活用基本型學(xué)好相似形

趙軍（特級(jí)教師）

活用基本型學(xué)好相似形

趙軍（特級(jí)教師）

在運(yùn)用相似三角形解決問題的過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的幾何圖形，如何從中找出相似三角形的“基本型”往往成為解題的關(guān)鍵，下面僅以常見的一些相似三角形的基本圖形為例進(jìn)行歸類分析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、“A”型

在三角形的相似模型中，有一類像大寫字母“A”的圖形，我們稱之為“A型”，在具體圖形中我們又將其分為“正A型”和“斜A型”兩種.

例1如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，則CE的長(zhǎng)為.

圖1

【思路點(diǎn)撥】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，所以，設(shè)CE=x，則，解之得：x=6，所以CE的長(zhǎng)為6.如圖1中的△ADE與△ABC相似可形象地稱之為“正A型”相似.

變式1如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠AED=∠B，若AD=3，BD=10，AE=5，則CE的長(zhǎng)為.

【思路點(diǎn)撥】由∠AED=∠B，∠A=∠A可得△AED∽△ABC，所以，設(shè)CE=x，則，解之得，所以CE的長(zhǎng)為如圖2中的△AED與△ABC的相似可形象地稱之為“斜A型”相似.

圖2

變式2如圖3，在△ABC中，AC=9，AB=6，點(diǎn)E在AC上，且AE=3，點(diǎn)D在AB上，連接ED.若△AED與△ABC相似，則AD=.

圖3

【思路點(diǎn)撥】題目給出的條件是△AED與△ABC相似，沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以要分情況討論（.1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ABC，屬于“正A型”相似，此時(shí)有，即所以AD=2；（2）當(dāng)∠AED′=∠B時(shí)，△AD′E∽△ACB，屬于“斜A型”相似，此時(shí)有即，所以AD′=4.5.故AD=2或4.5.

歸納小結(jié)學(xué)習(xí)相似三角形一定要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，在“A型”相似中，有“正A型”相似和“斜A型”相似，當(dāng)題目給出的條件只交待一個(gè)三角形與另一個(gè)三角形相似，而不明確字母的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，一定要注意分類討論，大家在學(xué)習(xí)過程中一定要注意哦！

小試牛刀

1.如圖4，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的A處，則小明的影子AM長(zhǎng)為米.

圖4

【授人以漁】抓住△ABM∽△OCM（“正A型”相似），利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程，可求出小明的影長(zhǎng).

2.如圖5，PB、PD分別與⊙O相交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD=.

圖5

【授人以漁】連接AC、BD，容易證得△PAC∽△PDB（“斜A型”相似），所以，分別代入PA、PB、PC的值可求出PD的長(zhǎng)，然后用PD-PC即可求出CD.

二、“8”型

在三角形的相似模型中，還有一類像數(shù)字“8”的圖形，我們稱之為“8型”.在具體圖形中我們又將其分為“正8型”和“斜8型”.

例2如圖6，AB、CD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，若OD=2，OC=3，AD=4，則BC的長(zhǎng)為.

圖6

【思路點(diǎn)撥】由AD∥BC可得△ADO∽△BCO，所以，即，解之得：BC=6，所以BC的長(zhǎng)為6.如圖6中的△AOD與△BOC相似可形象地稱之為“正8型”相似.

變式1如圖7，AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠D=∠B，若OD=6，OC=4，AB=11，且OB＞OA，則OA=，OB=.

圖7

【思路點(diǎn)撥】由∠D=∠B，∠AOD=∠COB得△AOD∽△COB，所以，設(shè)OA=x,則OB=11-x，所以，解之得：x=8或3，因?yàn)镺B＞OA，所以O(shè)A=3，OB=8.

變式2如圖8，CD、BE相交于點(diǎn)A，AC=2cm，AB=3cm，AE=4cm，AD=8cm，點(diǎn)F為線段AD上一點(diǎn)，若△AEF與△ABC相似，求AF的值.

圖8

【思路點(diǎn)撥】△AEF與△ABC相似，并未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要分情況進(jìn)行討論，當(dāng)EF∥BC時(shí)，△AEF∽△ABC，屬于“正8型”相似，此時(shí)，所以；當(dāng)∠AEF=∠C時(shí)，△AEF∽△ACB，屬于“斜8型”相似，此時(shí)，所以AF=6.綜上，AF的值為

歸納小結(jié)學(xué)習(xí)相似一定要注意字母與字母、線段與線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在“8型”相似中，有“正8型”和“斜8型”兩種相似，當(dāng)題目給出的條件敘述為：一個(gè)三角形與另一個(gè)三角形相似，一定要注意線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系，別忘了分情況討論！

小試牛刀

1.如圖9，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB=2，CD=3，則GH的長(zhǎng)為

.

1.黃油室溫軟化后用刮刀攪拌順滑。2.水和砂糖加熱至103度，蛋液打至魚眼泡形狀。3.邊快速打發(fā)蛋液邊緩緩倒入糖水。4.持續(xù)打發(fā)至蛋液恢復(fù)常溫后，一次性將蛋液倒入黃油中打均勻。5.分次將黃油加入板栗蓉中混勻即可。

圖9

【授人以漁】由AB∥CD，得“正8型”相似：△ABG∽△CDG，所以，再由GH∥CD得“正A型”相似：△BHG∽△BCD，所以，從而問題得解.其關(guān)鍵是抓住平行，利用兩次相似，且兩次相似比中都有線段BG進(jìn)行過渡.

2.如圖10，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，連接BE、AF，它們相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有（）.

圖10

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

【授人以漁】抓住平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，可分別找出“8型”和“A型”相似.由AB∥CH可得“正8型”相似：△ABG∽△FHG、△ABE∽△DHE；由DE∥CB可得“正A型”相似：△DHE∽△CHB；由相似的傳遞性得：△ABE∽△CHB.所以選C.

三、“K”型

在三角形的相似模型中，除了“A型”“8型”，還有一類像字母“K”的相似圖形，我們稱之為“K型”相似.

例3如圖11，在△ADE和△BCE中，AD⊥AB，BC⊥AB，點(diǎn)E在AB上，且CE⊥DE，若AD=，BE=1，AE=2，則BC的長(zhǎng)為.

圖11

【思路點(diǎn)撥】先證得△DAE∽△EBC，再運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程求BC的值.具體思路如下：由CE⊥DE得：∠AED+∠BEC=90°，由BC⊥AB得：∠C+∠BEC=90°，所以∠AED=∠C，因?yàn)椤螦=∠B=90°，所以△DAE∽△EBC，所以，解之得：

變式1如圖12，在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為

圖12

【思路點(diǎn)撥】先證得△ABD∽△DCE，再運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比列出方程求解.

變式2如圖13，在四邊形ABCD中，P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，求證：AD?BC=AP?BP.

圖13

【思路點(diǎn)撥】證明AD?BC=AP?BP即需要證明，只需證得△APD∽△BCP，由平角的定義得：∠APD+∠CPB=180°-θ，在△APD中，∠APD+∠PDA=180°-θ，所以∠PDA=∠CPB，因?yàn)椤螦=∠B，所以△APD∽△BCP，從而得證.

歸納小結(jié)“K型”相似的關(guān)鍵是具備這樣的條件：在一條直線上有3個(gè)角相等，簡(jiǎn)稱“一線三等角”.證明相似時(shí)利用平角和三角形的內(nèi)角和均為180°證得一組角相等，加上條件中的另一組角相等，從而得到相似，并用相似三角形的性質(zhì)解決問題.

小試牛刀

1.如圖14，已知△ABC和△DEF均為等腰直角三角形，BC=AC、DE=FE，∠C=∠E=90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DF、DE分別交AC、BC于點(diǎn)G、H，求證：AD?BD=BH?AG.

圖14

【授人以漁】欲證AD?BD=BH?AG，即需要證明，由這個(gè)比例式可知，需要找△ADG∽△BHD，根據(jù)題目給出的條件可知∠A=∠B=∠GDH=45°，具備一條直線上有3個(gè)相等的角，可證得它們相似.

2.如圖15，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-、y=的圖像交于B、A兩點(diǎn)，則

∠OAB的大小的變化趨勢(shì)為（）.

圖15

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變

【授人以漁】因?yàn)?，所以∠OAB的大小是否變化，要看的值是否發(fā)生變化，分別過點(diǎn)A、B作AN、BM垂直于x軸，垂足分別為N、M，構(gòu)造“K型”相似：△BOM∽△OAN，可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合兩個(gè)反比例函數(shù)的解析式分別求出的值保持不變，即∠OAB的大小不變.

圖16

圖17

相似三角形的基本型還有很多，如圖16中的“母子型”相似（由∠ACB=∠CDB=90°得△ACD∽△CBD∽△ABC，又可得：CB2=BD?BA、CA2=AD?AB、CD2=DA?DB）；

如圖17中的“共邊型”相似（△BCD與△ACB共邊BC，且△BCD∽△ACB等價(jià)于BC2=CD?CA）；

圖18

如圖18中的“共角型”相似（△ABD與△ACE有公共角∠A，再添加一個(gè)條件即可得相似）等.各位同學(xué)可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納，不斷小結(jié)，并在解決問題的過程中善于發(fā)現(xiàn)模型，在模型積累的基礎(chǔ)上做到靈活運(yùn)用，有效提升解決問題的能力.總而言之，要想學(xué)好相似形，首先要抓住基本型.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市新街鎮(zhèn)中學(xué)）