如何引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)想

仇海寧

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過(guò)巧妙點(diǎn)撥、新奇設(shè)問(wèn)、精心為學(xué)生創(chuàng)設(shè)聯(lián)想情境，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由此及彼，由表及里的認(rèn)識(shí)飛躍，從而“探索”到解題的途徑。本文從培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想能力的意義出發(fā)，探討了有效培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；聯(lián)想能力；培養(yǎng)途徑

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）21-035-1

對(duì)于一個(gè)非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不少學(xué)生往往覺(jué)得難就難在沒(méi)想到，想到了似乎就頓時(shí)豁然開朗了。因此，我們應(yīng)教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)想，這樣往往能化繁為簡(jiǎn)，使難題迎刃而解，從而大大提高數(shù)學(xué)解題的效率。

一、培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想能力的意義

數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程實(shí)質(zhì)上是已知和未知之間的一系列的聯(lián)想過(guò)程。因此在解題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)仔細(xì)的觀察、分析，必要時(shí)畫出示意圖，把條件和結(jié)論反映到圖形上，由問(wèn)題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想、解題方法、解題技巧、解題規(guī)律以及熟知的相關(guān)問(wèn)題的解法，由此連續(xù)化簡(jiǎn)條件和結(jié)論，建立條件與求解目標(biāo)之間的邏輯聯(lián)系，從而就找到了解題的思路和方法。因此，我們可以理解，應(yīng)用聯(lián)想，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科與生活的溝通，降低學(xué)習(xí)難度；應(yīng)用聯(lián)想，可以實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的溝通，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率；應(yīng)用聯(lián)想，能夠幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)思維能力；應(yīng)用聯(lián)想，能夠形成完整的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力的途徑

聯(lián)想本義是指一種事物和另一種事物相類似時(shí)，往往會(huì)從這一事物引起對(duì)另一事物的聯(lián)想。聯(lián)想是可以是因一事物而想起與之有關(guān)事物的思想活動(dòng)；也可以是由于某人或某種事物而想起其他相關(guān)的人或事物；還可以是由某一概念而引起其他相關(guān)的概念。聯(lián)想是暫時(shí)神經(jīng)聯(lián)系的復(fù)活，是事物之間聯(lián)系和關(guān)系的反應(yīng)。在高中數(shù)學(xué)解題中，聯(lián)想應(yīng)該是一種自覺(jué)的行為，是一種習(xí)慣性的思維方式。下面我將以例題分析的形式從以下幾方面談?wù)勅绾斡行囵B(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力。

1.數(shù)學(xué)聯(lián)想要整體把握數(shù)學(xué)形式

例1：已知a，b∈R，且a，b≤1，若a1-b2+b1-a2=1。求證：a2+b2=1。

解析：就本題所給條件來(lái)看，題目條件變形起來(lái)顯然沒(méi)那么容易。但是從純代數(shù)的角度分析，此題可以用柯西不等式來(lái)證明。

從題目所給結(jié)論顯然能夠看出點(diǎn)（a，b）在單位圓x2+y2=1上，由此，如果可以聯(lián)想條件，容易得出點(diǎn)A（a，1-a2），B（b，1-b2）均在單位圓x2+y2=1上，且點(diǎn)C（1-b2，b），D（b，-1-b2）也在此單位圓上。

那么a1-b2+b1-a2=1表明向量OA，OC的數(shù)量積為1。所以向量OA，OC夾角為0，故向量OA，OC重合。因此a=1-b2，b=1-a2，所以a2+b2=1得證。

正是由于把握了同一數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表達(dá)形式，才使得一種快捷的解決問(wèn)題的方法應(yīng)運(yùn)而生。

2.數(shù)學(xué)聯(lián)想要勇于應(yīng)用幾何性質(zhì)

例2：已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)P關(guān)于直線l：y=bax對(duì)稱，則雙曲線的離心率為。

解析：此題從正面考慮，可以設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，列出方程，求解出坐標(biāo)，再將點(diǎn)P代入雙曲線方程即可解出離心率。但是，因?yàn)榇祟}字母較多，顯然此法不太合適。

如若聯(lián)系幾何性質(zhì)，利用幾何圖形，不難發(fā)現(xiàn)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，點(diǎn)F2到漸近線l的距離為|MF2|=b，又點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線l對(duì)稱，故l垂直平分線段|PF2|，所以點(diǎn)M為線段PF2的中點(diǎn)，則OM為△PF1F2的中位線，那么|PF2|=2b，|PF1|=2a，又由雙曲線定義，|PF2|-|PF1|=2a，所以b=2a，c=5a，則離心率為5。

3.教會(huì)學(xué)生聯(lián)想的方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所開展的聯(lián)想大都是“控制聯(lián)想”，而控制聯(lián)想是根據(jù)一定的條件與要求去進(jìn)行的，存在幾個(gè)選擇性問(wèn)題。因此，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生怎樣根據(jù)題目的條件與結(jié)論有選擇地去開展聯(lián)想，而不是胡思亂想。此外，教師還應(yīng)教會(huì)學(xué)生從不同角度、各個(gè)方面去聯(lián)想，防止聯(lián)想過(guò)程中的一線性和單向性。如當(dāng)一個(gè)問(wèn)題找不到解決它的方法和途徑時(shí)，在仔細(xì)觀察問(wèn)題的條件和結(jié)論后，回憶過(guò)去已學(xué)過(guò)的知識(shí)中有哪一些與本題的條件或結(jié)論相近、相似或相反，它們?cè)谀男┓矫娼咏?、相似或相反，用這些已學(xué)過(guò)的知識(shí)能否解決。如果碰壁，再?gòu)钠渌P(guān)系來(lái)回憶有關(guān)的知識(shí)，搜集有用的信息。另外，能力是在活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的，為了培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，要有計(jì)劃地指導(dǎo)學(xué)生開展接近聯(lián)想、類似聯(lián)想和對(duì)立聯(lián)想，一般性聯(lián)想和特殊性聯(lián)想等的訓(xùn)練，以促使學(xué)生聯(lián)想能力的發(fā)展。數(shù)形結(jié)合就是聯(lián)想的有效方法之一。例如，求最小值。通過(guò)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果運(yùn)用代數(shù)方法，此題顯得既繁又難，若將原式稍做變形，便可聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，進(jìn)而聯(lián)想到求y的最小值就是求動(dòng)點(diǎn)A（x，0）到兩定點(diǎn)B（1，1），C（3，2）距離之和的最小值，動(dòng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)。通過(guò)直觀圖形，問(wèn)題便可變得簡(jiǎn)捷易懂，真可謂以奇制勝。

總之，高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容不像初中數(shù)學(xué)那樣單一，高中數(shù)學(xué)知識(shí)更加復(fù)雜化、靈活化、綜合化。所以，在高中數(shù)學(xué)解題中思路往往不能僅僅局限在一定范圍內(nèi)，思維方式不能僵化。恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)想，能夠使我們大大提高解題的效率。因此，不管是教還是學(xué)，我們都要習(xí)慣于將知識(shí)深入理解、變形、融合、訓(xùn)練，最終達(dá)到掌握、綜合應(yīng)用的目的。endprint