一個(gè)三角形不等式及其等價(jià)式與相關(guān)式

浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮 錢旭鋒 (郵編：313012)

一個(gè)三角形不等式及其等價(jià)式與相關(guān)式

浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮 錢旭鋒 (郵編：313012)

本文通過一個(gè)三角形不等式的確立,擬以此為母不等式探求其一系列的等價(jià)經(jīng)典三角形不等式,并因勢利導(dǎo)再次確立一系列的相關(guān)經(jīng)典三角形不等式.

為敘述簡潔起見,本文擬用 ∑ 表示循環(huán)和,例如：x＋y＋z＝∑x,yz＋zx＋xy＝∑yz等.并約定：在 △ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊依次為a、b、c,R、r依次為它的外接圓、內(nèi)切圓半徑.

1 一個(gè)三角形不等式

不難發(fā)現(xiàn),在△ABC中成立著如下不等式：

定理 在△ABC中,有

(b－c)2cosA ＋ (c－a)2cosB ＋ (a －b)2cosC≥0 ①

證明 由對稱性不妨設(shè)A≤B≤C,則a≤b≤c(c－a≥b－a＞0),且cosA＞0,cosB＞0.所以,(c－a)2cosB≥(b－a)2cosB.于是

①式左邊≥(c－a)2cosB＋(a－b)2cosC

≥(a－b)2(cosB＋cosC)＝(a－b)2·2sin

定理獲證.

證明 ③式?∑a2(cosA＋cosB＋cosC)－ ∑a2cosA ≥ ∑a2?∑a2cosA ≤(∑cosA－1)∑a2

三角形恒等式：

一并代入上式,有

即定理與④式等價(jià).又

注 由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA,等三式易知定理實(shí)則是

2 定理(即②、③式)的幾個(gè)等價(jià)式

等價(jià)式1 在△ABC中,有

由此得

等價(jià)式2 在△ABC中,有

等價(jià)式3 在△ABC中,有

即定理與⑧式等價(jià).

等價(jià)式4 在△ABC中,有

證明 在△ABC中,由正弦定理,有

于是,有

即定理與⑨式等價(jià).

等價(jià)式5 在△ABC中,有

3 順手牽羊“話”相關(guān)(不等式)

由不等式○11立獲：

命題1 在△ABC中,有

據(jù)此,得

命題2 在△ABC中,有

再聯(lián)立⑦、⑨二式,又得：

命題3 在△ABC中,有

作為○13式的一個(gè)反向不等式當(dāng)是：

命題4 在△ABC中,有

證明核心提示 應(yīng)用⑩式去證明恒等式：

然后,⑨式應(yīng)用于○18式,即可獲證命題4(興趣的讀者請不妨一試).

另,⑨式用于○18式,還有

聯(lián)立○19、④二式,便獲：

命題5 在△ABC中,有

如若注意到③、④這兩個(gè)反向不等式,我們又有以下的“節(jié)外生枝”：

命題6 在△ABC中,有

證明 注意到③、④兩個(gè)反向不等式,③—④,并兩邊同時(shí)加∑a2,有

末了指出,證明三角形不等式的方法可以說是五彩繽紛、琳瑯滿目的,而利用母不等式的方法證明三角形不等式不乏是一門新型技術(shù),它讓人在“玩?！敝杏鋹偟亟邮軘?shù)學(xué).從某種意義講,一個(gè)母不等式就是一個(gè)題庫,是當(dāng)下競賽數(shù)學(xué)和初數(shù)研究命題的一門新學(xué)問和新藝術(shù),是提高數(shù)學(xué)教師素質(zhì)與專業(yè)素養(yǎng)的一條蹊徑.

2017-10-10)