相似抓對(duì)應(yīng)分類防漏解

唐華金

相似抓對(duì)應(yīng)分類防漏解

唐華金

兩個(gè)圖形相似，一定要注意相似形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，不少同學(xué)因概念不清或考慮不周經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解，下面對(duì)一些典型的犯錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

例1如圖1，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的長(zhǎng).

圖1

【典型錯(cuò)解】∵DE∥BC，

【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解中用錯(cuò)了兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，由△ADE∽△ABC應(yīng)得，從而得BC=3DE=12（cm）.

所以學(xué)習(xí)相似三角形一定要注意對(duì)應(yīng).

【糾錯(cuò)訓(xùn)練1】如圖2，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，

圖2

例2如圖3，在已建立平面直角坐標(biāo)系的4×4的正方形方格紙中，△ABC是格點(diǎn)三角形，若以格點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似（C點(diǎn)除外），則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

圖3

【典型錯(cuò)解】P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），（3，4）.

【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解中遺漏了三角形全等的情況，事實(shí)上，全等是特殊的相似.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)時(shí)，形成相似比為2∶1的相似三角形；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)時(shí)，兩個(gè)三角形全等，即相似比為1∶1.如圖4，格點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（1，4），則

或（3，1）或（3，4）.

圖4

【糾錯(cuò)訓(xùn)練2】如圖5，在2×4的正方形方格中，與格點(diǎn)△ABC相似但不全等的格點(diǎn)三角形共有個(gè).

圖5

例3如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3、4及x，那么x的值是

【典型錯(cuò)解】第一步，求得其中一個(gè)直角三角形第三邊長(zhǎng)為10；第二步，將6、8、10分別與3、4、5對(duì)應(yīng)求得x=5.

【錯(cuò)因分析】主觀上將6和8當(dāng)作直角邊，并將6、8和3、4對(duì)應(yīng)，缺乏分類意識(shí)，事實(shí)上，邊長(zhǎng)分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊.當(dāng)6和8為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理可知斜邊為10，，解得x=5；當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理可求得另一條直角邊為27.由，解得x=7，所以x=5或7.

圖6

【糾錯(cuò)訓(xùn)練3】將三角形紙片△ABC按如圖6所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是.

例4如圖7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直線AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，PA=

圖7

【典型錯(cuò)解】如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，①當(dāng)時(shí)，△PAD∽△PBC，此時(shí)，解得

圖8

【錯(cuò)因分析】只考慮點(diǎn)P在線段AB上的情形，未考慮點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上或在線段BA的延長(zhǎng)線上的情況，設(shè)PA=x，

圖9

圖10

③如圖11，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)△PAD∽△CBP時(shí)，，此時(shí)解得（負(fù)值舍去），PA=x=，綜上，PA=1或6或或14或

圖11

【糾錯(cuò)訓(xùn)練4】如圖12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→B的方向在AC、AB邊上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B即停止.連接PD，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=時(shí)，線段PD截得的三角形與Rt△ABC相似.

圖12

通過(guò)以上幾種易錯(cuò)點(diǎn)的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)相似一定要抓住相似形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，同時(shí)，要注意題目語(yǔ)言的敘述是否存在多種可能，特別是“相似符號(hào)沒(méi)有寫的情況下，一定要注意對(duì)應(yīng)防漏解”，提高分類的意識(shí)，增強(qiáng)思考問(wèn)題的全面性和完整性.

小試牛刀

1.如圖13，在△ABC中，AB≠AC.D、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn).AC=3AD，AB=3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得△FDB與△ADE相似.

圖13

2.經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如圖14，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，則∠ACB的度數(shù)為.

圖14

（關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“2017年11月數(shù)學(xué)”獲取答案）

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市頭灶鎮(zhèn)曹丿中學(xué)）