不留遺憾：“統(tǒng)計(jì)與概率”知識點(diǎn)再梳理

諸士金

“統(tǒng)計(jì)與概率”考查的主要內(nèi)容有：數(shù)據(jù)的收集方式及圖表整理與分析；平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)等反應(yīng)數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算與應(yīng)用；極差、方差等反應(yīng)數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算與應(yīng)用；借助樣本估計(jì)總體等統(tǒng)計(jì)觀念從數(shù)據(jù)中提取信息進(jìn)行判斷和說理；生活中的事件分類，簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率的計(jì)算，概率模型與統(tǒng)計(jì)模型相結(jié)合的計(jì)算與運(yùn)用等.這些知識在中考試題中多年來一直占據(jù)相應(yīng)的分值比，但每年考試結(jié)束后都有很多同學(xué)感覺遺憾，主要是因?yàn)閷σ恍┮谆斓闹R點(diǎn)沒有厘清，對易錯點(diǎn)的反思和歸納不到位.有時候易混點(diǎn)就是易錯點(diǎn)，因此我們將“統(tǒng)計(jì)與概率”的主要易混易錯點(diǎn)結(jié)合起來進(jìn)行如下梳理.

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)1：調(diào)查的原則把握不準(zhǔn)

何時選擇“普查”，何時選擇“抽樣調(diào)查”，選擇“抽樣調(diào)查”的原則是什么？不少同學(xué)比較模糊，我們結(jié)合例1來看：

例1 小明所在的班級有52名同學(xué)，就“是否喜歡看足球比賽”這一問題，小明調(diào)查了班上的24名男生，其中12人喜歡，于是小明得出結(jié)論：我們班喜歡觀看足球比賽的人數(shù)占全班人數(shù)的一半.你同意小明的結(jié)論嗎？試說明理由.如不同意，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣改進(jìn)抽樣的方法？

對于這樣的問題，不少同學(xué)根據(jù)做題經(jīng)驗(yàn)，能夠判斷小明的結(jié)論不正確，不同意小明的結(jié)論.但要說明如何改進(jìn)抽樣方法，則無從下手.原因在于對抽樣調(diào)查方式的原則把握不準(zhǔn).我們做抽樣調(diào)查時應(yīng)把握兩個原則：一是抽取的數(shù)據(jù)要隨機(jī)，有代表性；另一個則是要注意抽取的數(shù)據(jù)不宜過少，要有一定的普遍性（廣泛性）.這里小明之所以結(jié)論有誤，是因?yàn)樾∶鞒槿〉臄?shù)據(jù)主要來源于對男生的調(diào)查，過于片面，數(shù)據(jù)不具有代表性.因此要改進(jìn)則需在保證一定數(shù)量（20人左右）的基礎(chǔ)上隨機(jī)抽取男女生進(jìn)行調(diào)查.

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)2：平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的概念不清

例2 九年級（1）班和（2）班的人數(shù)分別為38人和42人，在一次數(shù)學(xué)測試之后，兩班的數(shù)學(xué)平均成績分別為81分和83分，則兩班同學(xué)本次數(shù)學(xué)測試成績的平均數(shù)是： 分.

一些同學(xué)在解決這個問題的時候?qū)忣}不仔細(xì)，草率地進(jìn)行了如下計(jì)算：[81+832]=82（分），而正確的計(jì)算則需要先求出兩個班級的本次測試數(shù)學(xué)成績總分，再除以其總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得：[81×38+83×422]=82.05（分）.

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)3：數(shù)據(jù)分析對象不明

我們發(fā)現(xiàn)在不少統(tǒng)計(jì)題中會以表格形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，而這樣的呈現(xiàn)方式又常常會讓一些同學(xué)對要進(jìn)行處理的數(shù)據(jù)對象分析不明，如例3.

例3 某班學(xué)生理化生實(shí)驗(yàn)操作測試成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

求這些同學(xué)成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

題目看起來簡單，不過一些同學(xué)把15作為“眾數(shù)”的答案則是錯誤的，這里的數(shù)據(jù)的分析對象是“理化生實(shí)驗(yàn)操作測試成績”，而不是“人數(shù)”，不能看到“人數(shù)”為15，一對比是最多，就把15作為眾數(shù)，而應(yīng)該是其人數(shù)對應(yīng)的“9分”為眾數(shù).

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)圖表理解不深

統(tǒng)計(jì)在很多中考試題中會結(jié)合圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，因此讀圖看表的能力是我們解決此類統(tǒng)計(jì)題的基礎(chǔ).讀圖看表一般需要關(guān)注：圖表名稱、圖表中的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系、圖表中需畫或填的要求等.

例4 中考體育測試前，某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績情況，隨機(jī)抽測了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績，并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

請你根據(jù)圖中的信息，寫出扇形圖中a= %，并補(bǔ)全條形圖.

這里只呈現(xiàn)這個統(tǒng)計(jì)題的一個問題要求，這個要求里需要計(jì)算a并“補(bǔ)全條形圖”.一些同學(xué)理解不深，對圖表的對應(yīng)關(guān)系分析不到位，在計(jì)算出a之后或是畫錯條形高度，或是漏畫所缺條形.這里需要在計(jì)算出a=25%之后，結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖的百分比和條形統(tǒng)計(jì)圖的具體值先計(jì)算出總?cè)藬?shù)為200人[2010%=200（人）]，再根據(jù)總?cè)藬?shù)和測試成績?yōu)?個對應(yīng)的百分比求出引體向上拉到6個的人數(shù)為50人，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)5：實(shí)際解釋脫離數(shù)據(jù)支撐

在一些中考試題中，統(tǒng)計(jì)題常常會與實(shí)際問題相結(jié)合，從而考查同學(xué)們運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識解決或解釋實(shí)際問題的能力，滲透應(yīng)用意識.如在例4中設(shè)置問題：根據(jù)圖表提供的信息，請你提出一條合理化的建議.這里所謂合理，不是簡單地說“要加強(qiáng)鍛煉”或者“有多數(shù)同學(xué)已經(jīng)合格，還有不合格的同學(xué)要繼續(xù)練習(xí)”等這樣泛泛而談的建議，應(yīng)基于數(shù)據(jù)說話.

統(tǒng)計(jì)易混易錯點(diǎn)6：統(tǒng)計(jì)中數(shù)學(xué)思想理解欠缺

很多中考統(tǒng)計(jì)題中都會滲透數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、樣本估計(jì)總體和分類思想等，在解決問題中需要我們留意這些數(shù)學(xué)思想，避免解決問題時出錯，如下例.

例5 已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，x的極差是4，求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

這道題乍一看很簡單，極差就是用最大值減去最小值，有的同學(xué)答案就是x-1=4，x=5，然后求得平均數(shù)為3.他們忽略了一點(diǎn)就是x在此題中并沒有說明到底是最大值還是最小值，所以需要分類討論.除了上述這一種情況，還有一種情況就是x為最小值，即4-x=4，x=0，然后求得平均數(shù)為2.因此本題答案應(yīng)該有兩個，即2和3.

概率易混易錯點(diǎn)1：判斷事件性質(zhì)時用特例代表常態(tài)

中考試題中，有一些考題會涉及對生活中事件的性質(zhì)判斷，常以選擇題形式出現(xiàn).即事件是否屬于不確定事件，或是否屬于必然事件和不可能事件.我們在考慮這些事件的屬性時應(yīng)以常理常態(tài)進(jìn)行考慮，非常理和常態(tài)的特例不能作為判斷事件性質(zhì)的依據(jù).

例1 下列事件是必然事件的是（ ）.

A.打開電視機(jī)，正在播放動畫片

B.2008年奧運(yùn)會劉翔一定能奪得110米跨欄冠軍

C.某彩票中獎率是1%，買100張一定會中獎

D.在只裝有5個紅球的袋中摸出1個球，是紅球

少數(shù)同學(xué)會誤選A，問其緣由，認(rèn)為家里電視上一次關(guān)機(jī)的時候是動畫頻道，且這次打開電視正好是動畫片的播放時間段，所以是必然事件.這里的理解就是以特例代表常態(tài)，錯誤地對一般性事件進(jìn)行判斷.

概率易混易錯點(diǎn)2：事件發(fā)生的所有可能結(jié)果具有等可能性判斷有誤

例2 一個不透明的盒子中裝有3個大小相同的乒乓球，其中1個是黃球，2個是白球.從該盒子中任意摸出一個球，摸到的球有幾種等可能情況？

一些同學(xué)會錯誤地認(rèn)為盒子中有兩種顏色的球，所以摸出的球就是兩種情況，即：紅球和白球.本題需要分析的是摸到幾種等可能情況，正確的答案應(yīng)該是摸到三種等可能情況，即紅球，白球1，白球2.

概率易混易錯點(diǎn)3：求隨機(jī)事件概率中“放回”和“不放回”分析不清

例3 北京2008年奧運(yùn)會吉祥物“福娃”是“貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮”：將5張分別印有5個“福娃”圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片.求下列事件發(fā)生的概率：

（1） 取出2張卡片圖案相同；

（2） 取出2張卡片中，1張為“歡歡”，1張為“貝貝”；

（3） 取出2張卡片中，至少有1張為“歡歡”.

求例3中的各事件發(fā)生的概率，需要關(guān)注所取的兩張卡片是如何取的，原題中描述為取出一張記錄后放回，這樣總的所有可能結(jié)果就是25種；如果題目改為抽過的卡片不放回，則總的所有可能結(jié)果則減少到20種.在不放回的題目條件下，三個事件發(fā)生的概率分別為：P（圖案相同）=[15]，P（歡歡、貝貝）=[225]，P（至少有一張歡歡）=[925].

概率易混易錯點(diǎn)4：求隨機(jī)事件概率的方法舍本求末

在分析簡單隨機(jī)事件所有可能結(jié)果并計(jì)算指定事件發(fā)生的概率的時候，我們常用直接列舉、列表法和畫樹狀圖等方法來分析所有發(fā)生的等可能結(jié)果.由于使用列表法和畫樹狀圖法的頻率較高，久而久之，很多同學(xué)淡忘了直接列舉法，看到題就列表或畫樹狀圖分析.而當(dāng)遇到一些列表和畫樹狀圖分析比較困難的題目的時候，往往無從下手.

例4 （2016·南京）某景區(qū)7月1日～7月7日一周天氣預(yù)報(bào)如下.小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游.求下列事件的概率：

（1）隨機(jī)選擇一天，恰好天氣預(yù)報(bào)是晴；

（2）隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴.

本題很多同學(xué)用列表或畫樹狀圖分析時感到困難，無從下手，其實(shí)回到本質(zhì)直接列舉，反而簡單.（1）P（A）=[47].（2）隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，天氣預(yù)報(bào)可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月2日晴，7月3日雨），（7月3日雨，7月4日陰），（7月4日陰，7月5日晴），（7月5日晴，7月6日晴），（7月6日晴，7月7日陰），并且它們出現(xiàn)的可能性相等.恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴（記為事件B）的結(jié)果有2種，即（7月1日晴，7月2日晴），（7月5日晴，7月6日晴），所以P（B）=[26]=[13].因此我們不能過分依賴列表法和畫樹狀圖法，在分析所有可能結(jié)果時舍本求末，忽視簡單事件中可以直接列舉所有可能結(jié)果的情形.需要提醒的是，還要注意書寫的規(guī)范性，不能遺漏如“具有等可能性”這樣的條件說明.

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級中學(xué)）