巧用列表法分析應(yīng)用題

胡蝶

摘 要：在列方程解應(yīng)用題中，用列表法來將題目所給條件和要求反映的基本量用表格呈現(xiàn)，使較為復(fù)雜的關(guān)系條理清楚、明朗，能較快發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，準確快速列出方程，降低解題難度。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題；列表法；一元一次方程

新課程改革標準在數(shù)學(xué)教育的目的中要求數(shù)學(xué)教育必須重視培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。很多教育學(xué)家都認識到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和能力是一件不簡單的事情，列方程，用方程思想去解決一些實際問題，不僅體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，而且它也是初中數(shù)學(xué)中的重難點之一。

應(yīng)用題之所以是難點，因為解決它無一般公式可循。對于七年級的學(xué)生而言，特別是中等偏下水平的學(xué)生，他們在解應(yīng)用題時往往失敗較多，因此產(chǎn)生了“畏懼”的心理，面對應(yīng)用題時會束手無策。究竟是哪些思維障礙影響了學(xué)生解應(yīng)用題？筆者在反思教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，較普遍的思維障礙來自三個方面：對基本的等量關(guān)系不理解造成的障礙，對表示的有關(guān)的未知量在思維活動中沒有轉(zhuǎn)化為已知量的思維定勢造成的障礙，應(yīng)用題中等量關(guān)系的復(fù)雜性和隱蔽性造成的障礙等?，F(xiàn)就如何幫助學(xué)生克服這些思維障礙作一分析。

在列方程解應(yīng)用題之前，首先應(yīng)找到題目中的已知量、未知量和等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系，用字母代替未知數(shù)，列出需要的代數(shù)式和方程，再解這個方程，求出未知數(shù)的值。可見，“等量關(guān)系”是列方程的依據(jù)，又與問題中所有的基本量密切相關(guān)，抓住了等量關(guān)系就抓住了主要矛盾，就明確了思維的方向。用列表法來分析，將題目給出的條件和要求反映的基本量在一個表格中顯示出來，使那些較為復(fù)雜的關(guān)系條理清楚、明朗，能較快發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，準確快速列出方程，大大降低解題難度。

如浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊中一元一次方程的應(yīng)用題，一般都涉及三個基本量，根據(jù)三者的關(guān)系可用其中的兩個量表示出第三個量，又有兩種情況之分，一般可列成3×4表格來分析。

一、列表準備

在列表前，教師要引導(dǎo)學(xué)生認真審題，尋找等量關(guān)系。應(yīng)用題中出現(xiàn)的等量關(guān)系一般有明顯的等量關(guān)系和隱含的等量關(guān)系兩類。

明顯的等量關(guān)系，它是通過題中的一些關(guān)鍵詞語表達出來。如多、快、共、提前、提高了、提高到、增加、降低、比……多、比……少等。它們與列方程有直接關(guān)系，因此必須弄清其確切意義，并在審題時予以充分注意，著重找出這些關(guān)鍵詞語。

隱含的等量關(guān)系，其中一種是基本等量關(guān)系，比如速度×?xí)r間=路程，工作效率×工作時間=工作量，溶液×濃度=溶質(zhì)，單價×數(shù)量=總價，以及周長、面積、體積公式。還有一種是根據(jù)題意分析出來的等量關(guān)系，如行程問題中的追及與被追及者所行時間或距離相等，同時出發(fā)到相遇所用時間相等；如配比中加入溶劑則溶質(zhì)不變，加入溶質(zhì)則溶劑不變，等等。這些隱含的等量關(guān)系，往往是解題的關(guān)鍵所在，都必須通過反復(fù)分析題意方能挖掘出來。

二、列表原則

根據(jù)題意，設(shè)計表型。在設(shè)計表型時應(yīng)注意使表格縱向存在運算關(guān)系，橫向存在比較關(guān)系；同時，表格力求簡明，且能容納題中所有數(shù)量關(guān)系。

三、填表順序

從反復(fù)讀題開始，邊讀邊填。先填已知量，再填未知量及含未知量的代數(shù)式。表格填滿后可根據(jù)等量關(guān)系列方程。

四、分類舉例

1.調(diào)配問題

基本關(guān)系：原有量+變化量=現(xiàn)有量

例1.（浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊130頁例5）學(xué)校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人?，F(xiàn)調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是乙處植樹人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？

分析：此題中有三個基本量：原有人數(shù)、增加人數(shù)、增加后的人數(shù)（三者關(guān)系為：原有人數(shù)+增加人數(shù)=增加后的人數(shù)），又有甲處、乙處之分。不妨設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，則調(diào)往乙處（20-x）人，可列表格為：

注：表中①、②……表示填表順序（下同）。

等量關(guān)系：甲處增加后的人數(shù)=2×乙處增加后的人數(shù)

可列方程：20+x=17+（20-x）

從上表可以看出，原有人數(shù)是已知的，增加人數(shù)是題目要求的，可用來設(shè)未知量；增加后的人數(shù)是用代數(shù)式表示未知量。此題就是用增加后的人數(shù)來找等量關(guān)系。

綜上所述，運用這種方法來尋找應(yīng)用題中的等量關(guān)系范圍一下就縮小很多，學(xué)生是非常容易理解的，這對于教師的應(yīng)用題教學(xué)也將大有益處。

2.行程問題

基本關(guān)系：速度×?xí)r間=路程

例2.甲、乙兩人從相距為180千米的A，B兩地出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛。已知甲的速度為15千米/時，乙的速度為45千米/時，如果甲先行駛1時后乙才出發(fā)，問甲再行駛多少時間與乙相遇？

分析：此題中有三個基本量：速度、時間、路程（三者關(guān)系為：速度×?xí)r間=路程），又有甲、乙之分。不妨設(shè)甲再行駛x小時與乙相遇，可列表格為：

等量關(guān)系：甲行駛的路程+乙行駛的路程=

180

可列方程15（1+x）+45x=180

從上表可以看出，速度是已知的；時間是題目要求的，可用來設(shè)未知量；路程是用代數(shù)式表示未知量。此題就是用路程來找等量關(guān)系。

對于題目關(guān)系復(fù)雜、已知數(shù)量較多、等量關(guān)系不明顯的題目，通過列表法就能很快地找出等量關(guān)系，從而列出方程，有效地提高解題效率。

3.工程問題

基本關(guān)系：工作效率×工作時間=工作量

例3.（浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊131頁例6）甲每天生產(chǎn)某種零件80個，甲生產(chǎn)3天后，乙也加入生產(chǎn)同一種零件，再經(jīng)過5天，兩人共生產(chǎn)這種零件940個。問乙每天生產(chǎn)這種零件多少個？

分析：此題中有三個基本量：工作效率、工作時間、工作量（三者關(guān)系為：工作效率×工作時間=工作量），又有甲和乙之分。不妨設(shè)乙每天生產(chǎn)這種零件x個，可列表格為：

等量關(guān)系：甲的工作總量+乙的工作總量=940

可列方程80×（3+5）+5x=940

4.銷售問題

基本關(guān)系：進價×（1+利潤率）=售價

例4.甲、乙兩種商品的進價一共是100元。實際出售時，甲商品提價10%，乙商品提價5%。出售后兩種商品所獲利潤是兩種商品進價之和的7%。兩種商品的進價分別是多少？

分析：此題中有三個基本量：進價、利潤率、利潤（三者關(guān)系為：進價×利潤率=利潤），又有甲商品、乙商品之分。不妨設(shè)甲商品的進價為x元，則乙商品的進價為（100-x）元，可列表格為：

等量關(guān)系：甲商品獲得的利潤+乙商品獲得的利潤=7%×甲、乙兩種商品的進價和

可列方程：10%x+5%（100-x）=7%×100

5.年齡問題

例5.（浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊128頁作業(yè)題2）今年父親的年齡是兒子年齡的3倍，5年前父親的年齡是兒子年齡的4倍。問今年父親、兒子各幾歲。

分析：此題中有三個基本量：今年的年齡、5年前的年齡（二者關(guān)系為：今年的年齡-5=5年前的年齡），又有父親、兒子之分。不妨設(shè)今年兒子x歲，可列表格為：

等量關(guān)系：5年前父親的年齡=5年后兒子的年齡×4

可列方程：3x-5=4（x-5）

6.售票問題

基本關(guān)系：單價×數(shù)量=總價

例6.某音樂廳五月初決定在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數(shù)的■，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團體票每張12元，共售出團體票的■。零售票每張16元，共售出零售票的一半。如果在六月份內(nèi)團體票按每張16元出售，并計劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？

分析：此題中有三個基本量：單價、數(shù)量、總價（三者關(guān)系為：單價×數(shù)量=總價），又有團體票、零售票之分。不妨設(shè)總票數(shù)為單位1，六月份零售票每張x元，可列表格為：

等量關(guān)系：五月份總票價=六月份總票價

可列方程：12×■×■+16×■×■=16×■×■+■×■x

此題數(shù)量較多，關(guān)系也比較復(fù)雜，對于學(xué)生來說，理解題意，理清量之間的關(guān)系有較大難度，但通過仔細閱讀并列表，這些量及其關(guān)系就明朗化了。

通過以上例題可以看到，利用一元一次方程解應(yīng)用題時，借用列表法來分析題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，可以使題目中的數(shù)量關(guān)系簡單化、明了化，準確快速列出方程，降低解題難度。

參考文獻：

[1]張慧梅.列分式方程解應(yīng)用題的方法[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2013（20）.

[2]田敏.運用列表法分析應(yīng)用題[J].基礎(chǔ)教育，2012.

編輯 趙飛飛