幾何概型題型剖析

田志成

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型. 求幾何概型的概率問題，一定要抓住基本事件數(shù)的無限性和等可能性，確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，選擇合理的測度；進(jìn)而利用概率公式[P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域測度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域測度]求解.

測度為長度的幾何概型

例1 如圖，[A，B]兩盞路燈之間的長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈[C，D]，問[A]與[C，B]與[D]之間的距離都不小于10米的概率是多少？

解析 記[E：]“[A]與[C，B]與[D]之間的距離都不小于10米”，把[AB]三等分.

由于中間長度為30×[13]=10米，

∴[P（E）=1030=13].

點(diǎn)評 我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生可以理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.本題中幾何區(qū)域?yàn)榫€段長.

例2 小趙從某車站乘車外出，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求小趙等車時(shí)間不多于10分鐘的概率.

解析 設(shè)事件[A=]{等待的時(shí)間不多于10分鐘}，事件[A]恰好是到站等車的時(shí)刻位于[50，60]這一時(shí)間段內(nèi)；而事件的總體是一小時(shí)，即60分鐘. 因此，由幾何概型的概率公式得，[P（A）=60-5060=16]，即小趙等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為[16].

點(diǎn)評 因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班，而小趙在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無關(guān). 這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長度類型.

例3 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，[cosπx2]的值介于[0]到[12]之間的概率為（ ）

A. [13] B. [2π] C. [12] D. [23]

解析 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，即[x∈[-1，1]]時(shí)，要使[cosπx2]的值介于0到[12]之間，則[-π2≤πx2≤-π3]，或[π3≤πx2≤π2]，∴[-1≤x≤-23]，或[23≤x≤1]，區(qū)間長度為[23]. 由幾何概型知，使[cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率為[P=232=13].

答案 A

點(diǎn)評 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件. 所取的數(shù)是區(qū)間[[-1，1]]上的任意一個(gè)數(shù)，基本事件是無限多個(gè)，且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量[x]的取值范圍的區(qū)間長度有關(guān)，符合幾何概型的條件. 本題易錯(cuò)把[cosπx2]的值當(dāng)作基本事件. 當(dāng)[cosπx2]取1時(shí)， [x]的值為0；當(dāng)[cosπx2]取0時(shí)， [x]的值為[±1]. 所以[cosπx2]的取值并不是等可能的，不能作為基本事件.

測度為角度的幾何概型

例4 在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點(diǎn)作射線[OC]，求使得[∠AOC]和[∠BOC]都不小于30°的概率？

解析 記事件[A]是“作射線[OC]，使得[∠AOC]和[∠BOC]都不小于30°”，[∠AON=∠BOM=∠MON=30°]，則符合條件的射線[OC]應(yīng)落在扇形[MON]中，所以[P（A）=∠MON的度數(shù)∠AOB的度數(shù)=30°90°=13.]

點(diǎn)評 過[O]作射線[OC]可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的發(fā)生是等可能的. 射線的不同位置為基本事件，形成的區(qū)域測度為角度.

測度為面積的幾何概型

例5 將長為[L]的木棒隨機(jī)地折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.

解析 設(shè)[M=]“3段構(gòu)成三角形”.[x，y]分別表示其中兩段的長度，則第三段的長度為[L-x-y].[Ω=（x，y）|0

由題意知，[x，y，L-x-y]要構(gòu)成 三角形，須有：

[x+y>L-x-y]，

即[x+y>12]；

[x+（L-x-y）>y]，即[y

[y+（L-x-y）>x]，即[x

故[M=（x，y）|x+y>L2，y

如圖所示，所求概率為[P（M）=M的面積Ω的面積=12·L22L22=14.]

點(diǎn)評 將兩個(gè)變量的取值看作平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，基本事件為平面內(nèi)的點(diǎn)，構(gòu)成的區(qū)域測度為面積.

測度為面積的“約會(huì)型”幾何概型

例6 兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去. 如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20∶00到21∶00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.

解析 設(shè)兩人分別于[x]時(shí)和[y]時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)-[23][≤x-y≤23]. 兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻[（x，y）]的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻[（x，y）]的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示

因此陰影部分與單位正方形的面 積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為

[P=S陰影S單位正方形=1-（13）212=89.]

點(diǎn)評 “約會(huì)”的問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概型.重點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用[x，y]兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)[（x，y）]，從而把時(shí)間的一維長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問題.

測度為體積的幾何概型

例7 在區(qū)間[0，l]上任取三個(gè)實(shí)數(shù)[x，y，z]，事件[A={（x，y，z）| x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}]，求事件[A]的概率.

解析 [A={（x，y，z）| x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}]表 示空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為球心，半徑[r=1]的球的內(nèi)部部分中[x≥0，y≥0，z≥0]的部分，如圖所示.

由于[x，y，z]屬于區(qū)間[0，1]，當(dāng)[x=y=z=1]時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件[A]為球在正方體內(nèi)的部分.

∴[P（A）=18×43π×1313=π6].

點(diǎn)評 本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關(guān)鍵弄清楚點(diǎn)[P（x，y，z）]的集合所表示的圖形.在空間直角坐標(biāo)系下，要明確[x2+y2+z2<1]表示的幾何圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑[r=1]的球的內(nèi)部.事件[A]對應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的，所以事件[A]的概率只與事件[A]對應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概型的條件.