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    樂學善思勇于探究
    ——一道課本習題的變式與延伸

    2017-11-28 02:26:53儲開根
    初中生世界 2017年43期
    關鍵詞:余料善思樂學

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    樂學善思勇于探究
    ——一道課本習題的變式與延伸

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    蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第72頁有這樣一道習題:

    如圖1,在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,QM在BC上.設BC=48,AD=16,PQ∶PN=5∶9,求矩形PQMN的面積.

    圖1

    解:設PQ=5x,則PN=9x,AE=16-5x.

    ∵四邊形PQMN是矩形,

    ∴PN∥QM,∴△APN∽△ABC.

    ∵AD是△ABC的高,∴AE是△APN的高,

    解得:x=2,則PQ=5x=10,PN=9x=18.

    ∴矩形PQMN的面積為180.

    探究一:求△ABC中矩形PQMN面積的最大值.

    如圖2,在△ABC中,BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,頂點Q、M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為(.用含a,h的代數(shù)式表示)

    圖2

    探究二:求“缺角矩形”中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

    如圖3,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內角),求該矩形的面積.

    【分析】小明從一塊“缺角矩形”ABCDE中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內角),結合題設和探究一,可將缺角矩形問題轉化為三角形問題加以解決.

    圖3

    解:如圖4,延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、CD交于點H,取BF中點I,F(xiàn)G的中點K.

    由題意知四邊形ABCH是矩形,

    ∵AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

    ∴EH=20,DH=16,∴AE=EH,CD=DH,

    在△AEF和△HED中,

    圖4

    ∵BI=24<32,BI=24>16,∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上,

    答:該矩形的面積為720.

    探究三:求木板余料中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

    如圖5,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且∠B=∠C,AG⊥BC,AG∶BG=,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.

    圖5

    【分析】由題設中的∠B=∠C,只要延長BA、CD交于點E,便可將探究三中不規(guī)則四邊形問題轉化為等腰三角形問題解決,再利用探究一結論解答即可.

    解:如圖6,延長BA、CD交于點E,過點E作EH⊥BC于點H,∵∠B=∠C,∴EB=EC,

    圖6

    答:該矩形的面積為1944cm2.

    同學們,問渠哪得清如許,為有源頭活水來.我們在平時學習中要多注意課本中的“源頭活水”——課本例題、習題,要樂學善思,勇于探究,注重題目的本質,尋求一題多變,豐富題目的內涵,拓展題目的外延,實現(xiàn)舉一反三,觸類旁通,從而不斷提高自己的思維能力和數(shù)學素養(yǎng).

    (作者單位:江蘇省東臺市唐洋鎮(zhèn)中學)

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