例談高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率專題教學(xué)復(fù)習(xí)策略

黃漢羨??

摘要：高中數(shù)學(xué)中統(tǒng)計與概率是一個重點的教學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容，在高考中這一內(nèi)容經(jīng)常出現(xiàn)。為了更好的幫助學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，筆者從掃清盲點、凸顯思想、強(qiáng)化綜合三方面來闡述教學(xué)復(fù)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；統(tǒng)計與概率；教學(xué)復(fù)習(xí)策略

在高考中對統(tǒng)計與概率的考查，往往是以核心知識為重點、以基本問題為載體、以現(xiàn)實生活為背景的交會為命題的出發(fā)點，從而實現(xiàn)全面考查統(tǒng)計與概率的基本思想和方法以及學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。因此，在統(tǒng)計與概率的專題復(fù)習(xí)中我們要將這部分的內(nèi)容進(jìn)行宏觀上的整合，從而掃除學(xué)生復(fù)習(xí)中的障礙。

一、 掃清盲點

在掃清盲點中，我們的教師要做的就是幫助學(xué)生們厘清事件、識別模型、關(guān)注冷門。尤其是厘清事件、識別模型是答題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。下面我們舉一個厘清事件的實例。

例題：現(xiàn)已知總共有5只動物，其中有一只患有疾病，現(xiàn)在需要化驗動物的血液來判斷哪只動物患有疾病。血液化驗的結(jié)果如果呈陽性則是患病動物，呈陰性的也是沒有患病的動物。下面為兩種化驗的方案：

方案甲：挨個化驗，化驗到確定出來患病的動物為止。

方案乙：首先取出3只動物，得到它們的血液，混合在一起進(jìn)行化驗。如果結(jié)果是呈陽性就說明三只動物中有一只患病的，然后再進(jìn)行化驗，到最后確定到哪只是患病動物。如果結(jié)果是陰性的話，就在另外的兩只動物中取一只進(jìn)行化驗。

（1） 求出方案乙中所需要化驗的次數(shù)多于方案甲中所需要化驗的次數(shù)的概率是多少；

（2） 用a表示方案乙中化驗的次數(shù)，求出它的期望是多少。

解：（1） 設(shè)a1，a2分別代表方案甲和乙化驗次數(shù)，P代表相對應(yīng)的概率，

則方案甲中ξ1的分布列為

ξ1

1

2

3

4

P

15

45×14=15

45×34×13=15

45×34×23=25

方案乙中ξ2的分布列為

ξ2

1

2

3

P

0

C24C35×13+C34C35=35

C24C35×23=25

若甲化驗的次數(shù)不少于乙化驗的次數(shù)，則

P=P（ξ1=1）×P（ξ2=1）+P（ξ1=2）×[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）]+P（ξ1=3）+[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）+P（ξ2=3）]+P（ξ1=4）=0+15×0+35+15×0+35+25+25=0.72

（2）E（ξ）=1×0+2×35+3×25=125

例題分析：這道題中容易出錯的地方就是沒有與實際相聯(lián)系，忽略了這是一個實際問題。再方案甲中，每一次化驗時患有疾病的動物出現(xiàn)的概率是相等的，學(xué)生沒有認(rèn)清實際，會以為化驗次數(shù)取值會是1，2，3，4，5。而實際上，如果前四次化驗結(jié)果呈陰性，就不再需要化驗第五次就能判斷最后一只動物為患病的，因此化驗的次數(shù)應(yīng)當(dāng)為1，2，3，4。相應(yīng)的，方案乙中，如果第一次化驗結(jié)果是陽性，那么只需要化驗?zāi)侨恢星皟芍唬Y(jié)果是陰性的就不再需要進(jìn)行化驗了，或者如果第一次化驗的時候是陰性，則化驗另外那兩只動物中的第一只，此時，呈現(xiàn)陰性或者陽性都不需要再進(jìn)行化驗，取2，3即可。所以說，在進(jìn)行有關(guān)分布列的問題解決時，首先第一步要弄清楚的是隨機(jī)變量可能的取值和每一個取值的意義是什么，以后再求出每一個取值時所出現(xiàn)的概率是多少，然后再求出分布列。

二、 凸顯思想

在這部分專題的復(fù)習(xí)中，常用的數(shù)學(xué)思想就是統(tǒng)計的思想。在解題時要以核心知識為中心、以事件模式識別為突破點、以圖表的情境為素材，將這些內(nèi)容進(jìn)行結(jié)合一一突破試題要求。

例題：未來制造業(yè)對零件的精度要求越來越高。3D一般的打印都是通過數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來進(jìn)行的。在工業(yè)設(shè)計、模具制造等部分領(lǐng)域中有著應(yīng)用，比如制造模型，后來開始應(yīng)用于直接制造產(chǎn)品，現(xiàn)在我國已經(jīng)有成功的案例，有的零部件就是采用這種技術(shù)完成的。這種技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計在未來會有廣闊的發(fā)展空間。某制造企業(yè)向A高校3D打印實驗團(tuán)隊租用一臺3D打印設(shè)備，用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件。該團(tuán)隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取10件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖所示（單位：μm）。

（Ⅰ） 計算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ；

（Ⅱ） 假設(shè)這臺3D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），該團(tuán)隊到工廠安裝調(diào)試后，試打了5個零件，度量其內(nèi)徑分別為（單位：μm）：86，95，103，109，118，試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：P（μ-2σ

解：（Ⅰ）μ=97+97+98+102+105+107+108+109+113+11410

=105μm，

σ2=（-8）2+（-8）2+（-7）2+（-3）2+02+22+32+42+82+9210

=36，

所以σ=6μm。

（Ⅱ）結(jié)論：需要進(jìn)一步調(diào)試。

解法一：理由如下：如果機(jī)器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N（105，62），

P（μ-3σ

零件內(nèi)徑在（87，123）之外的概率只有0.0026，

而86（87，123），根據(jù)3σ原則，知機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試。

解法二：理由如下：如果機(jī)器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N（105，62），

P（μ-3σ

正常情況下5個零件中恰有一件內(nèi)徑在（87，123）外的概率為：

P=C15×0.0026×0.99744=5×0.0026×0.99=0.01287，

為小概率事件，而86（87，123），小概率事件發(fā)生，說明機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試。

解法三：理由如下：如果機(jī)器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N（105，62），

P（μ-2σ

正常情況下5件零件中恰有2件內(nèi)徑在（93，117）外的概率為：

P=C25×0.004562×0.95443=10×0.002×0.87=0.0174，

此為小概率事件，而86（93，117），118（93，117），小概率事件發(fā)生，說明機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試。

例題分析：在解答本題時，我們要引導(dǎo)學(xué)生將重心放在統(tǒng)計思想和概率意義的解釋上邊，減少對復(fù)雜的計數(shù)上的關(guān)注，只有掌握了更多的方法才能在解題時水到渠成。

三、 錯題研究

就像盧那察爾斯基說的：“犯錯誤乃是取得進(jìn)步所必須交付的學(xué)費。”只有在不斷地錯誤失敗中我們才能獲得更多的教訓(xùn)，獲得更大的成長，所以教師在教學(xué)中要教導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)錯誤，善于在錯誤中找尋真正的答案，甚至更多的答案。

1. 總結(jié)錯誤，題型分類

“聰明的人不善于苦悶，而是善于思考錯誤”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，難免會出現(xiàn)各種錯誤，我們教師需要做的就是幫助學(xué)生在錯誤中找到答案，引導(dǎo)學(xué)生將出現(xiàn)錯誤的題總結(jié)起來，摘抄到筆記本上邊，然后進(jìn)行題型分類。

就例如下面的一道選擇題：

如果一個整數(shù)為偶數(shù)的概率為0.6，且a，b，c均為整數(shù)，求 （1）a+b為偶數(shù)的概率；（2）a+b+c為偶數(shù)的概率。

解析：整數(shù)為奇數(shù)的概率為1-0.6=0.4

（1） 當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，a+b為偶數(shù)，記a+b為偶數(shù)的概率為P（a+b），則P（a+b）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

（2） 由（1）可知，a+b為奇數(shù)的概率為0.48，a+b+c為偶數(shù)的條件是a+b與c均為偶數(shù)，或者a+b與c均為奇數(shù)，記a+b+c為偶數(shù)的概率為P（a+b+c），則 P（a+b+c）=0.52×0.6+0.48×0.4=0.504

這道題相對來說非常的簡單，但如果學(xué)生出錯的話，可能就是邏輯關(guān)系不清晰，也可能是計算錯誤，總之學(xué)生要把題先弄清楚，摘抄下來，然后分類匯總，整理到一起。

2. 找同類題，加強(qiáng)訓(xùn)練

對于學(xué)生出錯的題型要教導(dǎo)學(xué)生總結(jié)起來，并著一些同類型的題目，反復(fù)訓(xùn)練，加強(qiáng)做題能力，減小出錯幾率。

比如連線題，一邊是數(shù)字答案，一邊是數(shù)學(xué)計算式，學(xué)生有的會連錯，可能是答案沒算對，也可能是連線題比較混亂，適應(yīng)不了。不管是什么理由，都要把該類題型做好，最有效的就是找一些同類型的訓(xùn)練，通過不斷地磨煉增強(qiáng)做題能力，熟練做好各種題型。

四、 與同學(xué)討論多種解題方法

周恩來總理說過：“有錯誤要逢人便講，既可取得同志的監(jiān)督幫助，又可以給同志們以借鑒?！笨梢姺稿e誤之后與別人分享也是特別重要的。所以教師要教導(dǎo)學(xué)生不要怕犯錯，更不要把自己的錯誤掩藏起來，應(yīng)該多于其他同學(xué)討論自己的錯誤，從別人的意見里找到自己的不足之處，更重要的是學(xué)習(xí)別人的長處，也許有的時候不同的同學(xué)會給出不一樣的見解，會發(fā)現(xiàn)更多內(nèi)在的驚喜。

總而言之，高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率的復(fù)習(xí)需要學(xué)生們?nèi)ザ喽嗟倪M(jìn)行習(xí)題的練習(xí)，只有在實際的練習(xí)之中，才能夠更好地去發(fā)現(xiàn)問題所在，也能夠更好地去記住所運用到的解題知識及方法。想要取得好的成績，就只能夠去多加地努力，是沒有捷徑可走的。相信在老師與學(xué)生們的共同努力之下，高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率的復(fù)習(xí)將會取得更好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐素華.概率與統(tǒng)計專題復(fù)習(xí)[J].高中數(shù)學(xué)理化，2012，01.

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