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    以“本”為本,“一將”統(tǒng)“三軍”

    2017-11-28 02:26:49李紅
    初中生世界 2017年43期
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱軸一元二次方程實(shí)數(shù)

    李紅

    以“本”為本,“一將”統(tǒng)“三軍”

    李紅

    同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)要熟練掌握基本定義、圖像性質(zhì),進(jìn)而能靈活應(yīng)用,現(xiàn)在的中考題又多是課本例題、習(xí)題的變式或延伸,因而同學(xué)們尤其應(yīng)重視對(duì)課本的學(xué)習(xí).

    原題呈現(xiàn)

    蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第17頁(yè)例題:畫(huà)出二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像,并指出它的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大值或最小值.

    【分析】要畫(huà)二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c圖像,可先將函數(shù)表達(dá)式變成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k的形式,由a判斷開(kāi)口方向,頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線x=h,當(dāng)x=h時(shí)y的最值是k.

    解:y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1,二次項(xiàng)系數(shù)-1<0,函數(shù)圖像開(kāi)口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-1),對(duì)稱軸是直線x=-2,二次函數(shù)y=-x2-4x-5圖像如圖1.

    圖1

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),解題關(guān)鍵是二次函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化.

    延展一不畫(huà)圖像,判斷二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像與x軸是否有公共點(diǎn).

    【分析】當(dāng)y=0時(shí),拋物線y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0,所以通過(guò)判斷Δ=b2-4ac與0的大小,可以確定拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù):(1)b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根);(2)b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)(一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根);(3)b2-4ac<0,拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)(一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根).

    解:b2-4ac=(-4)2-4×(-1)×(-5)<0,所以方程-x2-4x-5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).

    延展二拋物線y1=-x2-4x-5與直線y2=-x-5交于(x1,y1)、(x2,y2)兩點(diǎn),求y1>y2時(shí)x的范圍.

    【分析】求直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo),實(shí)質(zhì)是求兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立的方程組的解,畫(huà)出圖像,根據(jù)圖像可以直接寫(xiě)出范圍.要求y1>y2時(shí)x的范圍,即為函數(shù)y1的圖像在y2圖像上方的部分的x的范圍,反之亦然.

    兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖2,當(dāng)y1>y2時(shí),x的范圍是-3<x<0.

    圖2

    延展三將二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像向上平移5個(gè)單位,向右平移3個(gè)單位后與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PC最小.

    【分析】求平移后函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),首先要求平移后函數(shù)的解析式,一般先化成頂點(diǎn)式,再按上(+)下(-),左(+)右(-)方式寫(xiě)出平移后的解析式,令x=0或y=0代入可求.線段和(或差)的最值問(wèn)題,利用兩點(diǎn)之間線段最短,找對(duì)稱點(diǎn)解決.

    解:因?yàn)槠揭坪髵佄锞€y=-(x-1)2+4,當(dāng)y=0時(shí),x1=3,x2=-1;當(dāng)x=0時(shí),y=3,所以A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).連接BC交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)P,因?yàn)锳、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,則P為求作的點(diǎn),所以PA+PC=PB+PC=BC=32.

    圖3

    延展四Q為直線BC上方的拋物線y=-(x-1)2+4上任意一點(diǎn),求△BCQ面積的最大值及此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).

    【分析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形面積時(shí),可采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)三角形計(jì)算.分割方法一般采用橫向或縱向比較容易計(jì)算.

    圖4

    解:過(guò)Q作x軸垂線交直線BC于點(diǎn)M.

    (作者單位:江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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