貝葉斯最大熵及其在地球科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)展

高勝國(guó)+翁海騰+朱忠禮

摘要：貝葉斯最大熵方法（bayesian maximum entropy，簡(jiǎn)稱BME）是現(xiàn)代時(shí)空地統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要組成部分。該方法采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯理論和信息論中熵的概念來(lái)認(rèn)識(shí)和處理時(shí)空變量，可以將所研究時(shí)空要素的軟數(shù)據(jù)和硬數(shù)據(jù)系統(tǒng)合理地綜合到對(duì)該要素的空間估計(jì)和分析制圖過(guò)程中。本文首先結(jié)構(gòu)化梳理貝葉斯最大熵方法的原理，對(duì)理論較深?yuàn)W、公式較復(fù)雜的貝葉斯最大熵方法及該方法的特點(diǎn)加以概括，同時(shí)歸納與總結(jié)貝葉斯最大熵方法在地球科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)多個(gè)方向的應(yīng)用研究進(jìn)展，最后對(duì)該方法及其應(yīng)用作總結(jié)與展望。經(jīng)國(guó)內(nèi)外學(xué)者多年的研究和實(shí)踐，貝葉斯最大熵方法已被證明在地球科學(xué)領(lǐng)域有著更廣闊的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：貝葉斯最大熵；地統(tǒng)計(jì)學(xué)；時(shí)空估計(jì)；軟數(shù)據(jù)；硬數(shù)據(jù)

中圖分類號(hào)： S127；S11+9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)：1002-1302（2017）18-0011-06

收稿日期：2016-04-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（編號(hào)：91125002、41531174）。

作者簡(jiǎn)介：高勝國(guó)（1986—），男，山西忻州人，博士，講師，研究方向?yàn)槎窟b感、農(nóng)業(yè)統(tǒng)計(jì)遙感。E-mail：cugbgaoshengguo@126.com。

通信作者：朱忠禮，博士，副教授，研究方向?yàn)檫b感水文。E-mail：zhuzl@bnu.edu.cn。 貝葉斯最大熵（Bayesian maximum entropy，簡(jiǎn)稱BME）方法是現(xiàn)代時(shí)空地統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要組成部分。地表自然生態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)組成要素多樣、復(fù)雜的綜合系統(tǒng)，加上自然環(huán)境歷史演化變遷以及人類活動(dòng)的影響，地表各要素在時(shí)空分布上呈現(xiàn)既有隨機(jī)性又有結(jié)構(gòu)性的特點(diǎn)，鑒于此，對(duì)地表時(shí)空要素的時(shí)空分布、變異性、相關(guān)性以及依賴性的定量描述和研究相當(dāng)困難。傳統(tǒng)的解決辦法是將地理要素空間上劃分為時(shí)空上較為均一的區(qū)域或?qū)訁^(qū)，在一定程度上描述地表要素的空間分布以及變異情況。以變異函數(shù)和克里金估計(jì)為代表的傳統(tǒng)地統(tǒng)計(jì)學(xué)的出現(xiàn)，將區(qū)域化變量理論引入到地表要素空間變異性研究中并加以豐富和完善，使之定量化，從而大大推動(dòng)了地表要素空間變異這一研究進(jìn)展。地統(tǒng)計(jì)學(xué)被證明是研究地表要素空間分布特征及其變異規(guī)律最有效的方法之一。傳統(tǒng)地統(tǒng)計(jì)學(xué)主要處理空間變異，然而地表要素是時(shí)空動(dòng)態(tài)的，它的許多屬性在發(fā)生空間變化的同時(shí)也隨著時(shí)間發(fā)生變異，在空間變異基礎(chǔ)上引入時(shí)間變異的分析能更準(zhǔn)確描述地表要素的變異特征；同時(shí)，地表要素的互相關(guān)聯(lián)性使地表某種要素的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)其他相關(guān)要素有一定的指示作用，這種相關(guān)要素觀測(cè)提供的輔助信息同樣是描述目標(biāo)地表要素時(shí)空變異性的重要信息來(lái)源。貝葉斯最大熵方法采用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯理論和信息論中熵的概念來(lái)認(rèn)識(shí)和處理時(shí)空變量，是現(xiàn)代時(shí)空地統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要組成部分[1]，它不同于傳統(tǒng)的地統(tǒng)計(jì)學(xué)線性空間估計(jì)方法（普通克里金、協(xié)克里金、回歸克里金等），屬于以非線性理論為基礎(chǔ)的時(shí)空估計(jì)范疇，對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)的分析以及不確定性數(shù)據(jù)（軟數(shù)據(jù)）的使用成為其最大特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，近20年來(lái)被逐漸應(yīng)用到大氣、土壤、環(huán)境、公共衛(wèi)生等多個(gè)研究領(lǐng)域，近年來(lái)國(guó)內(nèi)也有多位學(xué)者開(kāi)始了對(duì)BME的相關(guān)研究。

1 貝葉斯最大熵

貝葉斯最大熵時(shí)空估計(jì)方法是1990年前后被提出的[2-4]，并逐漸被廣泛應(yīng)用在地球科學(xué)領(lǐng)域。該方法涉及到認(rèn)識(shí)論、時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)、概率統(tǒng)計(jì)等學(xué)科知識(shí)，與傳統(tǒng)空間分析、制圖方法相比，最大特點(diǎn)是可以將所研究要素的精確觀測(cè)數(shù)據(jù)（硬數(shù)據(jù)）、不確定性數(shù)據(jù)（軟數(shù)據(jù)）和其他來(lái)源的相關(guān)信息系統(tǒng)合理地綜合到對(duì)該要素的空間估計(jì)和分析制圖過(guò)程中。

從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)說(shuō)，綜合的知識(shí)和信息越多，對(duì)想象或過(guò)程的認(rèn)知就越真實(shí)、越準(zhǔn)確。BME可以將廣義知識(shí)（general knowledge，用G表示）和特定知識(shí)（specific knowledge，用S表示）同時(shí)綜合到目標(biāo)要素的空間分析過(guò)程中。廣義知識(shí)可以是統(tǒng)計(jì)規(guī)律（統(tǒng)計(jì)矩）、相關(guān)定律、科學(xué)原理等。特定知識(shí)包括特定點(diǎn)位上的測(cè)量數(shù)據(jù)，如實(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)、面數(shù)據(jù)、時(shí)間序列數(shù)據(jù)等。在貝葉斯理論框架下，廣義知識(shí)屬于先驗(yàn)信息，特定知識(shí)是所研究要素新的觀測(cè)數(shù)據(jù)和信息來(lái)源，基于貝葉斯理論根據(jù)先驗(yàn)的概率密度函數(shù)（probability density function，簡(jiǎn)稱pdf）估計(jì)地理空間要素的后驗(yàn)概率密度分布及后驗(yàn)概率。目前在BME應(yīng)用的多數(shù)研究中，廣義知識(shí)通常是一些統(tǒng)計(jì)矩，最常用的是均值、方差和協(xié)方差，特定知識(shí)包括軟數(shù)據(jù)和硬數(shù)據(jù)。

BME方法在邏輯上可以分為3個(gè)相互關(guān)聯(lián)的階段：（1）先驗(yàn)階段。通過(guò)信息期望（熵函數(shù)）的最大化，將從已有的統(tǒng)計(jì)知識(shí)中得到的先驗(yàn)概率考慮到空間估計(jì)中；（2）中間階段。整理特定知識(shí)（硬數(shù)據(jù)和軟數(shù)據(jù)）并且將其轉(zhuǎn)化成一種便于融入后期數(shù)據(jù)分析中的數(shù)學(xué)表達(dá)形式（比如概率分布形式）；（3）后驗(yàn)階段。通過(guò)貝葉斯條件概率的形式表達(dá)待估計(jì)變量的后驗(yàn)概率，通過(guò)后驗(yàn)概率的最大化得到空間變量的估計(jì)。因此，BME方法在使自然現(xiàn)象的時(shí)空分析和制圖過(guò)程滿足信息量豐富的同時(shí)，又滿足邏輯上的說(shuō)服力更是合情合理，信息量豐富體現(xiàn)在先驗(yàn)階段大量的先驗(yàn)知識(shí)，而邏輯上的說(shuō)服力體現(xiàn)在后驗(yàn)階段根據(jù)具體知識(shí)得到的后驗(yàn)概率[1]。

1.1 先驗(yàn)階段

BME方法的此階段是基于最大熵原理，在此階段通常只使用廣義知識(shí)（G）。

1.1.1 信息熵與概率 認(rèn)知論中有這樣的一個(gè)邏輯規(guī)則：如果某個(gè)命題越模糊越籠統(tǒng)，那么這個(gè)命題就包括了越多可能發(fā)生的事件，這個(gè)命題就有更大的可能性成立，然而關(guān)于命題的信息量卻是少的；相反，如果越多可能發(fā)生的事件被排除了，也就是關(guān)于命題的信息量多了，而這個(gè)命題發(fā)生的可能性就小了[1]。也就是說(shuō)一個(gè)信息量豐富的科學(xué)事件更不容易發(fā)生，因?yàn)樗嗔嗽S多限制因素。在BME的先驗(yàn)階段也作了這樣的假設(shè)：廣義知識(shí)所提供的信息量和地圖真實(shí)形態(tài)出現(xiàn)的可能性之間是存在反比的關(guān)系，據(jù)此我們可以把包含在時(shí)空隨機(jī)變量xmap的pdf 中的知識(shí)表達(dá)為信息量的形式。關(guān)于信息量和可能性之間有很多種表達(dá)方式，在BME中應(yīng)用Shannon的信息量原則[5]，根據(jù)給定的廣義知識(shí)G，包含在xmap中的信息量表示為下式：endprint

infoG[xmap]=-lg lgfG（xmap）。

（1）

式（1）同時(shí)表示隨機(jī)變量xmap的不確定性：概率越大，xmap的不確定性越小，同樣由xmap的pdf 提供的信息量也越少。信息量的期望可以表示為下式：

infoG[xmap]=-∫d χmapfG（xmap）lgfG（xmap）lgfG（xmap）。

（2）

根據(jù)可使用的廣義知識(shí)構(gòu)建1個(gè)關(guān)于自然要素空間實(shí)現(xiàn)的概率模型。由廣義知識(shí)提供并且引用到模型中的自然要素地圖的信息量可以由式（2）來(lái)表達(dá)，此公式稱為熵函數(shù)（entropy function）。BME名稱縮寫(xiě)中的第3個(gè)字母“E”就是指這里的信息熵函數(shù)。

1.1.2 廣義知識(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá) 在自然科學(xué)中很多數(shù)據(jù)和理論都具有時(shí)空自相關(guān)特性和概率依賴性。所以將廣義知識(shí)用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)為相關(guān)自然變量的概率函數(shù)或是概率運(yùn)算是非常有意義的。假設(shè)廣義知識(shí)包含了一系列函數(shù)Gα（α=0，1，…，NC）：

G ∶ hα（pmap）=Gα[xmap，pmap；fG]。

（3）

式（3）中：等號(hào)左邊表示時(shí)空變量一系列的統(tǒng)計(jì)期望；等號(hào)右邊是基于廣義知識(shí)相關(guān)的時(shí)空隨機(jī)變量xmap、時(shí)空坐標(biāo)pmap和廣義知識(shí)相對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)的表達(dá)式。hα可以通過(guò)很多種途徑來(lái)構(gòu)建。式（3）適用于各種類型的廣義知識(shí)：各階統(tǒng)計(jì)矩、經(jīng)驗(yàn)關(guān)系、物理公式或是其他科學(xué)理論。在許多時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)中，物理知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)關(guān)系等可以轉(zhuǎn)化為一系列的統(tǒng)計(jì)矩：

hα（pmap）=gα（xmap），α=0，1，…，Nc

gα（xmap）=∫d χmapgα（χmap）fG（χmap；pmap）。

（4）

式中：gα是χmap的一系列的已知函數(shù)。關(guān)于gα的選擇有一些數(shù)學(xué)上和物理上的規(guī)則。一般g0=1，那么gα（xmap）=1是標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)。并且在gα（α>0）確定了之后，公式左邊對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)期望hα必須直接從試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到或從其他來(lái)源的廣義知識(shí)（物理知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)圖表）中推理得到。

目前應(yīng)用最多的廣義知識(shí)就是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)矩，那么假設(shè)平均值為xi、方差為xi-xi、三階矩為（xi-xi）3、協(xié)方差為（xi-xi）（xi′-xi′）在點(diǎn)pi，i=1，…，m，k處是已知的，則式（4）中對(duì)應(yīng)的gα可以表達(dá)為1+（m+1）（m+6）/2種形式，具體可參考Christakos的方法[1]。

1.1.3 基于廣義知識(shí)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的獲取 BME方法的先驗(yàn)階段主要目標(biāo)是根據(jù)廣義知識(shí)獲取自然要素空間分布的先驗(yàn)概率密度函數(shù)，也就是在式（2）中的fG。這個(gè)基于廣義知識(shí)得到的pdf將應(yīng)用到下階段的BME分析中。這里要計(jì)算先驗(yàn)概率密度分布函數(shù)需要借助拉格朗日乘數(shù)法[6]：

目標(biāo)函數(shù)：

M=∫d χmapΦ[χ，fG（χ）]；

（5）

限制條件：

hα=∫d χφα[χ，fG（χ）]，α=0，1，…，Nc；

（6）

歐拉-拉格朗日方程：

ΦfG+∑Ncα=0μαφαfG=0。

（7）

在歐拉-拉格朗日方程中，μα是拉格朗日乘子，通過(guò)聯(lián)立限制條件和拉格朗日方程可以得到μα以及fG，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)的最大值。

在BME分析中，Φ[χ，fG（χ）]=-fG（χ）lgfG（χ）lgfG（χ），φα[χ，fG（χ）]=gα（χ）fG（χ）。這樣利用拉格朗日乘數(shù)法，以廣義知識(shí)[式（4）]為限制條件，通過(guò)最大化infoG[xmap][式（2）]可以求得先驗(yàn)pdf fG（xmap）。根據(jù)Christakos的方法[1]可以知道先驗(yàn)概率的表達(dá)形式：

fG（xmap；pmap）=Z-1exp exp{γG[xmap；pmap]}。

（8）

這里γG[xmap；pmap]=∑Ncα=1μα（pmap）gα（xmap）；lgZ=-μ0。

根據(jù)式（8），廣義知識(shí)方程組[式（4）]可以寫(xiě)為下式：

hα（pmap）=∫d χmapgα（xmap）exp exp{μ0+γG[xmap；pmap]}，α=0，1，…，Nc。

（9）

求解式（9）可以獲取式（8）中的μα。

1.2 中間階段

在現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)事物或現(xiàn)象的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和分析可以獲取更多更確定的信息。BME分析中間階段的主要工作是收集和整理所有可能的特定知識(shí)，并且把這些特定知識(shí)以一種定量的形式來(lái)表達(dá)，便于融合到BME分析的后階段中。這里特定知識(shí)（S）包括硬數(shù)據(jù)和軟數(shù)據(jù)，它們來(lái)源于實(shí)地觀測(cè)或?qū)v史數(shù)據(jù)的計(jì)算分析。

1.2.1 硬數(shù)據(jù) 硬數(shù)據(jù)是在試驗(yàn)中根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康睦脙x器觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)在BME分析中被認(rèn)為是足夠精確的，或者它們的誤差小到可以忽略。假設(shè)在時(shí)空域中在mh個(gè)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，則產(chǎn)生的硬數(shù)據(jù)：

S ∶ χhard=（χ1，…，χhard）。

（10）

在BME的實(shí)際應(yīng)用中，部分硬數(shù)據(jù)可以涉及2個(gè)方面的用途，一方面是在先驗(yàn)階段通過(guò)對(duì)已有硬數(shù)據(jù)的分析可以得到一些廣義知識(shí)（統(tǒng)計(jì)矩），另一方面是在后驗(yàn)階段估計(jì)后驗(yàn)概率密度分布時(shí)用到[1]。

1.2.2 軟數(shù)據(jù) 從認(rèn)識(shí)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，我們對(duì)某一事物的認(rèn)識(shí)并不完全是靠一些確定的數(shù)據(jù)或是一些確定的事實(shí)，同樣也包括一些不完全定量或定性的知識(shí)，比如專家的觀點(diǎn)、經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)，問(wèn)卷調(diào)查以及有明顯誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)等。這些知識(shí)對(duì)認(rèn)識(shí)事物（制圖或空間估計(jì)）是有用的，但知識(shí)本身卻具有不確定性。在BME分析中可以把這些具有不確定性的數(shù)據(jù)以軟數(shù)據(jù)的形式引入。假設(shè)在有特定數(shù)據(jù)的時(shí)空點(diǎn)χm中除去有硬數(shù)據(jù)的點(diǎn)，其他為軟數(shù)據(jù)，則軟數(shù)據(jù)可以表示為下式：endprint

S ∶ χsoft=（χmh+1，…，χm）。

（11）

為便于軟數(shù)據(jù)參與BME分析，軟數(shù)據(jù)同樣需要用數(shù)學(xué)的形式表示，在貝葉斯最大熵中幾種常用的概率形式表達(dá)的軟數(shù)據(jù)如表1所示。

為軟數(shù)據(jù)發(fā)展專用的數(shù)學(xué)表達(dá)模型在BME應(yīng)用中還是一個(gè)剛出現(xiàn)的研究主題。Lee研究的目標(biāo)是改進(jìn)軟數(shù)據(jù)模型來(lái)更好地描述環(huán)境衛(wèi)生領(lǐng)域相關(guān)數(shù)據(jù)的不確定性，并將此軟數(shù)據(jù)集成到BME制圖的過(guò)程中來(lái)提高實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中的制圖精度[7]。在此研究中共涉及3種不確定性類型，包括測(cè)量誤差，一級(jí)變量、二級(jí)變量的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系誤差，以及觀測(cè)尺度誤差，針對(duì)每種誤差所提出的軟數(shù)據(jù)模型都進(jìn)行模擬和實(shí)際案例研究的檢驗(yàn)，研究結(jié)果表明，所發(fā)展的軟數(shù)據(jù)模型可以很有效地利用到環(huán)境和公共衛(wèi)生領(lǐng)域的研究中，進(jìn)而可以結(jié)合多源數(shù)據(jù)得到所研究變量更豐富的時(shí)空分布信息。

1.3 后驗(yàn)階段

在時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)的認(rèn)知理論框架下，只剩下最后1個(gè)問(wèn)題需要在后驗(yàn)階段解決，那就是如何將先驗(yàn)階段的廣義知識(shí)[或fG（xmap）]和中間階段的特定知識(shí)（S）綜合考慮到制圖或是空間估計(jì)過(guò)程中。即在后驗(yàn)階段，新的概率密度函數(shù)是和知識(shí)總體相關(guān)的，相關(guān)公式：

probK[χk]=p′∈[0，1]。

（16）

式（16）表示在給定總體知識(shí)k=G∪S的情況下χk實(shí)現(xiàn)的概率是p′。有很多方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程，在BME分析中應(yīng)用貝葉斯全概率公式來(lái)實(shí)現(xiàn)：

probK[χk]=A-1probG[χmap（S）]。

（17）

式中：A=probG[χdata（S）]，為標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)。

根據(jù)Christakos的方法[1]，在先驗(yàn)階段γG算子綜合了廣義知識(shí)，那么在后驗(yàn)階段定義γS綜合了先驗(yàn)階段的γG算子和特定知識(shí)（S）：

fK（χk）=A-1γS[γG，S，χmap，pk]。

（18）

式中：k=G∪S。

在所有的軟數(shù)據(jù)形式里，區(qū)間形式的軟數(shù)據(jù)最常用，而且在本研究中也采用了區(qū)間軟數(shù)據(jù)，所以根據(jù)Christakos的研究[1]，區(qū)間軟數(shù)據(jù)形式的γG算子可以表示為下式：

γS[χmap，pk]=Z-1∫Idχsoftexpdχsoftexp{γG[xmap；pmap]}。

（19）

所以結(jié)合式（19），后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以表示為下式：

fK（χk）=（AZ）-1∫Idχsoftexpdχsoftexp[∑Ncα=1μα（pmap）gα（xmap）]。

（20）

式中：I是考慮軟數(shù)據(jù)區(qū)間的并集，比如χsoft=（x4，x5，x6），則I=I4∪I5∪I6。

得到后驗(yàn)概率密度分布，等于知道了所有可能的估計(jì)值，在BME分析中常用2種估計(jì)值模式，一種是BME Mode模式，這種模式下用后驗(yàn)概率密度函數(shù)fK（χk）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)值作為最終估計(jì)值：

χkfK（χk）|χk=χ^k=0。

（21）

另一種模式是BME Mean，在這種估計(jì)模式下，估計(jì)點(diǎn)取值為

xk|K=∫fK（χk）χkdχk。

（22）

可以發(fā)現(xiàn)，這種估計(jì)模式是根據(jù)已有數(shù)據(jù)的非線性運(yùn)算得到的，而且這種估計(jì)保證了均方根誤差最小。

1.4 不確定性表達(dá)

地統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)是在得到估計(jì)結(jié)論的同時(shí)可以對(duì)估計(jì)結(jié)論的不確定性有一個(gè)定量的描述。在一些自然變量的統(tǒng)計(jì)描述或估計(jì)的過(guò)程中，不確定性是一個(gè)不可回避的問(wèn)題，同樣在基于pdf進(jìn)行估計(jì)的BME方法中，對(duì)估計(jì)結(jié)果作出相應(yīng)的精度評(píng)價(jià)也顯得尤為重要。

在BME估計(jì)方法中，任何一點(diǎn)的估計(jì)都是在分析后驗(yàn)pdf的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而估計(jì)的精度也同樣依賴于后驗(yàn)pdf的形狀。對(duì)BME Mode來(lái)說(shuō)，不確定性就是對(duì)概率最大值周圍待估變量值的離散程度的度量。在一般的pdf具有單極值的情況下，BME估計(jì)的精度可以通過(guò)求取每個(gè)估計(jì)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方差（standard deviation）來(lái)評(píng)價(jià)：

σx（pk）=StDev[fK（χk）]。

（23）

式（23）反映空間估計(jì)精度，也可以表達(dá)為

σx（pk）={[X（pk）-χ^（pk）]2}1/2=[∫dχk（χk-χ^k）2fK（χk）]1/2。

（24）

此處χ^k=χ^k，mode=χ^k，mean，這里的期望是關(guān)于后驗(yàn)概率密度函數(shù)的期望，而不是算數(shù)平均值。根據(jù)數(shù)字模擬的結(jié)果表明，BME分析中的σx（pk）可以很出色地估計(jì)實(shí)際的空間估計(jì)精度[1]。在根據(jù)式（24）估計(jì)的不確定性基礎(chǔ)上，可以定義相應(yīng)的置信區(qū)間。例如，對(duì)于一個(gè)高斯（Gauss）分布的概率密度函數(shù)（pdf），在95%的置信水平下X（pk）處在區(qū)間χk±1.96σx（pk）內(nèi)。

空間估計(jì)的精度（誤差）也可以通過(guò)驗(yàn)證數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，往往由于用于空間估計(jì)的樣本數(shù)據(jù)本來(lái)就有限，并且獲取每個(gè)樣本數(shù)據(jù)需要付出很高的代價(jià)，在統(tǒng)計(jì)相關(guān)的分析中通常利用交叉驗(yàn)證（cross-validation）的方法來(lái)檢驗(yàn)空間估計(jì)的精度。交叉驗(yàn)證即在多次空間估計(jì)中依次留出樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)或多個(gè)數(shù)據(jù)不參與空間統(tǒng)計(jì)，然后利用每次不參與統(tǒng)計(jì)的樣本點(diǎn)的觀測(cè)值和估計(jì)值來(lái)獲取空間估計(jì)精度的評(píng)價(jià)。

2 貝葉斯最大熵應(yīng)用進(jìn)展

貝葉斯最大熵在20世紀(jì)90年代初被提出之后，不斷完善，在2000年前后開(kāi)始應(yīng)用在地球科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域中。由于該方法在時(shí)空分析過(guò)程中具有可有效地綜合利用多源數(shù)據(jù)的能力，尤其是對(duì)不確定性數(shù)據(jù)（誤差較大測(cè)量數(shù)據(jù)、專家知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)以及統(tǒng)計(jì)規(guī)律等）的有效利用，這種方法從最初的土壤學(xué)、公共衛(wèi)生等領(lǐng)域被拓展應(yīng)用到地球科學(xué)系統(tǒng)的多個(gè)領(lǐng)域，并和地統(tǒng)計(jì)學(xué)一樣成為統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要分支，近年來(lái)國(guó)內(nèi)也開(kāi)始有多位學(xué)者對(duì)BME進(jìn)行研究。endprint

2.1 貝葉斯最大熵在土壤學(xué)中的應(yīng)用

土壤學(xué)中的地表參數(shù)較多，空間分布變化強(qiáng)烈，僅用觀測(cè)數(shù)據(jù)很難精確估測(cè)區(qū)域土壤變量。在20世紀(jì)80年代，有學(xué)者就將地統(tǒng)計(jì)學(xué)引入土壤學(xué)中進(jìn)行地表參數(shù)的空間制圖，并取得一定的成果。關(guān)于時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，Douaik等在 25 hm2 的區(qū)域進(jìn)行土壤鹽漬度的研究中，共獲取區(qū)域中413個(gè)點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)，其中20個(gè)點(diǎn)位通過(guò)傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)室分析土壤樣本來(lái)確定鹽漬度，精度較高并以此作為硬數(shù)據(jù)[8-9]。其他點(diǎn)通過(guò)傳感器實(shí)地測(cè)量土壤電導(dǎo)率估計(jì)土壤鹽漬度，由于數(shù)據(jù)誤差較大，將其作為軟數(shù)據(jù)，在空間分析的過(guò)程中使用了間隔軟數(shù)據(jù)和概率軟數(shù)據(jù)2種不同軟數(shù)據(jù)的BME方法，同時(shí)采用20個(gè)硬數(shù)據(jù)和將軟數(shù)據(jù)中間值作為硬數(shù)據(jù)的2種普通克里金方法。交叉驗(yàn)證的結(jié)果表明，BME的2種方法均可以精確地估計(jì)區(qū)域土壤鹽漬度，利用軟數(shù)據(jù)硬化的普通克里金方法來(lái)估計(jì)區(qū)域土壤鹽漬度是失敗的。Dimitri通過(guò)數(shù)據(jù)模擬的方法模擬了單變量的土壤黏土含量的空間估計(jì)和多變量的土壤質(zhì)地（沙土、壤土、黏土）的空間估計(jì)，估計(jì)方法是BME和簡(jiǎn)單克里金方法，結(jié)果表明，引入軟數(shù)據(jù)的BME方法要比只用硬數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單克里金方法的估計(jì)結(jié)果更精確，尤其在細(xì)節(jié)方面BME所反映的信息量更多，并且指出隨著總數(shù)據(jù)中軟數(shù)據(jù)的增多，所占比例增大，BME方法所得的空間估計(jì)的可信度更高，充分說(shuō)明了引入軟數(shù)據(jù)的必要性[10]。Gao等提出用融合衛(wèi)星傳感器（advanced spaceborne thermal emission and reflection radiometer，簡(jiǎn)稱ASTER）數(shù)據(jù)反演的地表溫度的BME方法對(duì)稀疏土壤水分觀測(cè)站點(diǎn)進(jìn)行空間估計(jì)研究[11]。在稀疏植被覆蓋條件下，基于地表溫度和土壤水分的反比關(guān)系，將土壤水分與地表溫度建立線性回歸關(guān)系，將地表溫度輔助數(shù)據(jù)表達(dá)為服從t分布的土壤水分軟數(shù)據(jù)，并融合到土壤水分空間估計(jì)中。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)普通克里金、協(xié)克里金、回歸克里金方法相比，BME方法在空間估計(jì)中融入ASTER地表溫度輔助數(shù)據(jù)后，所得到的土壤水分空間分布精度更高。

2.2 在大氣污染研究中的應(yīng)用

近年來(lái)環(huán)境問(wèn)題，特別是大氣污染問(wèn)題越來(lái)越受到社會(huì)公眾的關(guān)注。然而由于大氣中氣體的非平穩(wěn)性、流動(dòng)性，使精確估測(cè)大氣污染物的空間分布變得尤為困難，而B(niǎo)ME可以有效利用不同來(lái)源、不同精度的軟數(shù)據(jù)，使空間制圖成為可能。Christako等利用 BME 方法研究了北卡羅來(lái)納州粒徑在 10 μm 以下的可吸入顆粒物（particulate matter with particle size below 10 micron，簡(jiǎn)稱PM10）的聚集狀態(tài)，表明在站點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，引入軟數(shù)據(jù)（專家經(jīng)驗(yàn)）估計(jì)州內(nèi)區(qū)域PM10的時(shí)空分布會(huì)明顯提高估計(jì)精度，估計(jì)結(jié)果也更有意義，這也說(shuō)明BME較其他空間估計(jì)方法在綜合考慮多源數(shù)據(jù)（確定的和不確定的數(shù)據(jù)）方面的優(yōu)勢(shì)[12]。Christakos等根據(jù)美國(guó)加州范圍內(nèi)11年的站點(diǎn)PM10觀測(cè)數(shù)據(jù)，采用時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分析了加州范圍內(nèi)PM10的分布和變化特點(diǎn)[13]。結(jié)果表明，BME方法在研究PM10時(shí)空特征分析中非常有價(jià)值，并且得到較為精確的PM10空間分布信息。這也是在利用BME進(jìn)行PM10空間分布研究中，首次嘗試將所有站點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)作軟數(shù)據(jù)使用。同時(shí)，這為證明BME方法可以服務(wù)于實(shí)際污染物分布評(píng)價(jià)以及制圖邁出了重要的一步。Yu等在美國(guó)卡羅萊納地區(qū)分析不同時(shí)間尺度PM10和對(duì)流層臭氧時(shí)空分布對(duì)人類慢性疾病的影響研究中，采用2種基于BME的時(shí)間尺度上推策略估計(jì)區(qū)域PM10和臭氧的時(shí)空分布[14]。策略一是先聚合后BME，策略二是先BME后聚合。將結(jié)果與普通克里金法相比表明，加入軟數(shù)據(jù)的BME可以有效地提高污染物時(shí)空估計(jì)的精度。交叉驗(yàn)證的結(jié)果表明，在時(shí)間多尺度的污染物空間分布估計(jì)中，2種策略都可以得到較為合理的估計(jì)結(jié)果。Akita等提出移動(dòng)窗貝葉斯最大熵（moving window Bayesian maximum entropy，簡(jiǎn)稱MWBME）方法對(duì)2003年美國(guó)空氣中細(xì)顆粒物（PM2.5）含量進(jìn)行估計(jì)研究[15]。其中移動(dòng)窗法考慮到PM2.5的空間非平穩(wěn)性，BME方法可以解決在大氣監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中數(shù)據(jù)的不確定性以及數(shù)據(jù)缺失問(wèn)題。在預(yù)測(cè)結(jié)果中，空間分布有著明顯的空間格局，MWBME法對(duì)大氣中非平穩(wěn)狀態(tài)的污染物有著較好的估測(cè)效果。

Chistakos等研究了美國(guó)境內(nèi)對(duì)流層臭氧含量分布，報(bào)道中主要采用時(shí)空統(tǒng)計(jì)方法（BME），以美國(guó)雨云號(hào)衛(wèi)星（Nimbus satellite）大氣污染測(cè)量?jī)x的臭氧觀測(cè)數(shù)據(jù)為硬數(shù)據(jù)，以大氣對(duì)流層頂壓力數(shù)據(jù)估計(jì)的臭氧數(shù)據(jù)為軟數(shù)據(jù)，估計(jì)了大范圍內(nèi)對(duì)流層的臭氧分布，結(jié)果表明，由于該方法中引入了根據(jù)次級(jí)變量估計(jì)的軟數(shù)據(jù)，在一定程度上消除了由硬數(shù)據(jù)的多點(diǎn)采樣本身所帶有的誤差，因此BME方法得到了高分辨率下精度更高、信息量更豐富的臭氧分布數(shù)據(jù)，結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的其他統(tǒng)計(jì)插值方法[16]。Bogaert等對(duì)美國(guó)加州范圍內(nèi)對(duì)流層臭氧的時(shí)空分布作了相關(guān)研究，表明BME方法可以估計(jì)出更加科學(xué)合理、細(xì)節(jié)更加豐富的臭氧季節(jié)變化圖，而且精度要明顯高于美國(guó)國(guó)家環(huán)境保保局（U.S. Environmental Protection Agency，簡(jiǎn)稱EPA）使用的方法[17]。Nazelle等在制定美國(guó)加州環(huán)境污染標(biāo)準(zhǔn)的研究中，利用 BME 方法綜合利用多源對(duì)流層臭氧數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)臭氧的時(shí)空分布，將多尺度空氣質(zhì)量模擬平臺(tái)（multiscale air quality simulation platform，簡(jiǎn)稱MAQSIP）模擬數(shù)據(jù)（軟數(shù)據(jù)）的精度考慮到估計(jì)的過(guò)程中，結(jié)果表明，與僅利用觀測(cè)數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法相比，此方法可以給出加州范圍內(nèi)更高精度的臭氧分布估計(jì)[18]。此外，Adam-Poupart等采用克里金方法、土地利用混合效應(yīng)回歸（land-use regression，簡(jiǎn)稱LUR）法以及整合臭氧實(shí)測(cè)站點(diǎn)、LUR的貝葉斯最大熵（BME-LUR）方法對(duì)加拿大魁北克省的地表臭氧含量進(jìn)行時(shí)空估計(jì)研究。最終發(fā)現(xiàn)，3種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果的R2分別為0.414、0.466、0.653，BME-LUR法較克里金方法和LUR法在時(shí)空上能更好地估測(cè)大氣污染物。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，BME-LUR模型是空間外推的較優(yōu)方法[19]。endprint

2.3 在地面溫度研究中的應(yīng)用

地球是一個(gè)較為恒定的生態(tài)系統(tǒng)，任何一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大的改變，都將影響生物的生存與發(fā)展，而地球的表面溫度與人類的活動(dòng)、生存有著重大的聯(lián)系，故有必要監(jiān)測(cè)地球表面溫度的變化，這對(duì)人類的可持續(xù)發(fā)展有著重要決策作用。Lee等在研究鳳凰城市熱島效應(yīng)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)存在較多缺失或不確定的數(shù)據(jù)時(shí)，利用BME方法可以精確地指示城市熱島效應(yīng)[20]。同時(shí)將結(jié)果與空間簡(jiǎn)單克里金、時(shí)空簡(jiǎn)單克里金方法比較發(fā)現(xiàn)，BME方法均方根誤差（root mean square error，簡(jiǎn)稱RMSE）分別比上述2種方法提高35.28%、12.46%。同時(shí)改變軟數(shù)據(jù)的使用數(shù)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，軟數(shù)據(jù)使用的數(shù)量越多，均方根誤差越低。

綜合多種數(shù)據(jù)源衛(wèi)星產(chǎn)品是提高海洋表面溫度（sea surface temperature，簡(jiǎn)稱SST）精度與空間分辨率的方法之一。Li等在亞印太交匯區(qū)（joining area of Asia and Indian-Pacific oceans，簡(jiǎn)稱AIPO）海域采用BME方法將中分辨率成像光譜儀（moderate-resolution imaging spectroradiometer，簡(jiǎn)稱MODIS）/海洋表面溫度（SST）和AMSR-E（advanced microwave scanning radiometer for EOS）/SST數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，在不同的分辨率下，提出1種將MODIS/SST和AMSR-E/SST結(jié)合在一起的誤差模型?？紤]到AMSR-E的空間分辨率較粗，空間數(shù)值存在一定的不確定性，通過(guò)誤差模型將AMSR-E/SST處理后將其作為軟數(shù)據(jù)，將MODIS/SST數(shù)據(jù)作為硬數(shù)據(jù)，最后通過(guò)BME方法產(chǎn)生8 d的平均值以及空間分辨率為4 km連續(xù)的海洋表面溫度產(chǎn)品數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，均方根誤差為0.653 K，偏差為-0.146 K[21]，這為后續(xù)海洋表面溫度的研究提供了重要參考。

在上述基礎(chǔ)條件下，Tang等采用不同的衛(wèi)星傳感器[MODIS、AVHRR（advanced very high resolution radiometer）、AMSR-E、TMI（the tropical rainfall measuring missions microwave imager）]的每日海洋表面溫度數(shù)據(jù)，結(jié)合誤差模型和時(shí)空協(xié)方差模型，利用BME方法將微波海洋表面溫度數(shù)據(jù)與AVHRR 10年的海洋表面氣象數(shù)據(jù)作為軟數(shù)據(jù)，將紅外海洋表面溫度數(shù)據(jù)作為硬數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)空估計(jì)。最后得到空間分辨率為4 km、時(shí)間分辨率為24 h的海洋溫度產(chǎn)品，并且將結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)均方根誤差為0.72 K，偏差為015 K[22]。

2.4 在其他方面的應(yīng)用

在耗水量的研究中，Lee等利用水量分配數(shù)據(jù)、用戶水費(fèi)賬單、土地利用類型和灌溉定額系數(shù)等數(shù)據(jù)研究了區(qū)域耗水量的分布，結(jié)果表明，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 BME 方法在制圖過(guò)程中融合軟數(shù)據(jù)有效合理的方法，與沒(méi)有利用軟數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)制圖方法相比，此方法明顯提高了制圖的精度，這為進(jìn)一步研究耗水量影響因子提供了有意義的數(shù)據(jù)[23]。

在災(zāi)害預(yù)測(cè)中，李明陽(yáng)等以 2004—2008年紫金山國(guó)家森林公園風(fēng)景林 96 個(gè)松材線蟲(chóng)病疫點(diǎn)定點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)為主要信息源，以與松材線蟲(chóng)危害程度相關(guān)的6個(gè)生態(tài)環(huán)境因子作為輔助信息源，采用BME方法對(duì)松材線蟲(chóng)危害程度進(jìn)行了時(shí)空分析，結(jié)果表明，借助于地理信息系統(tǒng)（geographic information system，簡(jiǎn)稱GIS）平臺(tái)和 BME 方法及少量的定點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以對(duì)松材線蟲(chóng)的危害程度進(jìn)行時(shí)空預(yù)測(cè)，這為森林重大有害生物的入侵預(yù)防與控制工作提供了科學(xué)依據(jù)[24]。

在地下水位的研究中，Bogaert等在 BME 基礎(chǔ)上提出了更一般化的基于貝葉斯數(shù)據(jù)融合的空間估計(jì)方法，并且考慮了融合過(guò)程中數(shù)據(jù)的冗余[25]。Fasbender等將BME方法應(yīng)用到了比利時(shí)代勒河流域地下水位的估計(jì)過(guò)程中，在空間樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)（鉆井）的基礎(chǔ)上有效地融合了流域內(nèi)河流網(wǎng)的數(shù)據(jù)，流域地下水位的估計(jì)精度有了很大的提高[26]。

在多源遙感產(chǎn)品融合的研究中，李愛(ài)華進(jìn)行了基于BME方法的多源定量遙感產(chǎn)品融合研究，研究中嘗試了稀疏站點(diǎn)葉面積指數(shù)（leaf area index，簡(jiǎn)稱LAI）和陸地資源衛(wèi)星專題制圖儀（landsat thematic mapper，簡(jiǎn)稱Landsat TM）反演的LAI融合，以及相同時(shí)空尺度的MODIS LAI 和 CYCLOPES LAI 產(chǎn)品的融合[27]。結(jié)果表明，得益于 BME 方法可以綜合考慮不確定性數(shù)據(jù)進(jìn)行成圖，這種方法為改進(jìn)遙感產(chǎn)品存在的時(shí)空不連續(xù)、精度不夠及質(zhì)量不穩(wěn)定等問(wèn)題提供了一種可行的解決方法。

3 總結(jié)與展望

作為現(xiàn)代時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)重要組成部分的BME方法，經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外研究者多年的開(kāi)發(fā)和實(shí)踐，已被證明是一個(gè)理論上較為成熟、能應(yīng)用到實(shí)際研究中的優(yōu)秀時(shí)空地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，這給地表要素時(shí)空變異性分析和制圖研究注入了新的活力。

在BME方法中，基于信息量和地圖真實(shí)形態(tài)出現(xiàn)的可能性之間存在1個(gè)反比關(guān)系的假設(shè)，利用Shannon信息量原則將廣義知識(shí)表達(dá)為自然要素空間實(shí)現(xiàn)的1個(gè)概率模型，這樣有效利用了統(tǒng)計(jì)規(guī)律（統(tǒng)計(jì)矩）、相關(guān)定律、科學(xué)原理、專家經(jīng)驗(yàn)等知識(shí)；基于貝葉斯理論，將先驗(yàn)階段的廣義知識(shí)和以概率密度分布形式表達(dá)的軟硬數(shù)據(jù)邏輯合理、公式推理明確地融合到一起，保證了目標(biāo)要素在時(shí)空分析及制圖過(guò)程中信息量的豐富。在提出BME概念之后仍被不斷改進(jìn)、完善與延伸。目前在土壤特性空間分布及制圖、大氣污染物（PM2.5，PM10）時(shí)空分布估測(cè)、表面溫度的空間估計(jì)、公共衛(wèi)生等領(lǐng)域已經(jīng)有了較深入的應(yīng)用。

與傳統(tǒng)地統(tǒng)計(jì)學(xué)的空間估計(jì)方法相比，BME方法的特點(diǎn)或優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在以下幾方面：BME法所得到的估計(jì)值是最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)值，如果軟數(shù)據(jù)考慮在估計(jì)的過(guò)程中，BME法的估計(jì)過(guò)程是非線性的，而克里金估計(jì)值是線性估計(jì)過(guò)程中的最優(yōu)估計(jì)，且只能利用硬數(shù)據(jù)；以區(qū)間或是概率密度形式表達(dá)的軟數(shù)據(jù)或其他的物理規(guī)律可以很容易融合到 BME 時(shí)空估計(jì)過(guò)程中，傳統(tǒng)克里金估計(jì)只是BME方法的一種特例；BME 估計(jì)過(guò)程中可以在每個(gè)估計(jì)點(diǎn)得到1個(gè)非高斯分布的概率密度分布（pdf），對(duì)pdf的形狀不會(huì)有任何限制，據(jù)此容易計(jì)算得到多種估計(jì)指標(biāo)（均值、方差、置信區(qū)間等）。而克里金估計(jì)只可以得到估計(jì)方差，BME法能估計(jì)得到每個(gè)待估計(jì)點(diǎn)連續(xù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，根據(jù)應(yīng)用目的可以容易計(jì)算得到相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信息，因?yàn)樵诿總€(gè)待估計(jì)點(diǎn)，后驗(yàn)概率密度函數(shù)只需要計(jì)算1次，這可以極大地減小BME法的計(jì)算量[10]。endprint

當(dāng)然，貝葉斯最大熵方法本身也存在一定的局限性或者亟待解決的問(wèn)題。比如應(yīng)用此方法的前提需要有足夠的先驗(yàn)知識(shí)，并且先驗(yàn)知識(shí)在先驗(yàn)階段需要以一定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式出現(xiàn)。另外，作為時(shí)空統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，對(duì)空間維、時(shí)間維數(shù)據(jù)的尺度統(tǒng)籌顯得尤為重要，但目前時(shí)空變異函數(shù)模型的發(fā)展還沒(méi)有很好地解決此問(wèn)題，時(shí)空變異函數(shù)模型的研究也成為目前該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

隨著遙感技術(shù)的發(fā)展，尤其是定量遙感對(duì)地表要素時(shí)空特征的不斷探索[28-29]，可以彌補(bǔ)地表傳統(tǒng)點(diǎn)觀測(cè)模式數(shù)據(jù)源的不足，為BME方法在地球科學(xué)領(lǐng)域的研究和推廣提供更多時(shí)空軟數(shù)據(jù)源，這使BME方法有更加充足的空間來(lái)發(fā)揮優(yōu)勢(shì)；另外，依托BME法可以綜合利用相關(guān)的多源知識(shí)和信息的優(yōu)勢(shì)，可以基于BME法進(jìn)行地表要素時(shí)空多源數(shù)據(jù)融合以及升降尺度的研究，并且已有相關(guān)研究取得初步進(jìn)展[30]。隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷探索，BME方法在未來(lái)地球科學(xué)領(lǐng)域會(huì)有更廣泛的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1]Christakos G. Modern spatiotemporal geostatistics[M]. New York：Oxford University Press，2000.

[2]Christakos G. A bayesian/maximum-entropy view to the spatial estimation problem[J]. Mathematical Geology，1990，22（7）：763-777.

[3]Christakos G. Some applications of the bayesian，maximum-entropy concept in geostatistics[M]//Maximum entropy and Bayesian methods. Berlin：Springer Netherlands，1991：215-229.

[4]Christakos G. Random field models in earth sciences[M]. San Diego：Academic Press，1992.

[5]Shannon C E. A mathematical theory of communication[J]. Bell System Technical Journal，1948，27（3）：379-423.

[6]Ewing G M. Calculus of variations with applications[M]. New York：W. W. Norton Company，1969，62-65.

[7]Lee S J. Models of soft data in geostatistics and their application in environmental and health mapping[D]. North Carolina：University of North Carolina at Chapel Hill，2005.

[8]Douaik A，van Meirvenne M，Tóth T，et al. Space-time mapping of soil salinity using probabilistic bayesian maximum entropy[J]. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment，2004，18（4）：219-227.

[9]Douaik A，van Meirvenne M，Tóth T. Soil salinity mapping using spatio-temporal kriging and bayesian maximum entropy with interval soft data[J]. Geoderma，2005，128（3）：234-248.

[10]DOr D. Spatial prediction of soil properties，the bayesian maximum entropy approach[D]. Louvain-la-Neuve：Université Catholique De Louvain，2003.

[11]Gao S G，Zhu Z L，Liu S M，et al. Estimating the spatial distribution of soil moisture based on bayesian maximum entropy method with auxiliary data from remote sensing [J]. International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation，2014，32（10）：54-66.

[12]Christakos G，Serre M L. BME analysis of spatiotemporal particulate matter distributions in North Carolina[J]. Atmospheric Environment，2000，34（20）：3393-3406.

[13]Christakos G，Serre M L，Kovitz J L. BME representation of particulate matter distributions in the state of California on the basis of uncertain measurements[J]. Journal of Geophysical Research：Atmospheres，2001，106（D9）：9717-9731.endprint

[14]Yu H L，Chen J C，Christakos G，et al. BME estimation of residential exposure to ambient PM10 and ozone at multiple time scales[J]. Environmental Health Perspectives，2009，117（4）：537-544.

[15]Akita Y，Chen J C，Serre M L. The moving-window Bayesian maximum entropy framework：estimation of PM2.5 yearly average concentration across the contiguous United States[J]. Journal of Exposure Science and Environmental Epidemiology，2012，22（5）：496-501.

[16]Christakos G，Kolovos A，Serre M L，et al. Total ozone mapping by integrating databases from remote sensing instruments and empirical models[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2004，42（5）：991-1008.

[17]Bogaert P，Christakos G，Jerrett M，et al. Spatiotemporal modelling of ozone distribution in the State of California[J]. Atmospheric Environment，2009，43（15）：2471-2480.

[18]Nazelle A，Arunachalam S，Serre M L. Bayesian maximum entropy integration of ozone observations and model predictions：an application for attainment demonstration in North Carolina[J]. Environmental Science and Technology，2010，44（15）：5707-5713.

[19]Adam-Poupart A，Brand A，F(xiàn)ournier M，et al. Spatiotemporal modeling of ozone levels in Quebec （Canada）：a comparison of kriging，land-use regression （LUR），and combined bayesian maximum entropy-LUR approaches[J]. Environmental Health Perspectives，2014，122（9）：970-976.

[20]Lee S J，Balling R，Gober P. Bayesian maximum entropy mapping and the soft data problem in urban climate research[J]. Annals of the Association of American Geographers，2008，98（2）：309-322.

[21]Li A，Bo Y C，Zhu Y X，et al. Blending multi-resolution satellite sea surface temperature （SST） products using bayesian maximum entropy method[J]. Remote Sensing of Environment，2013，135：52-63.

[22]Tang S L，Yang X F，Dong D，et al. Merging daily sea surface temperature data from multiple satellites using a bayesian maximum entropy method[J]. Frontiers of Earth Science，2015，9（4）：722-731.

[23]Lee S J，Wentz E A. Applying bayesian maximum entropy to extrapolating local-scale water consumption in Maricopa County，Arizona[J]. Water Resources Research，2008，44（1）：1-13.

[24]李明陽(yáng)，張曉利，劉 方，等. 基于貝葉斯最大熵模型的紫金山松材線蟲(chóng)危害程度時(shí)空分析[J]. 西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，40（7）：99-105.

[25]Bogaert P，F(xiàn)asbender D. Bayesian data fusion in a spatial prediction context：a general formulation[J]. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment，2007，21（6）：695-709.

[26]Fasbender D，Peeters L，Bogaert P，et al. Bayesian data fusion applied to water table spatial mapping[J]. Water Resources Research，2008，44（12）：1-9..

[27]李愛(ài)華. 基于貝葉斯最大熵方法的多源定量遙感產(chǎn)品融合研究[D]. 北京：北京師范大學(xué)，2011.

[28]弓永利. 基于微波遙感的裸露地表土壤鹽分含量的反演[J].江蘇農(nóng)業(yè)科學(xué)，2015，43（11）：442-444.

[29]湯 斌，王福民，周柳萍，等. 基于地級(jí)市的區(qū)域水稻遙感估產(chǎn)與空間化研究[J].江蘇農(nóng)業(yè)科學(xué)，2015，43（11）：525-528.

[30]高勝國(guó). 融合遙感信息的土壤水分空間估計(jì)及升尺度研究[D]. 北京：北京師范大學(xué)，2014.于姣妲，殷丹陽(yáng)，李 瑩，等. 生物炭對(duì)土壤磷素循環(huán)影響機(jī)制研究進(jìn)展[J]. 江蘇農(nóng)業(yè)科學(xué)，2017，45（18）：17-21.endprint