解三角形的幾個技巧

山西 李有貴

解三角形的幾個技巧

山西 李有貴

解三角形問題的常規(guī)解法是利用正余弦定理，以及三角函數(shù)公式求解.孰不知勾股定理是余弦定理的特殊情形，銳角三角函數(shù)的定義方法是在直角三角形中定義的，因而解三角形的問題，可以通過作高得到直角三角形，利用三角函數(shù)的定義、勾股定理,以及特殊直角三角形來解題.

一、構(gòu)造特殊直角三角形解題

【解析】如圖，作AE⊥BC于E,CF⊥AB于F.

由勾股定理得

所以∠BAC=60°.

二、利用三角函數(shù)的定義解題

【例2】已知在△ABC中，若C=120°,tanA=3tanB，sinA=msinB,則實數(shù)m=________.

【解析】如圖，

作AD⊥BC交BC延長線于D，設(shè)CD=1，

【評注】過A作三角形的高AD.由C=120°為特殊角，既可以利用特殊直角三角形中三邊之間的關(guān)系，又可以利用三角函數(shù)的定義得到tanA,tanB的表達式，因而可以利用方程求解.利用兩角和的正切公式求出x后，利用正弦定理求出m.

【簡解】如圖，作AD⊥BC于D，

在△ABD中，

三、轉(zhuǎn)化為方程(組)解題

在△BCD，△ABD中，由勾股定理得

x2+h2=49②,y2+h2=64③,

③-②得y2-x2=15,即(y+x)(y-x)=15,

②+③-2×①得(y-x)2=9，即y-x=3.

【簡解】如圖，作平行四邊形BADC，

作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足為E,F.

所以△BCE≌△ADF.

所以AF=BE=4x.在△BDF中，

四、構(gòu)造相似三角形解題

【例4】已知△ABC，AB=AC=4,BC=2，點D為AB延長線上一點，BD=2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC=________．

【評注】求三角形面積最常用的公式是底與高的積的一半，求角的余弦值用三角函數(shù)定義求解.因而想到作AB邊上的高CE，BC邊上的高AF，利用等腰三角形性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形求解.

山西省臨縣第一中學(xué))