一種改進的SCARA機器人動力學(xué)參數(shù)辨識方法

嚴 浩 白瑞林 吉 峰

1.江南大學(xué)輕工過程先進控制教育部重點實驗室，無錫，2141222.無錫信捷電氣股份有限公司，無錫，214072

一種改進的SCARA機器人動力學(xué)參數(shù)辨識方法

嚴 浩1白瑞林1吉 峰2

1.江南大學(xué)輕工過程先進控制教育部重點實驗室，無錫，2141222.無錫信捷電氣股份有限公司，無錫，214072

針對SCARA機器人動力學(xué)參數(shù)辨識問題，提出了一種基于優(yōu)化改進傅里葉級數(shù)的辨識方法。根據(jù)SCARA機器人完整動力學(xué)方程，推導(dǎo)得到動力學(xué)模型的線性形式。采用改進傅里葉級數(shù)作為機器人關(guān)節(jié)的激勵軌跡，使得關(guān)節(jié)角度滿足連續(xù)周期性，并且關(guān)節(jié)角速度和角加速度在軌跡起始和停止時刻為零。為進一步提高辨識精度，以SCARA機器人觀測矩陣的條件數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，采用基于排擠機制的小生境遺傳算法對激勵軌跡的系數(shù)進行優(yōu)化?？紤]到測量噪聲的影響，采用加權(quán)最小二乘法(WLS)作為參數(shù)估計方法。實驗結(jié)果表明，采用所提方法能準(zhǔn)確辨識出SCARA機器人的動力學(xué)參數(shù)，兩關(guān)節(jié)力矩測量值和預(yù)測值的殘差均方根分別減小了11.50%和26.35%。

機器人；動力學(xué)；小生境遺傳算法；激勵軌跡；參數(shù)辨識

0 引言

隨著工業(yè)機器人應(yīng)用于生命醫(yī)療、激光焊接、汽車電子等高精密領(lǐng)域[1-2]，機器人技術(shù)向高速高精度方向發(fā)展。目前，國產(chǎn)工業(yè)機器人大部分仍采用傳統(tǒng)PID控制策略，難以實現(xiàn)高精度控制。設(shè)計基于機器人動力學(xué)模型的控制策略是實現(xiàn)高速高精度運動控制的有效方法[3-4]，但該類控制策略要以機器人的精準(zhǔn)動力學(xué)參數(shù)為基礎(chǔ)。

機器人動力學(xué)參數(shù)的獲取方法可分為解體測量法、CAD法以及整體辨識法。機器人結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很多參數(shù)難以通過直接測量得到。采用計算機建模的CAD法忽略了機器人的裝配誤差和材料的分布特性；整體辨識法能夠考慮機器人實際工作中的各種因素影響，因而受到了廣泛關(guān)注[5-6]。

機器人動力學(xué)參數(shù)辨識包括6個步驟：動力學(xué)建模、模型線性化、激勵軌跡優(yōu)化、數(shù)據(jù)采樣與處理、參數(shù)估計方法、試驗驗證[7]。ATKESON等[8]構(gòu)造5次多項式作為關(guān)節(jié)空間的激勵軌跡，并采用最小二乘法作為動力學(xué)參數(shù)估計方法。SWEVER等[9]提出基于周期性傅里葉級數(shù)的辨識方法，使得機器人可以循環(huán)執(zhí)行激勵軌跡。但傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)無法保證各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度在軌跡的起始和停止時刻為零，導(dǎo)致機器人在執(zhí)行激勵軌跡時存在抖動。同時由于采樣誤差的存在，由未經(jīng)優(yōu)化的傅里葉級數(shù)得到的觀測矩陣會放大采樣誤差的影響[10]。丁亞東等[11]針對多關(guān)節(jié)機器人的動力學(xué)參數(shù)辨識，提出一種分步辨識方法，降低了辨識方程復(fù)雜性。陳恩偉等[12]探討了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在動力學(xué)參數(shù)辨識中的一般規(guī)律，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與權(quán)值具有明確物理意義，但僅分析了機器人末端連桿慣性參數(shù)的辨識問題。

為了提高SCARA機器人的動力學(xué)參數(shù)辨識精度，本文對傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)進行改進，使得關(guān)節(jié)角速度和角加速度在軌跡起始和停止時刻為零。同時，以觀測矩陣的最小條件數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，采用基于排擠機制的小生境遺傳算法對傅里葉級數(shù)的系數(shù)進行優(yōu)化，降低采樣誤差對辨識精度的影響。為進一步降低采樣誤差的影響，采用加權(quán)最小二乘法對動力學(xué)參數(shù)進行辨識。

1 動力學(xué)模型及其線性化

對于n關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)，考慮關(guān)節(jié)摩擦的影響，其動力學(xué)方程可以用二階非線性微分方程來表示[13]：

(1)

SCARA機器人第3、第4關(guān)節(jié)共用一個連桿，第2、3、4關(guān)節(jié)的伺服電機、同步帶、滾珠絲杠、升降臺等都安裝在關(guān)節(jié)2的連桿上，因此，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2決定SCARA機器人的平面定位精度和軌跡跟蹤精度，關(guān)節(jié)3決定豎直方向上的運動。由于關(guān)節(jié)3與前兩關(guān)節(jié)垂直，所以前兩關(guān)節(jié)的運動不會對關(guān)節(jié)3產(chǎn)生影響。由此，僅對關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2進行動力學(xué)建模及動力學(xué)參數(shù)辨識。式(1)的標(biāo)量表達式如下：

(2)

根據(jù)SCARA機器人結(jié)構(gòu)，利用拉格朗日法對SCARA機器人進行動力學(xué)建模[14]，得到式(2)中的各項參數(shù)：

式中，m1、m2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量；l1、l2分別為連桿1和連桿2的長度；(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)分別為前兩連桿的質(zhì)心在坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2中的位置坐標(biāo)；IZz1、IZz2分別為連桿1和連桿2沿Z軸的轉(zhuǎn)動慣量；fci和fvi分別表示第i關(guān)節(jié)的庫侖摩擦因數(shù)和黏性摩擦因數(shù)。

文獻[15]已經(jīng)證明存在一依賴于機器人參數(shù)的參數(shù)向量，使得機器人動力學(xué)方程可以線性化，即

(3)

根據(jù)式(2)的SCARA機器人動力學(xué)方程具體形式，得到線性化方程的顯式表達如下：

(4)

式中各項參數(shù)如下：

機器人動力學(xué)參數(shù)辨識實驗過程為：機器人各關(guān)節(jié)跟蹤特定的激勵軌跡，通過采樣或間接計算得到關(guān)節(jié)的輸入力矩、關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度，估計動力學(xué)參數(shù)φ。機器人各關(guān)節(jié)跟蹤激勵軌跡時，在采樣時刻t1,t2,…,tN對關(guān)節(jié)輸入力矩等進行N次直接或間接采樣，則可以得到如下方程：

YNφ=τN

(5)

即

(6)

2 激勵軌跡優(yōu)化設(shè)計

采用周期性的傅里葉級數(shù)作為激勵軌跡，能充分激勵機器人的動力學(xué)特性，并且多次采樣取均值可以提高信噪比。但在軌跡的起始和停止時刻，傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)不能保證關(guān)節(jié)角速度和角加速度為零，使機器人無法平滑運行。

對于n階非齊次方程組YNφ=τN，當(dāng)由N組觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成的觀測矩陣YN和N組測量得到的輸出力矩τN各有擾動δYN和δτN時，則添加擾動后的非齊次方程組為

(YN+δYN)(φ+δφ)=(τN+δτN)

(7)

由此解得

(8)

因YNφ=τN，則有‖τN‖≤‖YN‖‖φ‖，則式(8)可轉(zhuǎn)化為

(9)

則動力學(xué)參數(shù)φ解的相對誤差為

(10)

(11)

2.1改進的傅里葉級數(shù)

傳統(tǒng)的M階傅里葉級數(shù)定義如下：

(12)

式中，i為第i個關(guān)節(jié)；ωf為傅里葉級數(shù)的基頻，每個關(guān)節(jié)的基頻相同；ai,k、bi,k為傅里葉級數(shù)的系數(shù)；θ0i為偏移量；M為傅里葉級數(shù)的階數(shù)，決定軌跡的帶寬；ai,k、bi,k、θ0i為自由系數(shù)。

相應(yīng)的關(guān)節(jié)運行速度和加速度為

(13)

機器人動力學(xué)參數(shù)辨識過程中，為保證運行的連續(xù)周期性，以及起始和結(jié)束時刻的平穩(wěn)性，需要激勵軌跡滿足如下約束條件：

(14)

t0=0ttf=2π/(2πωf)

式中，t0、ttf分別為周期運動的起始和結(jié)束時刻；θi_init為第i關(guān)節(jié)的起始和結(jié)束時刻角度。

傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)難以保證上述約束條件，因此，對傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)的激勵軌跡進行改進，將常數(shù)項θ0i用5次多項式來代替，得到改進傅里葉級數(shù)的激勵軌跡：

(15)

解得5次多項式的系數(shù)為

2.2激勵軌跡優(yōu)化

確定激勵軌跡的形式之后，以一定頻率對改進傅里葉級數(shù)進行采樣，得到對應(yīng)的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度，共采集N組數(shù)據(jù)，從而構(gòu)造觀測矩陣YN。以觀測矩陣YN的條件數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，即適應(yīng)度函數(shù)，為增強全局尋優(yōu)能力，采用基于排擠機制的小生境遺傳算法對傅里葉級數(shù)的系數(shù)進行優(yōu)化，獲得最小條件數(shù)時對應(yīng)的系數(shù)ai,k、bi,k。

基于排擠機制的小生境遺傳算法尋優(yōu)步驟如下：

(1)選擇編碼策略。取M=5，改進的傅里葉級數(shù)共有20個待優(yōu)化參數(shù)，因此，將20個參數(shù)進行實數(shù)編碼，構(gòu)成可行解的集合。

(2)確定適應(yīng)度函數(shù)。根據(jù)式(6)計算得到觀測矩陣YN，并以其條件數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，即適應(yīng)度函數(shù)。

(3)建立排擠機制。記第i個個體為pi，第j個個體為pj，則個體pi和pj之間的歐氏距離為‖pi-pj‖，取一較小整數(shù)ξ，f(·)表示個體的適應(yīng)度值。在對每一代進行選擇、交叉、變異操作之前，比較種群中任意兩個個體的相似性，若‖pi-pj‖lt;ξ，則表明pi和pj的相似程度較大。通過對適應(yīng)度較小者施加一較強的懲罰函數(shù)，使其適應(yīng)度變得極小，從而排擠掉其中適應(yīng)度較小者，即若f(pi)gt;f(pj)，則令f(pi)=δf(pj)(δ為一很小的正數(shù))，則在以后的進化中pj會以極大的概率被淘汰掉。

(4)確定遺傳算法參數(shù)。共進化400代，設(shè)置種群規(guī)模為50，交叉概率為0.4，變異概率為0.1。

(5)選擇操作。種群中個體的選擇操作采用輪盤賭法，并且將種群中個體適應(yīng)度值取倒數(shù)，使得在輪盤中適應(yīng)度值越小的個體在輪盤中被選中的概率越大。選擇操作控制進化方向，使得下一代種群優(yōu)于上一代種群。

(6)交叉操作。以一定概率對種群中的個體進行染色體交叉操作，被選中染色體的交叉位置相同。

(7)變異操作。對種群中染色體以一定概率進行變異操作，得到新的種群個體。

(8)判斷是否已完成預(yù)定的進化代數(shù)，達到則停止進化。

采用改進的傅里葉級數(shù)作為激勵軌跡，并用對改進傅里葉級數(shù)的20個參數(shù)進行尋優(yōu)，優(yōu)化得到的傅里葉級數(shù)參數(shù)如表1所示。觀測矩陣YN的條件數(shù)隨進化代數(shù)的變化過程如圖1所示。

表1 優(yōu)化后的傅里葉級數(shù)參數(shù)

圖1 觀測矩陣條件數(shù)Fig.1 Condition number of the observation matrix

得到的SCARA機器人兩關(guān)節(jié)位置輸入如圖2所示，對應(yīng)的兩關(guān)節(jié)角速度和角加速度分別如圖3、圖4所示。從圖中可以看出，各關(guān)節(jié)的起始和結(jié)束時刻位置相同，保證了軌跡運行的周期性，并且起始和結(jié)束時刻的關(guān)節(jié)角速度和角加速度為零，保證了機器人平滑運行。

圖2 激勵軌跡角度Fig.2 Angle of the excitation trajectory

圖3 激勵軌跡角速度Fig.3 Angular velocity of the excitation trajectory

圖4 激勵軌跡角加速度Fig.4 Angular acceleration of the excitation trajectory

3 采樣數(shù)據(jù)處理與參數(shù)估計

3.1采樣數(shù)據(jù)處理

采用優(yōu)化后的改進傅里葉級數(shù)作為機器人各關(guān)節(jié)激勵軌跡，運行時對關(guān)節(jié)的輸入力矩、關(guān)節(jié)角度和角速度進行采樣。由于采樣得到的數(shù)據(jù)易受測量噪聲的影響，所以多次重復(fù)執(zhí)行激勵軌跡，對采樣得到的關(guān)節(jié)角度、角速度和關(guān)節(jié)力矩取均值以提高信噪比：

為避免速度測量噪聲給加速度計算帶來的影響，文獻[9]根據(jù)采樣得到的各關(guān)節(jié)角度，反向擬合成傅里葉級數(shù)形式，再微分得到各關(guān)節(jié)角速度和角加速度。目前伺服電機一般采用高精度編碼器，根據(jù)關(guān)節(jié)角度求角速度也經(jīng)過濾波處理，得到的角速度信號比較準(zhǔn)確，所以本文僅將采樣得到的關(guān)節(jié)角速度擬合成傅里葉級數(shù)形式，關(guān)節(jié)速度的傅里葉級數(shù)

采用線性最小二乘法得到參數(shù)ai,k、bi,k，再對關(guān)節(jié)速度的傅里葉級數(shù)進行微分，得到關(guān)節(jié)角加速度信號，避免了兩次微分帶來的傳遞誤差。

3.2加權(quán)最小二乘估計

機器人在重復(fù)跟蹤激勵軌跡時，在N個時間節(jié)點t1,t2,…,tN，通過高精度光電編碼器對機器人關(guān)節(jié)角度和角速度進行采集，由于電機輸出力矩不易直接測量，所以根據(jù)電機反饋輸入電流和電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算得到關(guān)節(jié)輸入力矩。最終得到式(5)中的觀測矩陣YN和關(guān)節(jié)力矩向量τN。

式(5)的求解可采用加權(quán)最小二乘法[16]。在數(shù)據(jù)的采樣中，關(guān)節(jié)角度和角速度是通過高分辨率的光電編碼器經(jīng)過濾波處理后測得的，相比關(guān)節(jié)力矩的測量噪聲可以忽略不計。由力矩測量噪聲的方差構(gòu)成加權(quán)矩陣，從而區(qū)分準(zhǔn)確數(shù)據(jù)和不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，以此進一步提高辨識精度。此時，動力學(xué)參數(shù)φ的加權(quán)最小二乘估計

(16)

力矩測量噪聲方差通過下式進行估算：

式中，Ν為一個周期內(nèi)采樣的點數(shù)；τij(k)為第j周期內(nèi)，第i關(guān)節(jié)在第k次采樣得到的力矩輸出。

4 實驗設(shè)計與結(jié)果分析

辨識實驗在4自由度SCARA機器人的前兩關(guān)節(jié)進行，如圖5所示。機器人各個關(guān)節(jié)采用永磁同步伺服電機驅(qū)動，關(guān)節(jié)位置通過伺服電機的17位光電編碼器測量，速度通過對位置信號濾波后計算得到，力矩信號通過伺服電機的電樞反饋電流Iq和電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)計算得到。機器人各個關(guān)節(jié)由伺服驅(qū)動器進行獨立PID控制，在NI實時系統(tǒng)上通過NI板卡進行激勵軌跡的位置給定。

圖5 SCARA機器人前兩關(guān)節(jié)Fig.5 The first two joints of SCARA robot

改進的激勵軌跡為5階傅里葉級數(shù)，即M=5，則兩個關(guān)節(jié)共有20個參數(shù)需要進行優(yōu)化，優(yōu)化后的關(guān)節(jié)激勵軌跡角度、角速度和角加速度分別如圖2、圖3和圖4所示。傅里葉級數(shù)基頻ωf=0.1 Hz，軌跡周期為10 s，重復(fù)執(zhí)行激勵軌跡周期數(shù)L=5。

采用文獻[9]中提出的方法和本文提出的方法分別進行辨識，得到辨識結(jié)果如表2所示。

表2 辨識結(jié)果

機器人動力學(xué)參數(shù)的實際值是無法提前測得的，不能將兩種方法辨識得到的值與實際值進行對比。所以，選取一條不同于激勵軌跡的可執(zhí)行軌跡作為驗證軌跡，使機器人跟蹤驗證軌跡，同時對關(guān)節(jié)輸入力矩信號進行采樣，再根據(jù)辨識出的動力學(xué)參數(shù)φ和期望的運動軌跡，用式(3)計算出關(guān)節(jié)力矩的預(yù)測值。為評價參數(shù)辨識的精度，采用力矩測量值和預(yù)測值的殘差均方根εRMS作為評價指標(biāo)：

式中，τm(k)、τpred(k)分別為跟蹤驗證軌跡時，第k個采樣點處的采樣力矩和力矩預(yù)測值；K為每次運行的采樣點總數(shù)。

為滿足速度和加速度的邊界條件，仍選取式(15)所示形式的軌跡作為驗證軌跡，如圖6所示。

圖6 SCARA機器人關(guān)節(jié)驗證軌跡Fig.6 The joint validation trajectory of the SCARA robot

將上述驗證軌跡作為機器人兩關(guān)節(jié)的位置給定，根據(jù)兩種方法辨識得到的動力學(xué)參數(shù)，計算得到相應(yīng)的各關(guān)節(jié)預(yù)測力矩輸出。同時采集各個關(guān)節(jié)的實際輸出力矩，得到兩關(guān)節(jié)測量力矩和預(yù)測力矩如圖7所示。

(a)關(guān)節(jié)1

(b)關(guān)節(jié)2圖7 關(guān)節(jié)力矩測量值和預(yù)測值Fig.7 The measured values and predicted values ofthe joint torque

根據(jù)式(16)計算得到兩種方法對應(yīng)的各關(guān)節(jié)力矩殘差均方根，如表3所示?？梢钥闯觯簩Ω道锶~級數(shù)進行改進，使得角速度和角加速度在軌跡起始和停止時刻為零，并且使用基于排擠機制的小生境遺傳算法優(yōu)化觀測矩陣條件數(shù)的方法，可以明顯提高辨識精度。采用所提方法，兩關(guān)節(jié)力矩測量值和預(yù)測值的殘差均方根分別降低了11.50%和26.35%。

表3 兩關(guān)節(jié)力矩殘差均方根

5 結(jié)論

根據(jù)SCARA機器人的完整動力學(xué)方程，推導(dǎo)得到動力學(xué)模型的線性形式。采用改進的傅里葉級數(shù)作為機器人關(guān)節(jié)的激勵軌跡，使得關(guān)節(jié)角度滿足連續(xù)周期性，并且關(guān)節(jié)角速度和角加速度在軌跡起始和停止時刻為零。為提高辨識精度，采用基于排擠機制的小生境遺傳算法對激勵軌跡的系數(shù)進行優(yōu)化，以最小化SCARA機器人觀測矩陣的條件數(shù)?？紤]到測量噪聲的影響，采用加權(quán)最小二乘法(WLS)作為參數(shù)估計方法。實驗結(jié)果表明，采用所提方法能準(zhǔn)確辨識出SCARA機器人的動力學(xué)參數(shù)，并且相比于文獻[9]，兩關(guān)節(jié)力矩測量值和預(yù)測值的殘差均方根分別降低了11.50%和26.35%。

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(編輯王旻玥)

AnImprovedDynamicsParameterIdentificationMethodforSCARARobots

YAN Hao1BAI Ruilin1JI Feng2

1.Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu,214122 2.Xinjie Electronic Co.,Ltd.，Wuxi，Jiangsu，214072

In order to identify the dynamics parameters of SCARA robots, a new identification method was proposed based on improved Fourier series. According to the complete dynamics equations of the SCARA robots, a linear form of the dynamics model was derived. The improved Fourier series was used as the excitation trajectory of the robot joints, and the joint angles satisfied the continuous periodicity, and the angular velocities and angular accelerations were as zero at the beginning and end of the trajectory. In order to further improve the identification accuracy, the condition numbers of the observation matrix of the SCARA robots were used as the objective function, and based on crowding mechanism the niche genetic algorithm was used to optimize the coefficients of the trajectory. Considering the influences of measurement noises, the weighted least square method (WLS) was used as the parameter estimation method. The experimental results show that the proposed method may accurately identify the dynamics parameters of the SCARA robots, torque measurements and predictive values of two joints, the residual root mean square values are reduced by 11.50% and 26.35% respectively.

robot; dynamics; niche genetic algorithm; excitation trajectory; parameter identification

TP242

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.22.010

2016-12-08

江蘇省產(chǎn)學(xué)研前瞻性聯(lián)合研究項目(BY2015019-38)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程項目(PAPD)

嚴浩，男，1992年生。江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向為檢測技術(shù)與自動化裝置、機器人控制技術(shù)。E-mail:jiangnan_yh@163.com。白瑞林，男，1955年生。江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。吉峰，男，1981年生。無錫信捷電氣股份有限公司工程師。