關于幾何證明題解題思路的幾點看法

徐銀娣

摘 要：幾何證明題跟代數(shù)計算類題目不同，代數(shù)計算類題出的題型比較固定，考查的知識點也相對明確，所以容易總結出解題方法解題；而幾何證明題相當靈活，不局限于固定的公式，它對學生的邏輯思維能力要求比較高，需要通過嚴謹?shù)囊蚬P系和邏輯條件一步步銜接證明，最終得出所要證明的結論。

關鍵詞：幾何證明；方法技巧；思路；原理公式

幾何證明作為數(shù)學幾何學習內容其中一項重點難點，常常成為學生解題的絆腳石，面對點、線組成的圖形和各種前提條件，如何入手？怎樣證明？往往讓學生無從下手，其實，幾何證明題并不難。著名的匈牙利數(shù)學家George Polya曾說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確，哪一個方向可接近它，就要試探各種方向和思路。”這位偉大的數(shù)學家給了我們很大啟示，解決幾何證明題需要循序漸進，善于在探索證題過程中善于運用不同的解題思路，最終找到解題方法與技巧。接下來就如何運用不同思路解決幾何證明題提一些看法：

首先，我們需要積累不同的解題方法與技巧去解決不同類型的題目，一般來說，推薦以下三種常用思維來打開解題思路：

一、正向思維

顧名思義，面對一些直接可以通過套用公式定理或給出的已知條件就能輕而易舉地證出的題目，可以直接運用正向思維去推理證明。例如：

如圖1，點E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求證△ACE≌△ADE。

由已知條件中可知，根據“SAS”可輕松證明△ACB≌△ADB，△ACE≌△ADE。

二、逆向思維

這種思維比較獨特，需要從相反方向尋求解決思路。可以先假設證明結論成立，往回推理結論成立后將會有什么條件成立，再通過論證條件成立的可能性，倒推證明結論的正確。運用逆向思維的好處是能通過讓學生從不同的角度、不同的方向思索問題，尋找解題方法，最終拓寬學生的解題思路。這種逆向思維在初中數(shù)學是一種不可或缺的思維方法，尤其在證明題中體現(xiàn)得更加重要。比如：

已知，如圖2，∠BEO=∠BDC，BE=CD.求證：∠1=∠2。

想證明∠1=∠2，可考慮證明△AOE≌△AOD或△AOB≌△AOC，由條件不難發(fā)現(xiàn)前者有∠ADO=∠AEO，AO=AO，后者有∠C=∠B，AO=AO，二者具備的條件一樣，很難判斷出哪一個更好，因此，必須進一步分析條件，不難發(fā)現(xiàn)△BOE≌△COD，從而得出OB=OC，OE=OD，但這兩個條件加進去之后，又不難發(fā)現(xiàn)兩組待證的全等三角形所滿足的條件都是“SSA”，而它不能判定兩個三角形全等，因此還須進一步掌握條件，BD=CE，不難發(fā)現(xiàn)△ABD≌△ACE，這樣便有AD=AE，AB=AC。于是兩組待證的全等三角形均可由“SSS”證明。通過以上證題思路可以看出，面對這種類型的題目，我們可以先假設求證成立，從題目的問題向條件一步步往回推理，然后求證目的條件成立與否，最后從這一過程中推導出證明結論成立，即運用逆向思維推理達到求證的目的。

三、正逆結合

如何面對難以從結論分析出思路的題目，我們可以結合結論和已知條件認真分析，一般幾何證明題中，所給的每一個已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路。比如：

已知，如圖3，在△ABC中，AD是角的平分線，EF垂直平分AD交AD與E，交BC的延長線與F，求證：∠B=∠CAF。

∠B和∠CAF不在同一個三角形內，而且這兩個角所在的兩個三角形也不全等，因此要考慮與這兩個角有關的角。由EF是AD的垂直平分線，可知FD=FA，∴∠FDA=∠FAD。而∠FAD=∠FAC+∠DAC，∠ADF是△ABD的外角，則∠ADF=∠B+∠BAD。又由AD是角的角平分線，則可知∠BAD=∠DAC，因此，問題得證。從這個例子可知，在證題過程中，當要證的兩個角關系不明顯時，把它們轉化為有聯(lián)系的角，這是逆向思維，然后觀察這兩個有聯(lián)系的角，再從簡單的正向思維就可以輕松地得以證明結論。

當然，學會了解題方法技巧只是邁出解決問題的第一步，熟練運用和記憶一些常見原理才是解決幾何證明題的關鍵所在。熟記一些我們在解題過程中直接運用的原理公式：角平分線的定義、勾股定理等；對于比較特殊的圖形如全等三角形三邊相等、等腰三角形兩腰相等、直角三角形兩邊垂直等圖形也需要信手拈來。

參考文獻：

1.謝鼓平.初中教案與作業(yè)設計.

2.薛金星.中學教材全解.

3.劉會金.思路·策略·方法.

（作者單位：廣東省惠州市博羅橫河中學）endprint