,而且由此更容易看清角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

本節(jié)課有鮮明特色的思想是用“長度”刻畫角,我們要學(xué)會(huì)用這種思想去處理各種問題.

(2)作業(yè)

必做題：課后練習(xí).選做題：發(fā)揮你的創(chuàng)造性,每人制作一把扇子,然后與其他同學(xué)進(jìn)行比較,從中選擇出一把展開看上去形狀較為美觀的扇子,并用計(jì)算器算出它的面積[4].

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教學(xué)回顧中,整理知識(shí),建立對(duì)弧度制的整體意識(shí),整體地了解把握弧度制.選擇與學(xué)生實(shí)際生活相關(guān)的課后習(xí)題,使學(xué)生體會(huì)弧度制的好處,培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,學(xué)以致用并認(rèn)識(shí)任何新知識(shí)的都會(huì)為我們解決實(shí)際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

彰顯的數(shù)學(xué)文化：將弧度制與學(xué)生的實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來,讓學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,真正感受到數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)中內(nèi)涵,數(shù)學(xué)是為人類自身服務(wù),人類文明發(fā)展至今,可以說生活離不開數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)使生活更精彩[4].

3 一點(diǎn)思考

2016年10月8號(hào),教育部考試中心公布了[2016]第179號(hào)文件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》,關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科具體修訂內(nèi)容有如下描述“在能力要求內(nèi)涵方面,增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求,增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時(shí)對(duì)能力要求進(jìn)行了加細(xì)說明,使能力要求更加明確具體”其中對(duì)數(shù)學(xué)增加了數(shù)學(xué)文化的要求.這一文化從考試大綱的角度明確要求在數(shù)學(xué)試題中融入數(shù)學(xué)文化,今后的高考試題中也定會(huì)有所體現(xiàn).數(shù)學(xué)文化在教學(xué)如何成功的彰顯出來,對(duì)廣大數(shù)學(xué)教育者而言,是一個(gè)重要的課題.數(shù)學(xué)文化是一個(gè)籠統(tǒng)的概念,正因?yàn)槊總€(gè)數(shù)學(xué)教育者對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解不一樣,導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)的思路不一樣.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過介紹數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)思想方法、課本習(xí)題后面的閱讀與思考、數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透數(shù)學(xué)文化,彰顯數(shù)學(xué)文化對(duì)人類的精神影響、對(duì)社會(huì)創(chuàng)造的直接價(jià)值、對(duì)人行為的影響以及對(duì)人類審美情操的陶冶.

1 王越偲.上海高中生對(duì)弧度制概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué),2010

2 江灼豪,何小亞.弧度制發(fā)展的歷史溯源[J].數(shù)學(xué)通報(bào) .2016(7)：14-17

3 中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社,2007

4 陳克勝,董杰.彰顯數(shù)學(xué)文化的一元一次方程的教學(xué)案例及其思考[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)2012(2)：135-138

2017-09-28)