光柵衍射光強(qiáng)分布的幾種簡(jiǎn)易計(jì)算方法

曹衛(wèi)軍 如克亞木·哈力克

（1.昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院 新疆 昌吉 831100；2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

光柵衍射光強(qiáng)分布的幾種簡(jiǎn)易計(jì)算方法

曹衛(wèi)軍1如克亞木·哈力克2

（1.昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院 新疆 昌吉 831100；2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

光柵衍射光強(qiáng)分布公式嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)涉及比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理知識(shí)。而用半波帶法、振幅矢量法、三角函數(shù)法計(jì)算并分析光柵衍射光強(qiáng)分布，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷，物理圖像清晰，便于學(xué)習(xí)者更好地理解光柵衍射光強(qiáng)分布規(guī)律。

光柵衍射；光強(qiáng)分布；計(jì)算方法

對(duì)于光的衍射現(xiàn)象的解釋在光學(xué)發(fā)展歷史中有特別重要的地位。在大學(xué)物理教材與物理教學(xué)中，光柵衍射光強(qiáng)分布公式一般不會(huì)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，因?yàn)樯婕暗奖容^復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理知識(shí)。即便給出數(shù)學(xué)表達(dá)式，也因?yàn)閺?fù)雜的推導(dǎo)，學(xué)生理解起來(lái)覺(jué)得很難。所以嘗試用相對(duì)簡(jiǎn)易的方法來(lái)推導(dǎo)光柵衍射光強(qiáng)分布公式，并對(duì)光強(qiáng)分布特點(diǎn)進(jìn)行分析。

1 光的衍射原理

1.1 光的衍射定義

光在傳播過(guò)程中遇到尺寸比光波波長(zhǎng)大得不多的障礙物或小孔時(shí)，它將偏離直線(xiàn)傳播繞過(guò)障礙物進(jìn)入其陰影區(qū)，形成光強(qiáng)不均勻分布的現(xiàn)象叫光的衍射。衍射時(shí)產(chǎn)生的明暗條紋或光環(huán)，叫衍射圖樣[1]。依據(jù)光源、衍射物、觀(guān)察屏三者的距離，我們可以把衍射分為夫瑯禾費(fèi)衍射和菲涅耳衍射兩種[2]。

1.2 光柵衍射原理

1.2.1 光柵的構(gòu)成

廣義的光柵指的是任何具有空間周期性的衍射屏。在平板玻璃上刻出系列的等寬度、等間距的平行刻痕，即為平面透射光柵?？毯厶幉煌腹?，相鄰刻痕之間的光滑部分可以透光，等效于一個(gè)單縫。設(shè)定每個(gè)透光部分的寬度為a，不透光刻痕的寬度為b，光柵常數(shù)d=a+b。以下討論光柵衍射規(guī)律時(shí)均指這種光柵，設(shè)光柵的總縫數(shù)為N，衍射角為θ。光柵衍射是單縫衍射和多縫干涉的綜合效應(yīng)，即光柵衍射原理會(huì)涉及到單縫衍射原理和多縫干涉原理。

1.2.2 單縫衍射

單縫衍射實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。光源S置于凸透鏡l1的左端焦平面，經(jīng)l1折射以后的光束變?yōu)槠叫泄猓叫泄獯怪比肷涞絾慰pAB上[3]。根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，衍射光以θ衍射角經(jīng)過(guò)透鏡會(huì)聚于觀(guān)察屏上P點(diǎn)時(shí)，其光強(qiáng)分布規(guī)律為：I=I0(sinu/u)2。

式中的I為單縫衍射在θ=0方向上的衍射光強(qiáng)，u=(πasinθ)/λ，a是單縫的寬度。

圖1 單縫衍射示意圖

圖2 單縫干涉示意圖

1.3 多縫干涉

干涉是頻率相等、振動(dòng)方向相同、具有恒定的相位差的兩列或兩列以上的波在空間疊加時(shí)發(fā)生光強(qiáng)重新分布的現(xiàn)象，多縫干涉如圖2所示。多縫干涉的強(qiáng)度分布規(guī)律為

1.4 光柵衍射

光柵衍射示意圖如圖3所示，f為凸透鏡焦距。依據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，采用積分法可以計(jì)算出光柵衍射的光強(qiáng)表達(dá)式[4]為

圖3 光柵衍射示意圖

2 光柵衍射光強(qiáng)分布的計(jì)算與分析

2.1 半波帶法計(jì)算

我們?cè)谟冒氩◣Хǚ治鰡慰p衍射（如圖4）的基礎(chǔ)上，嘗試用半波帶法分析光柵衍射光強(qiáng)分布[5]。

2.1.1 光柵方程、主次大（明紋）

如果相鄰兩條縫發(fā)出的光波間的光程差剛好等于入射光波長(zhǎng)的整倍數(shù)，那么N個(gè)縫的光束在光屏上P點(diǎn)處干涉加強(qiáng)，合振動(dòng)振幅為最大值，則光強(qiáng)最大，在屏上呈現(xiàn)為明紋，叫主極大。即為光柵方程：

2.1.2 暗紋、次極大、缺級(jí)

如果光柵平面恰好分成偶數(shù)個(gè)半波帶（如圖5），每相鄰兩個(gè)半波帶對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的光程差，相位差為π，符合干涉相消的條件，光強(qiáng)為零，在光屏上形成暗紋。于是得到光柵衍射暗紋條件為：

式中，κ'≠0、N、2N...這屬于光柵公式的衍射明紋情形。

從（2）式可以看出兩個(gè)相鄰的主極大之間有N-1條暗紋（極?。?，然而兩個(gè)暗紋之間必然不能是暗紋，有一定光強(qiáng)，叫做次極大，可以推算出來(lái)，N-1條暗紋之間就會(huì)有N-2個(gè)次極大。即兩個(gè)相鄰的主極大之間存在N-1個(gè)極小，N-2個(gè)次極大。

圖4 單縫衍射半波帶

圖5 光柵衍射半波帶

2.2 三角函數(shù)法計(jì)算

2.2.1 計(jì)算

如圖3所示，屏上某一點(diǎn)P處的電矢量是來(lái)各狹縫的電矢量的相干疊加。若P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的衍射角為θ，則相鄰兩狹縫間的光程差為δ=dsinθ。對(duì)于角頻率為ω，波長(zhǎng)為λ的單色光，設(shè)通過(guò)第一條狹縫的光在P點(diǎn)引起的振動(dòng)為

于是，P點(diǎn)的合振動(dòng)為

2.2.2 討論

即dsinθ=kλ，k=0、±1、±2、±3...此式為光柵方程。

表明相鄰兩個(gè)主極大之間有N-1條極小。

③次極大。兩個(gè)極小之間還存在光強(qiáng)較弱的次極大。相鄰兩個(gè)主極大之間存在N-1個(gè)極小，就必然會(huì)有N-2個(gè)次極大。

2.3 振幅矢量疊加法計(jì)算

2.3.1 計(jì)算

光柵中相鄰兩條光縫衍射出來(lái)的光線(xiàn)的光程差δ=dsinθ，相位差為總振幅Ap可用圖6所示的矢量圖解求出[8]。圖中A1、A2、...AN-1、AN各矢量的長(zhǎng)度都是每個(gè)單縫的合成振幅A，方向逐個(gè)相差Δφ的角度，所以折線(xiàn)OA1A2...AN是等邊多邊形的一部分，P是這個(gè)多邊形的中心，等腰三角形POA1的頂角Δφ，于是

ΔPOQ是等腰三角形，頂角，所以合矢量Ap的長(zhǎng)度為

圖6 光柵衍射振幅矢量疊加

2.3.2 討論

振幅矢量疊加法得到了三角函數(shù)法一樣的光柵衍射光強(qiáng)公式?？梢耘c2.2中一樣討論主極大、極小、次極大、缺級(jí)等條紋特征。然而，我們從振幅矢量疊加的特殊情況得到一些結(jié)論。

將每一單光束的振幅貢獻(xiàn)看做一個(gè)分矢量，由于在同一θ下各分矢量的長(zhǎng)度應(yīng)該相等，只是相鄰矢量產(chǎn)生了大小為Δφ的輻角變化，而這N個(gè)首尾相接的矢量總的轉(zhuǎn)角則為，ΔφN=NΔφ。

顯然，當(dāng)θ=0時(shí)，Δφ=0，各分矢量取向相同（如圖7（a）），合矢量為NA10，相應(yīng)的光強(qiáng)為N2I10，這里的A10和I10分別表示單縫衍射時(shí)的中心點(diǎn)的的振幅和強(qiáng)度，而這一點(diǎn)稱(chēng)為零級(jí)主極大。

當(dāng)δ=3λ/2N時(shí)，δN=3λ/2，ΔφN=3π矢量合成圖轉(zhuǎn)過(guò)一圈半（如圖7（c）），合矢量取得極大值，稱(chēng)為一級(jí)次極大。

當(dāng)δ=2λ/N時(shí)，δN=2λ，ΔφN=4π矢量合成圖轉(zhuǎn)過(guò)兩圈（如圖7（d）），由此可以得到了第二零點(diǎn)。

以下類(lèi)推可以依次得到各高級(jí)次極大和零點(diǎn)。直到δ=λ時(shí)，Δφ=2π，各分矢量在后者比相鄰前者多轉(zhuǎn)過(guò)一圈的條件下又全部同向排列起來(lái)（如圖7（e）），這時(shí)合成光強(qiáng)為表示在此衍射角θ1下單縫衍射的強(qiáng)度，相應(yīng)位置θ1稱(chēng)為一級(jí)主極大。

θ在增加時(shí)，有重復(fù)零點(diǎn)和次極大交替出現(xiàn)的過(guò)程，直到δ=2λ時(shí)出現(xiàn)第二次主極大。然后零點(diǎn)和次極大又交替重復(fù)，直到δ=3λ時(shí)出現(xiàn)三級(jí)主極大[9]……。

圖7 矢量圖解法分析多縫衍射中的極點(diǎn)

3 幾種計(jì)算方法的對(duì)比

綜上所述，半波帶法，振幅矢量法以及三角函數(shù)法來(lái)計(jì)算光柵衍射光強(qiáng)及分析條紋特點(diǎn)均比采取積分計(jì)算簡(jiǎn)單得多。振幅矢量法以及三角函數(shù)法可以得到與積分法一樣的光柵衍射光強(qiáng)公式。

半波帶法用比較粗糙的分割波面，雖然不夠精細(xì)，但是可以很容易得出衍射圖樣的一些特征，常常被人們所喜用。三角函數(shù)法計(jì)算未涉及高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，容易掌握，且邏輯關(guān)系清晰、物理意義明確，容易被學(xué)生接受。振幅矢量法既可以得到精確的光柵衍射光強(qiáng)公式，可與三角函數(shù)法計(jì)算得到結(jié)論一樣討論衍射圖樣特征，同時(shí)還可以從振幅矢量疊加的特殊情況下得到主極大、極小、次極大的特征。兼具前面兩種計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)。

［1］姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.北京:高等教育出版社,2002:115-117.

［2］趙凱華,鐘錫化.光學(xué)(下冊(cè))［M］.北京:北京大學(xué)出版社,2004:2-11.

［3］［4］［9］蔡履中,王成彥,周玉芳.光學(xué)教程［M］.濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,2002:222-223.

［5］吳穎,孫麗暖,徐恩生.半波帶法在分析光柵衍射中的應(yīng)用［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào).2005,(03).

［6］趙詩(shī)華,滕愛(ài)萍.光柵衍射的初步分析［J］.大學(xué)物理,2005,(04).

［7］孫紅輝,王紅霞,許佳婷.光柵衍射中明暗條紋的分析討論［J］.課程教學(xué)研究,2016，(35).

［8］吳穎,徐恩生,羅宏超.振幅矢量法與半波帶法分析光柵衍射的比較［J］.沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2005,(22).

O436.1

A

1671-6469（2017）-06-0103-05

2017-10-01

曹衛(wèi)軍（1969-），男，湖南雙峰人，昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院副教授，研究方向：物理教育、強(qiáng)激光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用。