一道解析幾何題的研究與思考

浙江省象山中學(xué) 楊育池 (郵編：638400)

一道解析幾何題的研究與思考

浙江省象山中學(xué) 楊育池 (郵編：638400)

2017年高考是浙江省深化課程改革、實(shí)施新高考方案的首次考試,數(shù)學(xué)更因文理合卷而備受關(guān)注.本文試圖通過對2017年浙江省高考數(shù)學(xué)卷中的解析幾何大題的分析研究,將自己的一孔之見整理成文,希望能對大家的教學(xué)工作有些許啟示.

1 試題品評(píng)——輕紅淺綠溶溶月

題目 (2017年高考浙江卷第21題)如圖1,已知拋物線x2＝y(tǒng),點(diǎn)A(－拋物線上的點(diǎn)P(x,y＜),過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.

圖1

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值.

縱觀浙江省歷年高考試題對解析幾何部分的考查,難度較以往有所下降,問題的敘述依然保持樸實(shí)無華,簡練精準(zhǔn)的特色;問題的設(shè)計(jì)具有注重對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解和把握,知識(shí)點(diǎn)清晰不堆砌,數(shù)學(xué)意味濃厚的“浙派”風(fēng)格;設(shè)問角度在基礎(chǔ)概念和基本解題方法上的考查方面著色,給人“似曾相識(shí)”的平易感,同時(shí)兼顧基礎(chǔ)與創(chuàng)新,解法靈活多樣,能很好地檢驗(yàn)學(xué)生“以代數(shù)方法研究幾何問題”、代數(shù)幾何相互為用的綜合運(yùn)用能力,讓中等以上的學(xué)生有很好地展示自己數(shù)學(xué)基本功的機(jī)會(huì).

2 解法分析——新蕊爭發(fā)細(xì)細(xì)看

思路1 問“道”于題,循“敘”漸進(jìn)

由題知,問題涉及直線與拋物線相交,將已知條件坐標(biāo)化,表示出直線方程,雖然P為動(dòng)點(diǎn),問題轉(zhuǎn)化直線與曲線相交,進(jìn)而考慮二次方程的根的分布.對于|PA|·|PQ|則涉及A、P、Q三點(diǎn),可考慮利用垂直關(guān)系求出點(diǎn)Q或結(jié)合垂直關(guān)系的相關(guān)幾何性質(zhì)表示相關(guān)的線段長.

解析1 (Ⅰ)為方便記P(m,m2).設(shè)直線AP的斜率為k,則直線AP的方程為y－＝k(x＋),即4kx－4y＋2k＋1＝0.因?yàn)橹本€AP與拋物線x2＝y(tǒng)有交點(diǎn)A、P,

記函數(shù)f(x)＝4x2－4kx－2k－1,則解得－1＜k＜1.即直線AP斜率的取值范圍為(－1,1).

因?yàn)閗∈(－1,1),則由四元均值不等式,得

|PA|·|PQ|＝|(k＋1)3(k－ 1)|＝時(shí),等號(hào)成立.

思路2 緊扣定義,直奔目標(biāo)

注意到A點(diǎn)已知,因此只需利用斜率公式將直線AP的斜率表示為關(guān)于變量x的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的值域.問題(Ⅱ)可結(jié)合點(diǎn)A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo),充分挖掘垂直關(guān)系的幾何性質(zhì)表示出|PA|、|PQ|,其中研究函數(shù)的最值這一步是最復(fù)雜的,應(yīng)注意運(yùn)算的目標(biāo)要向能預(yù)判或確定最值的方向變形.

(Ⅱ)如圖2,連結(jié)BP.由BQ⊥AP得,|PQ|＝|PB|cos∠BPQ＝ －|PB|cos∠BPA,在 △ABP 中,

圖2

由余弦定理,有|PA|·|PQ|＝－|PA||PB|cos∠APB＝(|AB|2－|PA|2－|PB|2)

當(dāng)且僅當(dāng)x＝1,即點(diǎn)P(1,1)時(shí),|PA|·|PQ|最大為.

思路3 活用“算”理,兼顧全局

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查方程的思想的應(yīng)用,可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立起斜率與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為不等式求解.問題(Ⅱ)的解決需要突破兩個(gè)難點(diǎn)：|PA|·|PQ|的表示與其解析式最值的研究,注意到A、P、Q三點(diǎn)共線,設(shè)法利用向量的數(shù)量積簡化目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算.

解析3 (Ⅰ)同解法1,聯(lián)立直線AP與拋物線方程,由韋達(dá)定理,得

思路4 巧引參數(shù),從“形”破題

由于A、P、Q三點(diǎn)在同一直線上,從而直線AP的斜率與線段PA、PQ的長度都就可以借助參數(shù)加以表示,這樣,考慮聯(lián)系直線的參數(shù)方程求解.

解析4 (Ⅰ)為了敘述方便,記P(m,m2).設(shè)直線AP的傾斜角為θ,則θ∈[0,π),且AP

思路5 轉(zhuǎn)換視角,以“形”馭繁

問題呈現(xiàn)的是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過程,對于問題(Ⅰ)相應(yīng)地我們也可以結(jié)合圖形的直觀,用動(dòng)態(tài)的思維方式揭示斜率的變化,運(yùn)用平面幾何的觀點(diǎn)來看問題(Ⅱ),發(fā)掘并充分運(yùn)用相關(guān)圖形的平面幾何性質(zhì),分析題目中幾何量之間的關(guān)系,減少運(yùn)算量,以簡化問題的解決過程.

解析5 (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在曲線AB上移動(dòng)時(shí),直觀上由即知AP的斜率k的變化范圍界于點(diǎn)A處的切線斜率k1與直線AB的斜率kAB之間.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,k1＝y(tǒng)′|x＝xA＝2xA＝－1,且k＝＝x＋x＝1,故－1＜k＜1,ABAB即直線AP斜率的取值范圍為(－1,1).我們通過具體的代數(shù)運(yùn)算來研究直線AP斜率的變化.

圖3

故|MP|最小即以M為圓心,以MP為半徑的圓與拋物線x2＝y(tǒng)相切時(shí),|PA|·|PQ|最大,此時(shí),以MP為半徑的圓與拋物線x2＝y(tǒng)在點(diǎn)P(x,x2)處有公切線,則切線斜率k＝y(tǒng)′＝2x,故切線的方向向量m＝(1,2x),

3 教學(xué)思考——繁枝紛紛宜深思

本題以簡單的問題、常見的背景、基本的方法呈現(xiàn),其解題思路自然,而且思維量、運(yùn)算量不大,知識(shí)上主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,思想上主要考查函數(shù)與方程、不等式等重要的代數(shù)思想,雖然問題對運(yùn)算求解的能力有一定的要求,且絕大部分考生拿到考題都會(huì)倍感“親切”,但實(shí)際結(jié)果卻令人意外.此題全省平均分為4.92(含零分)、5.63(不含零分),可見29.1萬考生中約近1.3萬人得分為零,并且很多同學(xué)是“會(huì)而不對”,磕磕碰碰地完成的,與其說這是考生心理壓力的影響結(jié)果,不如說這與我們平時(shí)的教學(xué)習(xí)慣是分不開的.

我們都知道,高考試題植根于課本,著眼于提高.但在高三復(fù)習(xí)階段,由于海量的教輔資料、模擬試題擠占了大量的教學(xué)時(shí)間,我們的教學(xué)依舊“重復(fù)昨天的故事”,沉溺“書山題?！辈荒茏园?從而忽視了課本知識(shí)和例題習(xí)題的回歸教學(xué).其實(shí),課本是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的載體,給高考命制人提供豐厚的規(guī)范資源,又是教學(xué)的依據(jù),為高考復(fù)習(xí)者提供可持續(xù)挖掘的寶藏.如果我們靜心研究高考試題的命題,可以發(fā)現(xiàn),每年均有一定數(shù)量的試題是以教材上例習(xí)題為素材,通過串聯(lián)綜合、增加層次,或添加參數(shù)、延伸拓展,變更包裝、延伸改造、遷移創(chuàng)新等改編而成.本題也不例外,可以從課本中尋找問題之源.

習(xí)題1 (第90頁習(xí)題3.1B組第6題)經(jīng)過點(diǎn)P(0,－1)作直線l,若直線l與連接A(1,－2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn),找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍,并說明理由.

習(xí)題2( 第114頁復(fù)習(xí)參考題A組第9題)求兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0與ax＋4y－2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo).

顯然,問題(Ⅰ)將課本習(xí)題中的“線段AB”改造遷移為“拋物線x2＝y(tǒng)上的弧AB”;問題(Ⅱ)則是在求垂足坐標(biāo)的基礎(chǔ)上延伸為求“定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)與垂足所構(gòu)成的線段長度之積”.

由此,從題源的認(rèn)識(shí)上我們又可以利用線性規(guī)劃知識(shí)求解(Ⅰ)：設(shè)直線AP的方程為y－＝k(x＋).又由題意知,直線AP與曲線段AB(不含兩端點(diǎn))相交,則存在點(diǎn)A(x0,x20)(－＜x＜)與點(diǎn)B位于直線AP的兩側(cè),故

因此,|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3,余下解法同解析1.

引導(dǎo)學(xué)生回顧反思以上解題過程,注意到|MP|最小時(shí),直線MP與P點(diǎn)處的切線互相垂直,即直線MP是拋物線在點(diǎn)P的法線.不難總結(jié)收獲到兩點(diǎn)性質(zhì)：(1)若拋物線外一點(diǎn)M與拋物線上點(diǎn)P的距離|PM|最小,則拋物線在點(diǎn)P的法線經(jīng)過點(diǎn)M;(2)過拋物線y2＝2px(p≠0)上一點(diǎn)P(2p,2p)的法線交拋物線于另一點(diǎn)Q(p,－3p),則弦PQ對拋物線的焦點(diǎn)F所張的角為直角.

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生尋找問題背景的奇異處,可以發(fā)現(xiàn)直線AB是拋物線在A點(diǎn)的法線,拋物線的法線有什么特別性質(zhì)嗎?將命題者的思維軌跡盡可能延長,就有可能揭示拋物線法線的一個(gè)更深刻而美麗的結(jié)果.

圖4

進(jìn)一步,可以將結(jié)論推廣到一般：若點(diǎn)A、B為拋物線y2＝2px(p≠0),且直線AB為拋物線A點(diǎn)的法線,則對拋物線上任意異于點(diǎn)A、B的動(dòng)點(diǎn)P,作PM⊥AB,PN⊥x軸分別交直線AB于M、N,有|AN|2＝|AM|·|AB|.(限于篇幅,不再贅述其證明)

高考試題“源于課本”,既要體現(xiàn)考試的公平公正,又“高于課本”,也要對中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)作出有效檢驗(yàn).因此,回歸教材,不是簡單的閱讀教材,而是重視對典型的例習(xí)題的研究,挖掘其蘊(yùn)涵的深層潛力,“三思而后行”——思考問題是否可以整合串聯(lián),思考問題是否可以變更形式或背景,思考問題是否可以進(jìn)一步引申創(chuàng)新,使每一道題能體現(xiàn)思維訓(xùn)練價(jià)值.在回歸教材的教學(xué)過程中,給學(xué)生足夠的思考時(shí)間,重視提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),學(xué)習(xí)“思維的數(shù)學(xué)”,而非“墨守成規(guī)”,要求既要“新題舊做”,也能“舊題新做”,這樣,才會(huì)帶給學(xué)生探索的快樂體驗(yàn),帶給學(xué)生在思考中進(jìn)行創(chuàng)新嘗試的心理感悟,體驗(yàn)用發(fā)現(xiàn)的眼光看到“門里的詩畫盆栽”,欣賞到“門外的雄川峻嶺”,以促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的提高,找到自信的源泉.

1 課程教材研究所編著.普通高中數(shù)學(xué)·必修2(A版)[M].北京：人民教育出版社,2007

2 任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略：數(shù)學(xué)[M].?？冢耗戏匠霭嫔?2012

2017-10-10)