讓思維可見 讓學(xué)習(xí)發(fā)生

張玉平

[摘 要]為了讓數(shù)學(xué)課堂體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價值，為了讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷推理的過程。以“圓的周長”的教學(xué)片段為例，教師要為學(xué)生搭建思維推理的平臺，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、猜想、驗證等過程，才能使學(xué)生的思維從直觀走向抽象，從底層走向高層。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)推理

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）29-0024-02

張奠宙與趙小平教授在《當(dāng)心“去數(shù)學(xué)化”》一文中指出：“君不見，評論一堂課的優(yōu)劣，只問教師是否創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實情境？學(xué)生是否自主探索？氣氛是否活躍？是否分小組活動？用了多媒體沒有？至于數(shù)學(xué)內(nèi)容，反倒可有可無起來。”盡管充滿了美麗的詞語，如“自主”“探究”“創(chuàng)新”“聯(lián)系實際”“貼近生活”“積極主動”“愉快教學(xué)”等，但我們應(yīng)該始終牢記這一點(diǎn)，“任憑‘去數(shù)學(xué)化的傾向泛濫，數(shù)學(xué)教育無異于自殺！”

【教學(xué)片段一】

師（在黑板上畫好一個圓（沒有標(biāo)出圓心））：這是一個圓，我忘記圓心在哪里了，怎么找到它的直徑呢？

生1：連接圓上任意兩點(diǎn)得到一條線段，量出它的長度，找到它的中點(diǎn)，垂直畫下來就能找到圓的直徑。

師：還有別的方法嗎？

生2：可以把它想象成一張紙，將它對折；也可以拿一張紙覆蓋在上面，描出這個圓后再對折。

師：說得很好！通過想象把黑板折起來。誰還有其他的方法？

生3：可以在圓外畫兩條直線。

師：這兩條直線要怎么樣？

生3：兩條直線要平行。

師：這個方法很好，它就是我們的工具卡尺的量法。

生4：找出圓外兩條平行線之間的最小距離就是直徑。

師：這樣找圓心就容易了吧？

【自悟：如何讓復(fù)習(xí)或檢測不是簡單的重復(fù)，而是讓學(xué)生在回顧中再提升？這個問題值得研究。在此，我通過設(shè)計一個找圓心的活動開啟學(xué)生的思維之旅。學(xué)生給出的三種方法中，后面兩種在我的預(yù)設(shè)之中，而第一種方法，通過課后訪談得知該學(xué)生是從她爸爸那里學(xué)來的，這種方法已經(jīng)是初中幾何的知識了。在接下來找圓心的過程中，我把半徑和直徑的概念有機(jī)地融為一個整體，這樣的認(rèn)識是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)而非點(diǎn)狀的，能有效地促使學(xué)生自主建構(gòu)知識，形成完整的知識框架?！?/p>

【教學(xué)片段二】

師（讓學(xué)生在已畫好的一個圓中找到直徑后，教師用三角尺的60°角沿直徑畫了一個三角形）：你覺得張老師要提什么問題？或者你有什么想法？

生1：為什么要畫三角形？

生2：這個圓里可以畫多少個這樣的三角形？

生3：這個三角形的周長是多少？

生4：這個三角形的面積是多少？

師：我們要學(xué)了圓的面積后再研究三角形的面積。

生5：這個三角形有什么特殊的地方？

師：你覺得有什么特殊的地方？

生5：老師用的是三角尺中的60°角畫的角。

師：生5觀察得非常仔細(xì)，她看到我是用60°的角來畫的。學(xué)習(xí)不光要聽，還要觀察，觀察后還要思考。從這個角度考慮，它是一個什么三角形？

生6：是一個等邊三角形。

師：你量過嗎？

生6：沒有。

師：你沒有量過，張老師也沒量過，只知道其中一個角是60°，你怎么就能確定三角形OAB是等邊三角形呢？能給出理由嗎？給大家30秒的時間想想為什么是等邊三角形，同桌之間可以討論交流。

生7：這三個角的度數(shù)都是60°。

師：你是從等邊三角形的三個角都是60°，或者說每個角都是60°的三角形肯定是等邊三角形出發(fā)考慮問題的？

生8：一開始是用60°的角畫的，之前說過“三角形的內(nèi)角和都是180°”，用180除以3，每個角就是60°，所以是等邊三角形。

師：你心里已經(jīng)默認(rèn)了三個角都是相等的，所以得到180°除以3等于60°。

生9：用60°的三角板去量一下。

師：量一下是可以的，但是這樣能說清楚問題嗎？

生10：因為還有兩條邊是相等的。

師：哪兩條邊是相等的？請指一指。

生10：OA、OB這兩條邊都是圓的半徑。

師：圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都是半徑，怎么知道AB這條邊也和半徑一樣長呢？

生11：因為如果有兩條邊相等的話，它就是一個等腰三角形。因為下面兩個角的度數(shù)是一樣的，且它們的度數(shù)之和是180°-60°=120°，所以它們的度數(shù)都是120°除以2，都等于60°。所有的角都相等，都是60°，所以是等邊三角形。

師：等腰三角形的兩個底角就應(yīng)該相等。 120°除以2等于60°，說明兩個底角都是60°。由180°減去60°等于120°，再用120°除以2等于60°，這個過程看起來只是一小步，但是生11帶著我們跨進(jìn)了一大步。

師：現(xiàn)在我把他的思路再說一說。這個角是60°，這兩條邊是半徑，所以兩邊相等，可以知道這是一個等腰三角形。等腰三角形的兩個底角應(yīng)該是相等的。三角形內(nèi)角和是180°，180°減60°等于120°，120°除以2就等于60°，每個底角都是60°，這樣三個角都等于60°，說明它是等邊三角形。

師：我們用這么長的時間來說明這是一個等邊三角形，你從中能否感受到快樂？現(xiàn)在請大家繼續(xù)思考，可以畫多少個這樣的三角形？

生（齊）： 6個。

師：畫出6個三角形，就能看到這個圓里面有一個正六邊形。看看這個正六邊形的周長和這個圓的周長有什么關(guān)系？誰長誰短？endprint

生12：圓的周長長。

師：顯然圓的周長比6r多一些。還可以怎么說？

生13：圓的周長比3d多一些。

師：對，圓的周長比6r多一些，也可以說圓的周長比3d多一些。

【自悟：探索圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系是本節(jié)課的重點(diǎn)。以前的教材都是讓學(xué)生先去測量大小不同的圓的直徑和周長，再通過計算得到近似數(shù)。而學(xué)生在測量中往往由于材料的原因或是操作的原因得出誤差很大的結(jié)論，這對學(xué)生認(rèn)識圓周率的確定性反而造成了不利的影響。想到用圓內(nèi)接正六邊形的方法來證明圓的周長比直徑的三倍多一點(diǎn)，這是源于在之前的教學(xué)中布置給學(xué)生的一個任務(wù)“你能用什么方法說明圓的周長比直徑的三倍多一些？”其中有一個學(xué)生就用了這樣的方法，現(xiàn)在新修訂的教材也給出了這樣的圖示。但是如何讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的推理過程呢？是淺顯的直觀還是嚴(yán)密的邏輯？我想應(yīng)該選擇后者。因為通過動手測量圓形物體表面的周長，抑或是通過滾一滾的方式，雖然能加深學(xué)生的體驗，但通過這些方式得到圓周率是十分困難的。

我用大量的時間讓學(xué)生去證明所畫的三角形是一個等邊三角形，這個證明過程看似簡單，但因為學(xué)生對圖形的認(rèn)知普遍是靠“看”，因此調(diào)動學(xué)生所有的知識儲備去進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，看上去有點(diǎn)“殘酷”，但這卻是學(xué)生思維邁出的一大步：從直觀思維走向邏輯推理思維。學(xué)生觀察、思考，用數(shù)學(xué)的思維方式去發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)問題，教師用數(shù)學(xué)知識本身的魅力吸引學(xué)生，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，正是在這樣一種潤物無聲的深度對話和思辨過程中，數(shù)學(xué)的美化作為學(xué)生再思考的力量源泉?！?/p>

【教學(xué)片段三】

師：請大家再想一想我們現(xiàn)在學(xué)的圓的周長和以前學(xué)的長方形和正方形的周長有沒有聯(lián)系？我來畫張圖，長方形的周長c除以（a+b）等于2；正方形的周長c除以a等于4。

師：如果讓你來選擇，你會用長方形還是正方形來剪一個圓？

生1：正方形。

師：為什么？

生1：3.14更接近4。

師：大家都聽明白了嗎？因為圓周率更接近4，所以你也會選正方形是不是？

師：數(shù)學(xué)家就是數(shù)學(xué)家，喜歡看數(shù)字，3.14更接近4。大家下課后可以試一試。

【自悟：推理作為一種演繹系統(tǒng)，一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容與邏輯意義相關(guān)聯(lián)，另一方面可利用從知識結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到的研究方法，再去獲取更多的知識。教師要引導(dǎo)學(xué)生去尋找、發(fā)現(xiàn)和探索知識之間的相互聯(lián)系，因為這是學(xué)生良好思維品質(zhì)的建構(gòu)與生成的必經(jīng)之路。學(xué)完圓的周長，再與以前學(xué)的長方形周長和正方形周長的公式進(jìn)行比較，學(xué)生自然能更深刻地理解規(guī)則圖形中的規(guī)律性，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)所在，也是課程標(biāo)準(zhǔn)所追求的目標(biāo)：用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、用數(shù)學(xué)的知識去說明、用數(shù)學(xué)的方式去分析、用數(shù)學(xué)的思維去處理。因為只有擁有思考，才會擁有數(shù)學(xué)文化的力量?！?/p>

總之，教師在教學(xué)中要盡力為學(xué)生搭建思維推理的平臺，通過引導(dǎo)，使學(xué)生的思維一步步向數(shù)學(xué)的本質(zhì)靠近。因為只有親身經(jīng)歷觀察、猜想、驗證等推理的過程，學(xué)生的思維才能從直觀走向抽象，從底層走向高層，真正走向思維的更深處。

（責(zé)編 金 鈴）endprint