中職施工專業(yè)數(shù)學(xué)教改中模型的作用

魏曉紅++曾智敏

【摘要】本文基于本校施工專業(yè)數(shù)學(xué)校本教材編寫過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)建模的思考，宗旨在于將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以一種形象的方法把專業(yè)課中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使得我們可以用數(shù)學(xué)原理解決問(wèn)題。側(cè)重在調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，訓(xùn)練學(xué)生找到問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的的能力，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中將“用數(shù)學(xué)”發(fā)揮到極致。

【關(guān)鍵詞】建筑施工；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）14-0178-02

一、建模在教學(xué)中的重要作用

在施工專業(yè)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)其專業(yè)學(xué)習(xí)中和幾何圖形相關(guān)的問(wèn)題，多可以總結(jié)歸納為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題來(lái)解決。優(yōu)點(diǎn)在于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的量化作用，將實(shí)際問(wèn)題在理論層次上解決的同時(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性。為此，我們?cè)谶@類問(wèn)題的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，很好地融入了數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單知識(shí)，將此類刻板枯燥甚至外行覺得高深的知識(shí)給學(xué)生一個(gè)可以認(rèn)知的層次。

所謂數(shù)學(xué)建模，就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的特有的語(yǔ)言和方法對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活存在的實(shí)際問(wèn)題所做的設(shè)計(jì)，它符合“具體——抽象——具體”的認(rèn)知規(guī)律，包括五個(gè)教學(xué)的基本環(huán)節(jié)：首先，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情況，激發(fā)求知欲；其次，抽象概括，建立準(zhǔn)確的模型，導(dǎo)入所要學(xué)習(xí)的課題；再次，研究模型，形成數(shù)學(xué)知識(shí)；然后，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；最后，歸納總結(jié)深化目標(biāo)。

對(duì)于中職數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)意識(shí)，切實(shí)提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。然而現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的過(guò)程中，主要著眼于內(nèi)部理論結(jié)構(gòu)及其之間的邏輯關(guān)系，著重訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，而忽略討論和訓(xùn)練如何從實(shí)際問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生并沒有形成真正的應(yīng)用意識(shí)。

二、滲透建模思想的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

下面就聯(lián)系中職學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出幾個(gè)應(yīng)用的實(shí)例。例如在施工專業(yè)中，牽涉到公路、鐵路等建筑施工現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)常會(huì)遇到一些異形體的構(gòu)造物。計(jì)算異形體工程量時(shí)一般采用的方法為平均面積法和棱臺(tái)體積公式，但這兩種方法均很難保證計(jì)算結(jié)果的精度。

首先，平均面積法缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)，一般只應(yīng)用在要求計(jì)算結(jié)果精度不高的情況，如路基土石方工程量計(jì)算中；其次，土木工程施工現(xiàn)場(chǎng)所遇到的異形體一般不能滿足棱臺(tái)的條件，棱臺(tái)是在棱錐的基礎(chǔ)上用平行于棱錐底面的平面切割棱錐而得到，即棱臺(tái)各邊的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，而施工現(xiàn)場(chǎng)異形體的各邊延長(zhǎng)線往往交于一條線，所以采用棱臺(tái)體積公式也同樣存在弊端。

為了精確計(jì)算土木施工現(xiàn)場(chǎng)的異形體工程量，有人提出一種基于微積分的計(jì)算方法，實(shí)際上這就是一個(gè)抽取數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的實(shí)例。為了避開復(fù)雜的異形體但又使學(xué)生理解整個(gè)思維過(guò)程，我們?cè)谥v述時(shí)通過(guò)推導(dǎo)圓柱體積公式為例。

如下圖取定空間坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)圓柱側(cè)棱與Z軸重合，圓柱底面位于XOY平面，以A（z）代表過(guò)點(diǎn)z且垂直于Z軸的截面面積。A（z）就是一全等于兩個(gè)底面的圓，取z為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，h]，圓柱體中相應(yīng)于[0，h]上任以一小區(qū)間[z，z+dz]的一薄片的體積，近似于底面積為A（z），高為dz的扁柱體的體積，即體積元素dv=A（z）dz。以A（z）為積分表達(dá)式，在閉區(qū)間[0，h]上做定積分，即得到圓柱體的體積。

整個(gè)公式的導(dǎo)出實(shí)際上就是一個(gè)建模的過(guò)程，將施工現(xiàn)場(chǎng)所遇到的異形體等同于數(shù)學(xué)中的不規(guī)則圖形，再根據(jù)微分的思想將其剖為一個(gè)個(gè)薄片，并且此薄片的面積可計(jì)算，然后根據(jù)積分的原理將這些面積累加起來(lái)，便是一個(gè)完整的幾何體。整個(gè)過(guò)程中雖然牽涉高等數(shù)學(xué)的微積分思想，但是邏輯思路是清晰的，很好地解決一些實(shí)際應(yīng)用中不好操作的問(wèn)題，給了學(xué)生形象生動(dòng)又不失嚴(yán)謹(jǐn)客觀。

實(shí)際操作上面的例子屬于較復(fù)雜的建模，現(xiàn)給出一些簡(jiǎn)單的計(jì)算實(shí)例。第一例：修筑道路需挖掘隧道，在山的兩側(cè)是隧道口A和B，在平地上選擇適合測(cè)量的點(diǎn)C，使得可以順利計(jì)算出隧道AB的長(zhǎng)度。

這就是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用建模問(wèn)題，需要用三角函數(shù)解決。首先，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：在平地上選擇點(diǎn)C，測(cè)得角C為，AC距離350米，BC距離450米，其次，在圖上將此關(guān)系清晰表示出來(lái)（如圖）。接下來(lái)的工作就完全是數(shù)學(xué)問(wèn)題了，已知條件是，根據(jù)余弦定理可以計(jì)算線段AB的長(zhǎng)度，即隧道的長(zhǎng)度。課程講述過(guò)程中，我們做了數(shù)據(jù)上的處理，將其設(shè)置成便于計(jì)算的數(shù)據(jù)，主要目的是給學(xué)生一個(gè)清晰的思維過(guò)程，幫助其掌握這種建立模型的方法。

另一例為：隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8m，寬是2m，拋物線可以用表示。問(wèn)題（1）一輛貨運(yùn)卡車高4m，寬2m，它能通過(guò)該隧道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨運(yùn)卡車是否可以通過(guò)？

這是一個(gè)二次函數(shù)應(yīng)用的建模問(wèn)題。首先，根據(jù)條件畫出隧道的簡(jiǎn)單圖形，（如上圖）理論上卡車的通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)為時(shí)卡車的高度是否觸碰到拋物線的問(wèn)題；同樣的道理，如果是雙車道，就是橫坐標(biāo)為時(shí)卡車的高度是否觸碰到拋物線的問(wèn)題。

建立這些數(shù)學(xué)模型后，所有的教學(xué)過(guò)程顯得既有趣味，又有效地解決了實(shí)際問(wèn)題，使得專業(yè)中的相關(guān)問(wèn)題可以精確地量化，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的工具作用。在我們實(shí)際的教學(xué)中，善于思考總結(jié)是很必要的，作為數(shù)學(xué)老師的引導(dǎo)不但是解題時(shí)的清晰思路，更重要的是給學(xué)生一個(gè)他們?cè)敢馑伎疾⑶铱梢运伎嫉膯?wèn)題。提出問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更具有難度，也最能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。筆者在中職的數(shù)學(xué)教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)將專業(yè)學(xué)習(xí)的實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系數(shù)學(xué)建模就是基于這個(gè)思想：讓學(xué)生自己去找到問(wèn)題—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

最后以一個(gè)趣味思考作為案例的結(jié)束，再次體會(huì)數(shù)學(xué)模型的強(qiáng)大作用。

皮克在其曾祖遺物中發(fā)現(xiàn)一張羊皮上面記載著：“乘船至北緯度、西經(jīng)度有一荒島，長(zhǎng)一株松P，從松樹面北向左前方行若干步，有一紅石A，然后左拐，行同樣步數(shù)，打樁A；再?gòu)乃蓸涿姹毕蛴仪胺叫腥舾刹?，有一白石B，然后右拐行同樣步數(shù)，打樁B，在兩樁中點(diǎn)處埋藏著寶物。因?yàn)橛涊d明確，皮克便乘船前行，在島找到了紅石（A）及白石（B），但由于年代久遠(yuǎn)，樹已無(wú)處可尋，只能徒牢而返。你能幫皮克找到寶物嗎？

這個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系以及方位角的相關(guān)內(nèi)容的思考，在這部分內(nèi)容開始作為思考引入是個(gè)很好的例子?？梢约ぐl(fā)學(xué)生的好奇心，鼓勵(lì)其主動(dòng)去思考對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)知識(shí)，達(dá)到學(xué)習(xí)的真正目的。

三、基于基礎(chǔ)課教學(xué)的思考

數(shù)學(xué)建模猶如一條連接數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的紐帶，一是向“源"的方向展開，即明確知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的背景；二是向“流”的方向深入，即展示知識(shí)的功能及在生活中的應(yīng)用。如果學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題自覺模型化，這就說(shuō)明學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)很強(qiáng)了。那么解應(yīng)用題建模的關(guān)鍵，不外乎是扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和正確的思維。

步驟一：捕捉關(guān)鍵詞，建立數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，生產(chǎn)、生活常識(shí)背景多，專業(yè)名詞術(shù)語(yǔ)多，變量符號(hào)多，互相關(guān)聯(lián)的制約因素多，正因?yàn)槿绱耍瑧?yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，必須認(rèn)真閱讀，對(duì)關(guān)鍵詞仔細(xì)分析，深入挖掘，摒棄其表面的敘述，抽象其數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)模型。

步驟二：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型。面對(duì)一道具體應(yīng)用問(wèn)題，在將文字?jǐn)⑹龅恼Z(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言之際，相應(yīng)的量可以用字母來(lái)表示，量與量之間的關(guān)系可以用符號(hào)來(lái)表示，這是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的基本策略，數(shù)學(xué)符號(hào)在建立數(shù)學(xué)模型中均起著舉足輕重的作用。

步驟三：運(yùn)用基本公式，建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)教材中，每一章節(jié)都有一些基本的公式，如基本圖形的面積、體積、長(zhǎng)度公式等；也有一些基本的相等關(guān)系，如距離=速度×?xí)r間，利潤(rùn)=收入一成本、溶質(zhì)=溶液×濃度等，在解決相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，這些基本公式在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)均起到極其重要的作用。

步驟四：分離與重組，建立數(shù)學(xué)模型。如果從系統(tǒng)論的觀點(diǎn)出發(fā)，每一個(gè)應(yīng)用題都是由若干個(gè)要素組成的系統(tǒng)。對(duì)于系統(tǒng)比較復(fù)雜的應(yīng)用題，可以分解成若干個(gè)子系統(tǒng)來(lái)加以解決。對(duì)于有些應(yīng)用題來(lái)說(shuō)，從系統(tǒng)中分離出“特殊的信息”或“關(guān)鍵性的信息”，并給予優(yōu)先考慮重點(diǎn)突破，對(duì)于建立數(shù)學(xué)模型意義深遠(yuǎn)而重大，這就是人們常說(shuō)的分離與重組策略。

步驟五：深思巧化，建立數(shù)學(xué)模型某些應(yīng)用題給人的第一感覺是無(wú)從下手，對(duì)于這類的難以解決的問(wèn)題，可以在深思后進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化繁為簡(jiǎn)，化新為舊，化動(dòng)為靜，把一個(gè)相對(duì)變化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)相對(duì)靜止的問(wèn)題，把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅是思維能力的提升，而且在解應(yīng)用題上有廣泛的使用和推廣價(jià)值。

此文中筆者重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，沒有反復(fù)糾結(jié)于解題過(guò)程，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)建模就是要使學(xué)生自己將數(shù)學(xué)世界轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)熟悉世界再轉(zhuǎn)化為邏輯與抽象世界，對(duì)于現(xiàn)實(shí)的這種再構(gòu)與轉(zhuǎn)化是學(xué)生內(nèi)驅(qū)力激發(fā)的最有效途徑。當(dāng)然，學(xué)生的認(rèn)知是有坡度的，教師在實(shí)施數(shù)學(xué)建模策略時(shí)一定要意識(shí)這種坡度的存在，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題在設(shè)計(jì)中要與坡度適合，不影響學(xué)生的認(rèn)知再組。

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作者簡(jiǎn)介：

魏曉紅（1968-），女，漢族，學(xué)士，惠州市廣播電視大學(xué)講師，研究方向?yàn)橹新殧?shù)學(xué)教學(xué)。

曾智敏（1983-），男，漢族，學(xué)士，惠州市廣播電視大學(xué)講師，研究方向?yàn)榻ㄖ┕さ葘I(yè)的教學(xué)。