經(jīng)歷思維進(jìn)階感悟模型思想
——以“表面涂色的正方體”教學(xué)為例

◎姚蕊

經(jīng)歷思維進(jìn)階感悟模型思想
——以“表面涂色的正方體”教學(xué)為例

◎姚蕊

“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步地體會(huì)并感悟模型思想，可以幫助他們更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)與生活的雙向互動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成，從而“自覺(jué)地用數(shù)學(xué)的思維方法去觀察、分析社會(huì)，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”。

“不積跬步，無(wú)以至千里”。在經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的“跬步”積累中，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階發(fā)展，促成其對(duì)建模過(guò)程的策略認(rèn)知，是幫助他們體會(huì)并感悟模型思想的重要策略。

數(shù)學(xué)建模是“把現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求解并驗(yàn)證模型的合理性，再用該模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程”。受兒童思維特點(diǎn)的制約，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是獲得具有“模型意義”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。所以，兒童建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程包括“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立關(guān)系式表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”。具體來(lái)說(shuō)就是要經(jīng)歷“簡(jiǎn)化抽象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—觀察比較、提出猜想—推理驗(yàn)證、建立模型—解釋?xiě)?yīng)用、推廣拓展”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在抽象與概括、分析與綜合、歸納與演繹的思維活動(dòng)中，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言數(shù)學(xué)化地描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，初步學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”。

“表面涂色的正方體”是一節(jié)探索規(guī)律的課。一個(gè)較大正方體的6個(gè)面都涂色，如果把這個(gè)正方體切成若干個(gè)同樣大的小正方體（如圖1），這些小正方體可能有多少個(gè)面涂色？有沒(méi)有規(guī)律？回答這些問(wèn)題，需要兒童經(jīng)歷從變化的現(xiàn)象中尋找不變，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決復(fù)雜問(wèn)題的建模過(guò)程。引導(dǎo)兒童體會(huì)并感悟模型思想，關(guān)鍵是在數(shù)學(xué)化的進(jìn)程中實(shí)現(xiàn)思維的三次進(jìn)階。

圖1

圖2

一、從具體情境走向數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象化進(jìn)階

從繁雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或具體情境中抽象出具有建模意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的第一步。基于情境提出問(wèn)題，需要學(xué)生摒棄原型中的非數(shù)學(xué)屬性，挖掘其在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要讓學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題的過(guò)程，更要培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)化的觀察視角，提升學(xué)生從“數(shù)”與“形”的角度捕捉、選擇和簡(jiǎn)化信息的能力，發(fā)展抽象思維能力。

學(xué)生們需要研究的是“表面涂色的正方體”中隱含的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，教學(xué)從對(duì)正方體特征的回憶開(kāi)始。

復(fù)習(xí)回顧：（呈現(xiàn)正方體）關(guān)于正方體你們了解了哪些知識(shí)？

生：正方體6個(gè)面是完全相同的正方形，12條棱長(zhǎng)度相等，還有8個(gè)頂點(diǎn)。

師：（追問(wèn)）什么是棱？什么又是頂點(diǎn)呢？

生：（結(jié)合正方體直觀圖講述）兩個(gè)面相交的線(xiàn)叫做棱，三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

引導(dǎo)觀察：（課件演示）現(xiàn)在把正方體的表面涂上顏色，將棱平均分成相等的份數(shù)，比如：2份、3份、4份……然后切開(kāi)（如圖2）。你們想研究什么問(wèn)題？有想法后，可以先在小組里交流。

（學(xué)生們以小組為單位交流自己的思考）

師：你們想研究哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生1：我們想研究把一個(gè)大正方體沿著棱均分成幾份，分別可以切成多少個(gè)小正方體？

師：（邊敘述邊板書(shū)：“數(shù)”）你們想研究分出的小正方體的數(shù)量。

生2：我們想知道切分出的小正方體有多少種不同的涂色情況。

師：（邊敘述邊板書(shū)：“形”）你們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了小正方體涂色情況是不同的，這是從“形”的角度來(lái)觀察的。

生3：小正方體中有三面、兩面、一面和沒(méi)有涂色這四種情況。我們想研究這幾種情況的小正方體分別有多少個(gè)。

師：你們思考的更深入了，要分情況來(lái)研究小正方體的個(gè)數(shù)。今天我們就把問(wèn)題聚焦在表面涂色的正方體上，從數(shù)與形結(jié)合的角度，圍繞三面、兩面以及一面涂色的小正方體展開(kāi)研究。（板書(shū)課題：表面涂色的正方體）

該階段提取了學(xué)生學(xué)習(xí)正方體的已有經(jīng)驗(yàn)，在正方體原型上加工改造，呈現(xiàn)出了具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的幾何形體情境，情境本身觸發(fā)了學(xué)生多層次、多角度的問(wèn)題表達(dá)。從關(guān)注總量到關(guān)注分類(lèi)，再到關(guān)注不同類(lèi)別的數(shù)量，體現(xiàn)了學(xué)生群體從“數(shù)”到“形”再到“數(shù)形融合”的思維遞進(jìn)。教師的評(píng)價(jià)跟進(jìn)，既肯定了學(xué)生提問(wèn)的角度，又激發(fā)了學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)了從具體情境到數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象化進(jìn)階。最后，教師從多個(gè)問(wèn)題中選點(diǎn)聚焦，即圍繞三面、兩面、一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)展開(kāi)研究，為學(xué)生明確了建模的方向，也確定了分類(lèi)討論的思想基調(diào)。

二、從客觀數(shù)據(jù)走向關(guān)系建構(gòu)的推理化進(jìn)階

尋找并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)建模的核心環(huán)節(jié)。它意味著學(xué)生的思維進(jìn)入到了數(shù)學(xué)內(nèi)部，真正開(kāi)啟了知識(shí)的探索發(fā)現(xiàn)之旅。尋找表面涂色的正方體中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，需要學(xué)生從個(gè)例研究入手，收集客觀數(shù)據(jù)，經(jīng)歷觀察比較、提出猜想、推理驗(yàn)證的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)思維從客觀數(shù)據(jù)走向關(guān)系建構(gòu)的推理化進(jìn)階，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。

（一）收集數(shù)據(jù)，積累建模的素材

規(guī)律往往隱含在數(shù)據(jù)中，有效的數(shù)據(jù)能為建模提供思考的依據(jù)，而數(shù)據(jù)的獲得離不開(kāi)實(shí)例研究。從最簡(jiǎn)單的棱均分成2份的正方體入手，還是從最具代表性的棱均分成3份的正方體開(kāi)始？教師以問(wèn)題為引領(lǐng)，為學(xué)生營(yíng)造了審辨式的思維場(chǎng)域，在多維對(duì)話(huà)中做出了符合學(xué)生認(rèn)知實(shí)情的選擇。

引導(dǎo)學(xué)生思考：要研究三面、兩面和一面涂色的小正方體各有多少個(gè)，你們打算從棱均分成幾份的情況開(kāi)始？

生1：我打算從棱均分成2份的入手，因?yàn)檠芯繑?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始。

生2：我不同意他的觀點(diǎn)，因?yàn)槔饩殖?份時(shí)，小正方體表面涂色的情況只有一種，而棱均分成3份的正方體，各種涂色情況都包含在內(nèi)了，所以我覺(jué)得應(yīng)該從棱均分為3份的入手研究。

師：兩種不同的觀點(diǎn)，你們支持哪一方？

（學(xué)生們紛紛表示應(yīng)該從棱均分成3份的情況開(kāi)始研究）

師：（小結(jié)）研究數(shù)學(xué)問(wèn)題一般是從最簡(jiǎn)單的情況入手，但當(dāng)它反映問(wèn)題不夠全面時(shí)，我們可以從最有代表性的簡(jiǎn)單情況開(kāi)始。

表1

從最簡(jiǎn)單的情況入手是學(xué)生在以往解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)中形成的思維經(jīng)驗(yàn)。屢試不爽的研究方法在這一節(jié)課上卻值得商榷?；趯?duì)小正方體涂色情況的認(rèn)知，部分學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)棱均分成2份的大正方體的局限性，進(jìn)而全班達(dá)成共識(shí)。從最具一般性的簡(jiǎn)單情況入手，逐步向復(fù)雜問(wèn)題過(guò)渡，借助可以拆卸拼裝的正方體實(shí)物模型，邊觀察、邊計(jì)數(shù)、邊推想，依次研究了棱均分成3份、4份和5份的特殊個(gè)例，獲得了第一手可供分析的資料，收獲了建模的素材（如表1）。

（二）建立關(guān)聯(lián)，尋求建模的依據(jù)

數(shù)據(jù)的積累是學(xué)生按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序依次縱向研究獲得的結(jié)果（如表2），而模型的建立需要學(xué)生跳出縱向思維的泥沼，轉(zhuǎn)而橫向觀察（如表3）。橫向數(shù)據(jù)中隱含的信息可以帶給學(xué)生思維的觸動(dòng)，這種觸動(dòng)是基于數(shù)據(jù)特點(diǎn)的從特殊猜想到一般的歸納思維的運(yùn)動(dòng)。然而，學(xué)生容易捕捉數(shù)與數(shù)之間的變化，卻不善于概括量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系。如果僅僅依靠歸納，思維只能停留在感性層面。感性向理性的飛躍，還需要演繹思維的推波助瀾。

表2

表3

問(wèn)題導(dǎo)引，確定觀察方向：觀察表格，相信這些數(shù)據(jù)會(huì)帶給你很多啟發(fā)。假如把正方體的棱均分成10份、20份、300份……你能最快說(shuō)出幾面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)？

生：（齊答）三面涂色小正方體的個(gè)數(shù)。

師：（追問(wèn)）你們是怎樣想的？

生1：從表格中我們可以看出，無(wú)論大正方體的棱均分為3份，還是4份或5份，三面涂色小正方體的個(gè)數(shù)都是8個(gè)。

師：橫向觀察表格，捕捉數(shù)據(jù)特點(diǎn)是解決問(wèn)題的一個(gè)好方法。

生2：因?yàn)槿嫱可男≌襟w都在大正方體的頂點(diǎn)上，每個(gè)大正方體都有8個(gè)頂點(diǎn)，所以無(wú)論大正方體的棱均分成幾份，三面涂色小正方體都是8個(gè)。

師：根據(jù)自己的觀察和操作，結(jié)合三面涂色的小正方體的位置特點(diǎn)再來(lái)分析數(shù)據(jù)，真是有理有據(jù)。那為什么三面涂色的小正方體在頂點(diǎn)上呢？

生：三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)就有三條棱，三條棱兩兩組合構(gòu)成三個(gè)不同的面，所以三面涂色的小正方體在頂點(diǎn)上。

師：看來(lái)特殊的位置決定了三面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，那么兩面、一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)和它所在的位置以及大正方體的棱均分成的份數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系呢？先自己想一想，再在小組里交流。

（學(xué)生小組合作，探討交流）

師：哪一小組愿意說(shuō)說(shuō)你們的想法？

生1：從表格中我們可以看出，棱均分成的份數(shù)每增加1，兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)就增加12。兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)都是12的倍數(shù)。

師：你很善于觀察，發(fā)現(xiàn)了相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)他們都是12的倍數(shù)。為什么都是12的倍數(shù)？?jī)擅嫱可男≌襟w的個(gè)數(shù)和大正方體的棱均分成的份數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系呢？

生2：兩個(gè)面相交的線(xiàn)叫做棱，所以?xún)擅嫱可男≌襟w都在棱上，每個(gè)正方體都有12條棱。（邊操作正方體實(shí)物模型，邊敘述）以棱均分成3份的大正方體為例，每條棱上有3個(gè)小正方體，把兩端三面涂色的小正方體去掉，棱中間的小正方體都是兩面涂色的，列式就是（3-2）×12=12（個(gè)），棱均分成4份時(shí)就是（4-2）×12=24（個(gè)），棱均分為5份時(shí)是（5-2）×12=24（個(gè)）。

生3：我們組以棱均分為5份的正方體為例來(lái)說(shuō)明一面涂色小正方體的情況。為了讓大家看得更清楚，我畫(huà)了一幅圖，大家看，這個(gè)面上一共有25個(gè)小正方體，但是外面一圈小正方體都是不符合要求的，只有處在面中間的小正方體是一面涂色的，所以就是25-16=9（個(gè)），每個(gè)面都是如此，6×9=54（個(gè)）。

生4：我想來(lái)補(bǔ)充一下，中間的9個(gè)小正方體也可以這樣來(lái)計(jì)算。因?yàn)榘牙饩殖?份，所以每一行就都有5個(gè)小正方體，去掉每行中兩端不符合要求的，還剩下3個(gè)，3×3=9(個(gè))，列式就是（5-2）×6=54（個(gè)），棱均分為3份時(shí)列式就是（3-2）×6=6（個(gè)），棱均分為4份時(shí)就是（4-2）×6=24（個(gè)）。

教師深層追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生再次利用正方體實(shí)物模型或者手繪直觀圖來(lái)確認(rèn)“數(shù)量”與“位置”以及“棱均分成的份數(shù)”之間內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了猜想的完善，同時(shí)也給了猜想以合理的解釋。

杜威認(rèn)為，一次完整的思維包含著兩種運(yùn)動(dòng)：一種是用于發(fā)現(xiàn)的歸納性運(yùn)動(dòng)，另一種是用于檢驗(yàn)的演繹性運(yùn)動(dòng)，是歸納與演繹的雙向互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維點(diǎn)—線(xiàn)—面的輻射式發(fā)展。教學(xué)中，首先要實(shí)現(xiàn)思維的點(diǎn)狀提升。問(wèn)題的解答需要學(xué)生提取面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)概念，對(duì)大正方體進(jìn)行結(jié)構(gòu)性分析。連貫性的言語(yǔ)表達(dá)使學(xué)生的思維提升到了“分析”“評(píng)價(jià)”的高階層面。其次，要達(dá)成思維的線(xiàn)上貫通。對(duì)“為什么”的探尋讓學(xué)生明白，規(guī)律之所以因位置的不同而不同，是因?yàn)槊總€(gè)位置有其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，三個(gè)不同數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)才是完整的規(guī)律表達(dá)。道理通則思維通，理解了規(guī)律存在的本質(zhì)原因，也就實(shí)現(xiàn)了建模進(jìn)程中思維的線(xiàn)性連接。最后，要體現(xiàn)思維的面上延展。數(shù)學(xué)的思考既是有序的，又是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，從“是什么”到“為什么”的層層推進(jìn)，讓學(xué)生意識(shí)到規(guī)律與位置有關(guān)，而位置又體現(xiàn)出幾何體的特征，把新學(xué)的數(shù)學(xué)規(guī)律與已有的正方體特征建立關(guān)聯(lián)，形成具有良好邏輯結(jié)構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，達(dá)成對(duì)知識(shí)的深度理解。

三、從言語(yǔ)表述走向符號(hào)表達(dá)的數(shù)學(xué)化進(jìn)階

規(guī)律的表達(dá)是學(xué)生基于問(wèn)題解決的自然訴求。從基于意義理解的自我言語(yǔ)述說(shuō)過(guò)渡到數(shù)學(xué)算式表征（如表4），這是走向數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的必經(jīng)之路，而符號(hào)表達(dá)則是探索規(guī)律中數(shù)學(xué)建模的核心指向。

表4

引導(dǎo)回顧：剛才我們研究了把棱均分成3份、4份、5份這3種情況，如果把棱均分成n份，三面、兩面和一面涂色的小正方體分別有多少個(gè)呢？請(qǐng)同學(xué)們先想一想，再寫(xiě)一寫(xiě)。

（學(xué)生在作業(yè)紙上獨(dú)立完成，教師指名一學(xué)生板演）

師：誰(shuí)愿意說(shuō)一說(shuō)把正方體的棱均分成n份時(shí)的情況？

生1：棱均分為n份時(shí)，三面涂色的小正方體在頂點(diǎn)上，是8個(gè)。兩面涂色的在棱上，去掉兩端三面涂色的，用（n-2）×12就算出了兩面涂色小正方體的個(gè)數(shù)。一面涂色的小正方體在面上，每一行兩端的小正方體去掉，剩下小正方體的個(gè)數(shù)就是（n-2），所以就用（n-2）×6。

生2：我覺(jué)得n必須是大于1的自然數(shù)才可以，如果n=1時(shí)，它就是一個(gè)6個(gè)面都涂色的正方體了。

師：（呈現(xiàn)棱均分為2份的正方體）當(dāng)n=2時(shí)，符合我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

生：我認(rèn)為是符合要求的。當(dāng)n=2時(shí)，三面涂色小正方體還是8個(gè)，是不變的。兩面涂色的小正方體有（2-2）×12=0（個(gè)），一面涂色的小正方體有（2-2）×6=0（個(gè)），這些和我們所看到的正方體實(shí)物是完全吻合的。

師：如果把棱均分成100份，你能算算三種情況的小正方體各有多少個(gè)嗎？

（生運(yùn)用模型快速計(jì)算）

生：棱均分成100份時(shí)，三面涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有（100-2）×12=1176（個(gè)），三面涂色的小正方體有（100-2）×6=57624（個(gè)）。

師：看來(lái)，當(dāng)我們手夠不到的時(shí)候，可以通過(guò)思維來(lái)解決問(wèn)題了。

言語(yǔ)表達(dá)、算式表征是走向符號(hào)表達(dá)的基石，經(jīng)歷了一個(gè)不斷抽象、概括的過(guò)程，學(xué)生最終建立起了可以推而廣之的數(shù)學(xué)模型，為解決問(wèn)題提供了方法支撐。在模型的反哺中，再結(jié)合具體情況賦予模型實(shí)際意義，用以解決棱均分為2份的特殊問(wèn)題，以及棱均分為百份的復(fù)雜問(wèn)題，在解決問(wèn)題中感知到了建立模型的真正意義。

（作者單位：江蘇省徐州市民主路小學(xué)）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）