解題過程中挖掘“隱含信息”的幾種典型視角

四川 何志雄

解題過程中挖掘“隱含信息”的幾種典型視角

四川 何志雄

隱含信息是指題目中隱而未顯、含而未露同時需要不斷挖掘并利用條件進(jìn)行推理和變形才能顯現(xiàn)出來的信息，它們常常巧妙地隱藏在題設(shè)背后，極易被忽略，但卻對揭示問題本質(zhì)、實現(xiàn)解題突破、優(yōu)化思維過程等起著關(guān)鍵作用，本文結(jié)合實例略談挖掘隱含信息的幾種常見視角，供大家參考．

一、挖掘定義的內(nèi)涵

定義揭示了概念最本質(zhì)的屬性，是研究概念的基礎(chǔ)和最有力的工具．挖掘定義的內(nèi)涵實質(zhì)上是為解題挖掘出最本質(zhì)的條件，也是在為解題尋找一把鑰匙，讓解題過程更加簡捷明快，但只有在全面、深刻地理解定義的基礎(chǔ)上，才能從定義中挖掘出隱含信息，進(jìn)一步指導(dǎo)解題．

【例1】 已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域為[a-1，2a]，則點(a，b)的軌跡是

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A．點 B．線段

C．直線 D．圓錐曲線

分析：本題常常會誤選成C，理由是因為f(x)是偶函數(shù)，于是得出一次項系數(shù)b=0，同時錯誤地以為a∈R．這樣的思路就恰好忽略了對奇(偶)函數(shù)定義的內(nèi)涵的挖掘．

點評：挖掘定義的內(nèi)涵解題不僅促進(jìn)了對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，而且比用其他方法更能顯得技高一籌，因此教學(xué)中應(yīng)重視對這種無形知識的開發(fā)和利用．

二、挖掘局部與整體的內(nèi)在聯(lián)系

對于題設(shè)出現(xiàn)較復(fù)雜的幾何體或代數(shù)式的情形，可將復(fù)雜的整體分解成若干個局部，然后對各個局部分別研究或著重研究某一特殊局部，接下來利用局部與整體的內(nèi)在聯(lián)系，由局部推測或激活整體，以局部解決獲取整體解決．

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分析：本題的背景是非典型多面體，沒有現(xiàn)成的體積公式可用，可考慮對圖形進(jìn)行分解，將其分割成特殊的幾何體，然后再挖掘局部與整體的內(nèi)在聯(lián)系，使問題巧妙獲解.

解：直接計算該多面體的體積費時且比較困難，可連接BE,CE，則原多面體的體積轉(zhuǎn)化為四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF的體積之和，易得四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD=6，由局部與整體的關(guān)系可知原多面體的體積應(yīng)大于6，故選D.

【例3】 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，a≠0)，f(2)=0，且方程f(x)=x有等根.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)是否存在常數(shù)p，q(plt;q)，使f(x)的定義域和值域分別是[p，q]和[2p，2q]，如果存在，求出p，q的值；如果不存在，說明理由.

三、挖掘變元的取值范圍

這里所謂變元的取值范圍是指題設(shè)中并未給定，但卻隱藏在題中等式、不等式或圖形內(nèi)的變元的取值范圍，挖掘出此類變元的取值范圍不僅是解題的必經(jīng)之路，而且對于提高思維的嚴(yán)密性和敏捷度大有裨益.

分析：若直接判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，則很難發(fā)現(xiàn)f(x)與f(-x)的關(guān)系，但若注意到函數(shù)的定義域，則絕對值符號就很容易去掉，問題的解決也就峰回路轉(zhuǎn)了.

【例5】 設(shè)α，β為銳角，且α+β=120°，試求函數(shù)y=cos2α+cos2β的最值．

點評：類似于本題，當(dāng)題設(shè)中的某些條件是由多個變元組成的代數(shù)式時，各變元間往往不再具有獨立關(guān)系，而是一個變元的取值要受到另一個變元的制約或影響，此時應(yīng)把其中一個變元用其他變元表示，并借助某些條件把其他變元的范圍求出來，這也是解決此類問題的關(guān)鍵一步.

四、挖掘代數(shù)關(guān)系的幾何背景

有些代數(shù)問題，若能根據(jù)已知代數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)，挖掘出它的幾何背景，則可以通過化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的圖形，從而使問題巧妙地得到解決.

分析：本題表面上是一個關(guān)于t的二次式，但又有三角函數(shù)作另外的約束條件，因此從純代數(shù)角度采用常規(guī)思路難以解決.仔細(xì)觀察目標(biāo)式后，不難挖掘出這樣的隱含信息：目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)類似于兩點間的距離公式，于是可考慮從幾何角度解決問題.

分析：仔細(xì)研究目標(biāo)不等式，不難挖掘出這樣的隱含信息：目標(biāo)不等式中的三個根號的值均大于0，該不等式的結(jié)構(gòu)類似于“三角形中兩邊之和大于第三邊”，因此可考慮從幾何角度解決問題.

點評：在解決代數(shù)問題時，揭示出隱含在內(nèi)部的幾何背景，不僅使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，獲得了避繁就簡、化難為易的新穎解法，而且對創(chuàng)造型思維的開發(fā)和培養(yǎng)也很有益處.

五、挖掘所給圖形是否經(jīng)過特殊位置

在題設(shè)所給的圖形中，對尚未直接顯現(xiàn)出來的各個元素，通過合情的推理運算或添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形所經(jīng)過的特殊位置揭示出來，并充分發(fā)揮這些位置的作用，可以達(dá)到化難為易、迅速導(dǎo)出結(jié)論的目的.

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A.0 B.1

C.2 D.不能確定

【例9】 已知A和B為拋物線y2=4px(pgt;0)上除原點以外的兩個動點，若OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

點評：能否順利挖掘出圖形經(jīng)過特殊位置的關(guān)鍵在于平時多進(jìn)行這方面的思維訓(xùn)練和總結(jié)歸納.

六、挖掘常見幾何圖形的固有屬性

研究幾何問題時，挖掘幾何圖形的固有屬性常常是必不可少的一環(huán).若能充分挖掘出圖形的固有屬性，則往往會使代數(shù)運算大為簡化，使問題簡單明了，有時也可以用挖掘出的屬性繞開計算的暗礁，達(dá)到事半功倍的效果.

【例10】 已知點A(a，b)是圓D：x2+y2-2dx-2ey+f=0內(nèi)的一定點，弦BC與點A組成一個直角三角形，且∠BAC=90°，求弦BC中點P的軌跡方程.

分析：要解決本題，不妨作出一個能大致反映題設(shè)的草圖，然后聯(lián)想到有“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”這樣的幾何屬性，若能及時挖掘出這樣的隱含信息，問題也就迎刃而解了.

四川省資陽市雁江區(qū)教育教學(xué)研究室)