探討對稱思想方法在高中數(shù)學中的應用

江蘇省高郵市第一中學 趙 越

探討對稱思想方法在高中數(shù)學中的應用

江蘇省高郵市第一中學 趙 越

數(shù)學是高中教育的重要組成部分，也是教學上的重點和難點，該學科具有一定的抽象性和邏輯性，很多學生都認為該學科有一定的困難。對此，教師可在教學中引入對稱思想，促使學生通過分析問題隱含的對稱因素來提高解題效率。

高中數(shù)學；對稱思想；應用

對稱是一種常見的數(shù)學思想，更是一種分析問題和解決問題的重要途徑，學生在學習中通過對稱思想能快速地準確地解決問題，提高解題效率。因而數(shù)學教師應在實際教學中善于從函數(shù)、圖形、數(shù)列等知識中挖掘?qū)ΨQ思想，幫助學生提高學習質(zhì)量。

一、對稱思想在高中數(shù)學函數(shù)問題求解中的應用

函數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分，要解決函數(shù)問題，就要科學應用函數(shù)知識，而函數(shù)理論的外化即由已知數(shù)學事實導出待求數(shù)學事實的過程。通過解題活動發(fā)揮對稱思想對解題的聯(lián)想、定向以及轉(zhuǎn)化功能，重點突出對稱思想對解題的指導作用。對稱思想往往來源于一般知識，但又高于一般知識，學生應在掌握基礎知識和解決方法的基礎上概括相應的思維方法，同時，在不斷學習方法和反復應用知識過程中總結(jié)歸化規(guī)律以及分析問題、解決問題的基本規(guī)律。高中數(shù)學函數(shù)教學中包含很多對稱思想，其中典型的對稱思想即函數(shù)奇偶性圖象關于原點和y軸對稱，通常，二次函數(shù)圖象關于直線對稱，在三角函數(shù)中也存在軸對稱和中心對稱，所以在學習函數(shù)中，需要對函數(shù)對稱性進行分析并加以靈活應用，必然能提高學習效果。例如：已知函數(shù)y=f（x）、函數(shù)y=g（x）在定義域R內(nèi)都有反函數(shù)，且函數(shù)g-1（x-2）和f（x-1）的圖象關于直線y=x對稱，當g（5）=2000時，f（4）=？在解決此題中，已經(jīng)了解互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關于直線y=x對稱，因此，函數(shù)y=g-1（x-2）和函數(shù)y=f（x-1）互為反函數(shù)。根據(jù)反函數(shù)就可得出f（4）的值，正確解答思路為：根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)得出函數(shù)y=f（x-1）和y=g-1（x-2）的反函數(shù)，最終得出f（x-1）= g（x）+2，同時根據(jù)g（5）=2000得出f（4）=2000+2=2002。

二、對稱思想在高中數(shù)學平面幾何求解中的應用

當學生進入高三階段后，就會對高一和高二階段所學知識進行梳理，那么科學合理地設置問題對學生而言就十分重要，能幫助學生回憶所學知識，并在大腦中構建知識體系。以《空間幾何體》一課為例，數(shù)學教師可設計以下教學：教師：“同學們，我們已經(jīng)學完空間幾何體，那么大家思考一下可以將空間幾何體分成幾類？”學生：“旋轉(zhuǎn)體和多面體兩類。”教師：“那大家從這兩類中又學習了哪些幾何體？”學生;“球、圓錐、棱錐、棱柱、圓臺等?！苯處煟骸俺松鲜鲋R，我們還在此章節(jié)中學習了投影，具體有哪些呢？”學生：“中心投影和平行投影?！苯處煟骸八鼈冇心男┨卣?？”學生：“寬相等、高平齊和長對正?！苯處煟骸澳侵庇^圖呢？”學生：“x軸不變，y軸為原來的一半?！痹谄矫娼馕鰩缀沃校瑢ΨQ問題是一類常規(guī)的問題，只要認真分析題目中的對稱結(jié)構，掌握對稱問題的解法，巧用對稱，就能很好地解決問題。例如：已知圓上任意一點過直線x-y+2=0的對稱點都在圓上，圓方程為x2+y2+2x+by-3=0，其中b為實數(shù)，求b值。此題目的重點在于圓的對稱性，而圓的對稱軸直線需要過圓心，所以直線x-y+2=0為已知圓的對稱軸直線，從原方程配方可得知對此可將圓心表示為最后根據(jù)圓心的對稱軸線直線列出方程求解得出b=-2。

三、對稱思想在高中數(shù)學數(shù)列問題求解中的應用

毫無疑問，數(shù)列也是高考的必考內(nèi)容，解決數(shù)列問題的關鍵在于求數(shù)列的通項公式，普遍會借助遞推公式求數(shù)列通項公式，此類題型不僅有較多的類型，解題方式也有一定的靈活性，所以可針對每一種題型提出相應的解題方法。例如轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列an-an-1=f（n），運用疊加法求數(shù)列的通項公式；數(shù)學教材中運用疊加法提出等差數(shù)列（an-an-1=d）通項公式證明方法，往往在考試中會出現(xiàn)an-an-1=f（n）類似等差數(shù)列的遞推公式，對此可以將其看作等比數(shù)列，運用對稱思想也可提出以下解答方法：

例如：已知a1=1，an-an-1=n-1，求an。此題為簡單的等差數(shù)列題型，運用對稱可獲得答案。

一般運用對稱法求遞推數(shù)列通項公式有兩個特點，一方面為等式后邊可以便于求和，學生往往已經(jīng)掌握特殊數(shù)列求和，另一方面則為累加后等式左邊可將錯項相消而達到化簡目的。在以往高考數(shù)學試題中，數(shù)列是重點考查項目，更是學生解題的重點和難點。借助對稱思想可以直接觀察題目中蘊含的對稱性，從而快速解答。例如：已知{bn}為等差數(shù)列且公差為正數(shù)，設b1+b2+b3=15，b1b2b3=80，求b1+b12+b13=？根據(jù)等差數(shù)列可以得知，b1-b2=b2-b3，根據(jù)b1+b2+b3=15，b1b2b3=80可以順利求出b2=5，再設{bn}公差為c，那么5（5-c）（5+c）=80，可求出公差c=3，因此b12+5+10c=35，b13=5+11c=38，得出b1+b12+b13=75。

總之，在高中數(shù)學教學中應用對稱思想效果顯著，能提升分析問題和解決問題的效率。教師在教學中應引導學生挖掘問題中涵蓋的對稱因素，從而將復雜問題轉(zhuǎn)化為相對熟悉的問題鏈，由此提高解題效率。

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