在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

姜春陽

摘要：當(dāng)前，隨著課程的不斷深入改革，怎樣針對學(xué)生的具體情況，提升教學(xué)的水平，使得學(xué)生的素質(zhì)得到全面發(fā)展，這是每位從事教育工作的工作者需要思考的問題。數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠在一定程度上，調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的興趣，從而讓學(xué)生自發(fā)性地參與到教學(xué)的活動當(dāng)中，配合教師的工作?；诖耍疚恼撌隽烁咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；方法應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的實際教學(xué)中，很多教師會將傳授學(xué)生一些理論知識以及講解一些基本公式和概念作為教學(xué)工作的重點，因此容易忽視數(shù)學(xué)的教學(xué)方法。但是從某種角度來講，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，這才是教學(xué)的重點工作。因此在教學(xué)的過程中，教師可以應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合方法，使其貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，這樣才能夠化抽象為具象，簡化數(shù)學(xué)問題，才能有助于教師更好地完成教學(xué)目標(biāo)，保障高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量。

一、 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用意義

（一） 銜接初高中知識

將數(shù)學(xué)結(jié)合方法應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的課堂上，能夠助于學(xué)生有效銜接初高中的數(shù)學(xué)知識，起到一定的過渡作用。當(dāng)然，相比于高中數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)比較容易理解，也容易學(xué)習(xí)。高中課本中有非常多的抽象知識，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會比較吃力。而且，高中數(shù)學(xué)對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)圖形，理解數(shù)學(xué)語言以及拓展數(shù)學(xué)思維都提出了比較高的要求。因此，作為數(shù)學(xué)教師，要針對學(xué)生的實際情況，結(jié)合學(xué)生的實際需要，應(yīng)用有效的教學(xué)模式和方法。比如，數(shù)形結(jié)合的方法，由于這種方法在應(yīng)用中收到了比較好的效果，因此受到廣大師生的推崇。

（二） 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣

將抽象理論和圖形結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合核心的理念。形象化處理抽象的概念，不僅能夠拓展學(xué)生抽象思維，還能在此基礎(chǔ)上，助于學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)知識和內(nèi)容掌握。同時，還能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，簡化一些理論、概念性的東西，這樣能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因此，在實際的教學(xué)中，教師要應(yīng)用到這種數(shù)形結(jié)合的方法，把“數(shù)”理念與“形”特點結(jié)合在一起，實現(xiàn)兩者的相互促進(jìn)和配合，為學(xué)生提供更廣的思路，啟發(fā)學(xué)生對問題的思考，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

二、 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用策略

（一） 教師要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想

在眾多的思想當(dāng)中，很常見的一種數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合的思想，從實際情況來看，學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)當(dāng)中，就用到了這種數(shù)形的思想。只是在高中的數(shù)學(xué)當(dāng)中，難度加大了，問題也更復(fù)雜了，因此為了保障教學(xué)的質(zhì)量和水平，同時提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，教師更要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。只有這樣，學(xué)生才能夠得到顯著的進(jìn)步，從而自發(fā)性地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中。

在教學(xué)的過程中，教師要讓學(xué)生將基本的數(shù)學(xué)概念掌握好，因為數(shù)學(xué)概念承載著數(shù)學(xué)的方法和思想，同時數(shù)學(xué)概念也是人們對客觀世界的空間關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系形成的認(rèn)識，而且數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的主要來源。因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，一定要讓學(xué)生掌握好一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念和知識，只有這樣才能夠為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想打下堅實的基礎(chǔ)，從而助于學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)問題解決。在幾何當(dāng)中，有正弦和余弦等一些基本概念存在，這些概念通過同圖形的結(jié)合，能夠?qū)缀蔚囊饬x充分展示出來。這樣不僅能夠助于學(xué)生加深對基本概念的理解程度，在此基礎(chǔ)上，還能在學(xué)生遇到問題時，助于學(xué)生在腦海中構(gòu)建結(jié)合圖形，有效的將數(shù)學(xué)問題解決。比如在學(xué)正弦定理的教學(xué)內(nèi)容時，有這樣的兩道練習(xí)題：

1. 在△ABC中，acos（π2-A）=bcos（π2-B），判斷△ABC的形狀。

解：法一：∵acos（π2-A）=bcos（π2-B），

∴asinA=bsinB.由正弦定理可得：a·a2R=b·b2R，

∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC為等腰三角形。

法二：∵acos（π2-A）=bcos（π2-B），

∴asinA=bsinB.由正弦定理可得：

2Rsin2A=2Rsin2B，即sinA=sinB，

∴A=B.（A+B=π不合題意舍去）

故△ABC為等腰三角形。

2. 已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，交對邊BC于D，求證：BD/DC=AB/AC。

證明：設(shè)∠ADB=θ，

則∠ADC=π-θ.

在△ABD中，由正弦定理得：

BD/sin A2=AB/sin θ，即BD/AB=sinA2/sin θ；①

在△ACD中，CD/sinA2=AC/sin（π-θ），

∴CD/AC=sinA2sinθ。②

由①②得BD/AB=CD/AC，

∴BD/DC=AB/AC。

教師可借助數(shù)形結(jié)合的方法，來幫助學(xué)生理解這兩道題目，這樣學(xué)生才能夠用最有效的方式以及最快的速度將問題解決，從而培養(yǎng)自己的數(shù)形結(jié)合思想。

（二） 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解決集合問題

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)就是集合，與此同時，能夠利用圖形進(jìn)行生動展示的一個很好的例子就是集合。簡單的來講，數(shù)形結(jié)合方法就是簡化比較抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系，利用圖形來直觀的展示的一種方法。利用韋恩圖能夠形象的將問題展現(xiàn)出來，同時適時的構(gòu)建坐標(biāo)系也能夠更形象生動的展示圖形當(dāng)中的各個要素。比如，以下兩道集合的練習(xí)題，就可應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的方法。

1. 已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1

瘙 綂 RP）∩Q等于（）

A. [0，1）B. （0，2]

C. （1，2）D. [1，2]

解析∵P={x|x≥2或x≤0}，

瘙 綂 RP={x|0

∴（

瘙 綂 RP）∩Q={x|1

2. 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0≤ax+1≤3}，若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍。

解∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，

又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2}，

∵A∪B=B，∴AB。

①當(dāng)a=0時，B=R，滿足題意。

②當(dāng)a>0時，B={x|-1a≤x≤2a}，

∵AB，∴2a≥2，解得0

③當(dāng)a<0時，B={x|2a≤x≤-1a}，

∵AB，∴-1a≥2，解得-12≤a<0。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠快速的助于找到解決問題的途徑，提高學(xué)生解題的速度，同時才能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓他們掌握更多的數(shù)學(xué)解題方法。

（三） 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解決方程問題

在高中數(shù)學(xué)中，一般方程類的問題都是通過代數(shù)式以及文字結(jié)合的方式進(jìn)行展示，當(dāng)學(xué)生在接觸這類的題目時，即便讀懂了文字的含義，也不能將這類的問題成功解答，因此，很難提升解題的速度。所以在實際的教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將用幾何圖形的形式來替代文字的含義，這樣能夠更生動且形象的將問題展示出來。而學(xué)生通過對幾何圖形進(jìn)行觀察、分析以及探究，能夠快速找到解題的途徑和方式。比如有這樣一道題目：已知方程式|x2-1|=k+1，此時對于k在不同的取值范圍而求解此方程解的情況。

首先對題目進(jìn)行分析：在這道題目中很明顯可以把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣方程可以變?yōu)榫唧w的函數(shù)圖像，然和根據(jù)函數(shù)圖形來解答問題就比較容易；此時可把方程分為兩個函數(shù)，一個是y1=|x2-1|，而另一個函數(shù)是y2=k+1，由此可以劃出對應(yīng)的函數(shù)圖像，如下圖所示：

此時通過觀察函數(shù)圖形就比較容易進(jìn)行分類討論。

情況一：k<-1時，y1和y2無交點，此時方程無解；

情況二：k=-1時，y1和y2存在兩個交點，方程有兩個不同解；

情況三：-1

情況四：k=0時，y1和y2存在三個交點，方程有三個解；

情況五：k>0時，y1和y2存在兩個不同交點，此時的方程有兩個解。

比如還有這樣一道題目：

設(shè)x，y滿足約束條件4x-5y=62x-y=6x-2y=3，則z=x+y的最大值與最小值分別為（）

A. 6，-3B. 1，-3

C. 6，-2D. 1，-2

可以先作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最值。

由z=x+y得y=-x+z，

平移直線y=-x+z，

由圖像可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A時，

直線y=-x+z的截距最大，

此時z最大。

解得，A（4，2），

代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=4+2=6。

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為6。

當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點C（-1，-2）時，

直線y=-x+z的截距最小，

此時z最小。代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=-1-2=-3。

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為-3。

通過“數(shù)”理念與“形”特點結(jié)合在一起，實現(xiàn)兩者的相互促進(jìn)和配合，能夠為學(xué)生提供更廣的思路，啟發(fā)學(xué)生對問題的思考，從而助于學(xué)生快速的將問題解決。

三、 結(jié)束語

總而言之，在新的形勢下，作為數(shù)學(xué)教師，要在高中數(shù)學(xué)課堂上積極應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，這樣才能有效提升教學(xué)水平，保障教學(xué)質(zhì)量。需要注意的是，教師要針對具體問題，合理應(yīng)用，才能夠?qū)?shù)形結(jié)合方法的最大價值充分發(fā)揮出來，從而調(diào)動學(xué)生的積極性，讓他們自發(fā)性的參與到教學(xué)活動中，配合教師的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]賴弋新，楊慧娟，朱黎生等.新中國成立以來高中數(shù)學(xué)教科書的歷史沿革與啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（2）：23-26.

[2]楊慧娟，孟夢.微積分初步在新中國高中數(shù)學(xué)課程中的歷史變遷[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（1）：25-27.

[3]曹一鳴，王立東，PAUL COBB等.美國統(tǒng)一州核心課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)部分述評[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（5）：8-11.

[4]王建磐，鮑建生.高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望，2014，43（8）：101-110.

[5]寧連華，顧鋒，何曉敏等.高中數(shù)學(xué)新課程變化內(nèi)容對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014，23（4）：16-20.

[6]劉云，楊慧娟，朱維宗等.教師對新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教科書的認(rèn)可情況調(diào)查——新舊教科書對比的視角[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014，23（3）：87-91.

[7]苗瓊，代欽.中日高中數(shù)學(xué)教科書數(shù)列內(nèi)容的比較[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2016，29（7）：142-146.