案例法在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

趙彥勇　劉原

摘 要 本文研究了案例法在“微積分”教學(xué)中應(yīng)用的作用和意義，指出了微積分教學(xué)中案例選擇的四個(gè)要求，以及采用案例法在微積分教學(xué)中實(shí)施的四個(gè)步驟。在微積分的教學(xué)中采用案例教學(xué)法能很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)求知欲，讓學(xué)生在輕松愉悅的環(huán)境中最大限度地獲取知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí)。

關(guān)鍵詞 微積分 案例法 選擇 實(shí)施

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.09.046

Abstract This paper studies the case teaching method in "calculus" teaching function and significance of the application. It points out the case teaching method choose four requirements in calculus teaching and the implementation of four steps in the case method in the calculus teaching. Using case teaching method in the teaching of calculus can be a very good way to mobilize students' learning enthusiasm and the initiative intellectual curiosity. It can make the student relax and pleasant environment to maximize access to knowledge， and train their consciousness of mathematical thinking and mathematics.

Keywords calculus； case teaching method； choice； implementation

0 引言

微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，它是解決變量問題的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。[1]微積分的內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微積分的教學(xué)肩負(fù)著激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、為其它后續(xù)課程打好基礎(chǔ)的重任。在微積分的教學(xué)過程中，課堂教學(xué)尤為重要，教師如何充分地利用課堂時(shí)間，最大限度地激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地傳授知識(shí)取決于教師的上課模式。

在傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，教師扮演著傳授知識(shí)者的角色，教師上課往往以講授為主，教學(xué)方式簡(jiǎn)單，課堂容量大，但是，這種方法無法最大程度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不利于知識(shí)的傳授，學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容也是一知半解。因此，我們?cè)谖⒎e分的教學(xué)中嘗試使用案例教學(xué)法。案例教學(xué)法是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)法（case-based teaching），案例實(shí)際上是在課堂中展現(xiàn)一種教育的兩難情境，沒有明確的解決問題的辦法和思路，教師在課堂中作為引導(dǎo)者積極鼓勵(lì)學(xué)生勇于參與討論，表達(dá)自己的觀點(diǎn)和想法，教師與學(xué)生共同思考找到解決問題的思路和辦法。1920年代，美國(guó)哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)采用案例教學(xué)法教學(xué)，以商業(yè)管理的真實(shí)情境或事件為教學(xué)案例，這種教學(xué)方法能有效地培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與課堂討論的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。實(shí)施之后，頗具成效。直到1980年代，案例教學(xué)法才受到教育界廣泛的認(rèn)同和重視，特別地，1986年在美國(guó)卡內(nèi)基小組提出的《準(zhǔn)備就緒的國(guó)家：二十一世紀(jì)的教師》的報(bào)告書中，特別強(qiáng)調(diào)案例教學(xué)法在師資培育課程中的價(jià)值，并將案例教學(xué)法視為一種十分有效的教學(xué)模式進(jìn)行推廣。1990年代以后國(guó)內(nèi)教育界開始嘗試和探究案例教學(xué)法，至今，案例教學(xué)法在現(xiàn)代教學(xué)中得到了廣泛的認(rèn)可并推從。

1作用

在微積分教學(xué)中應(yīng)用案例法是把典型的實(shí)際問題展示在學(xué)生面前，讓學(xué)生獨(dú)立地去思考、分析并進(jìn)行討論，它主要起到三方面的作用：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性；培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；理論與應(yīng)用相結(jié)合，縮小理論與實(shí)際的距離。實(shí)踐證明，運(yùn)用“案例法”能收到良好的教學(xué)效果。

1.1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

微積分的教學(xué)理論性強(qiáng)、方法復(fù)雜多變，單憑老師上課的講解難免讓學(xué)生覺得枯燥無味，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。而通過案例教學(xué)可以提供實(shí)際案例由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，讓學(xué)生身臨其境主動(dòng)去思考解決問題的辦法。同時(shí)在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生積極大膽地參與討論，發(fā)表自己的看法和思路，在輕松和諧的課堂氛圍中，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，很好地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，教師只是作為引導(dǎo)者參與討論，在必要的時(shí)候?qū)W(xué)生的觀點(diǎn)提出建議。

1.2培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力

在微積分的案例教學(xué)中，學(xué)生需要獨(dú)立參與并對(duì)案例進(jìn)行分析和討論，這就為提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力創(chuàng)造了良好的條件，例如在講授數(shù)列極限時(shí)引入巴菲特的投資分析：巴菲特以價(jià)值投資著稱，收益穩(wěn)定，年平均投資收益率約為24%。假設(shè)他每年收益率為24%，若投入100萬美元，提問學(xué)生，（1） 一年后，資產(chǎn)是多少？（2） 兩年后，資產(chǎn)是多少？（3） n年后，資產(chǎn)是多少？讓學(xué)生獨(dú)立思考后展開討論，這樣會(huì)大大地增強(qiáng)教學(xué)實(shí)效性，加深學(xué)生對(duì)概念的理解和認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)效果。有時(shí)學(xué)生的觀點(diǎn)和想法還會(huì)出于教師的意料之外。

1.3理論與應(yīng)用相結(jié)合，縮小理論與實(shí)際的距離

案例是現(xiàn)實(shí)問題的縮影，將現(xiàn)實(shí)問題帶入課堂，讓學(xué)生感受到實(shí)際的應(yīng)用，微積分不再是復(fù)雜的微分和積分，不再是各種復(fù)雜的符號(hào)和公式，而是解決生活中遇到的實(shí)際問題的工具，我們學(xué)習(xí)微積分的目的不再是去計(jì)算得到具體的答案，而是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)換成應(yīng)用，通過現(xiàn)實(shí)中的典型問題，讓學(xué)生進(jìn)入典型案例情景，設(shè)身處地地去分析問題，為學(xué)生提供一種不用真正身臨其境地深入到實(shí)踐，但卻能處理大量典型實(shí)際問題的機(jī)會(huì)，縮短理論與實(shí)際的距離。endprint

2微積分教學(xué)中案例選擇的要求

在微積分的教學(xué)中選擇案例時(shí)首先要注意選取與微積分有關(guān)的案例，具體要做到以下幾點(diǎn)：

（1）具有明確的目的性。我們?cè)谶x取案例時(shí)是為了解決微積分中的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一定要圍繞這個(gè)知識(shí)點(diǎn)去選取合適的案例，例如上文中提到的，為了引出函數(shù)的極限我們引入巴菲特的投資分析。

（2）具有較強(qiáng)的趣味性。案例教學(xué)法的主要特點(diǎn)就是通過具有趣味性的案例和教學(xué)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過具有趣味性的案例將學(xué)生的思維帶入另一個(gè)場(chǎng)景，而不是面對(duì)枯燥乏味的課堂絞盡腦汁地思考和計(jì)算。所以，我們?cè)诎咐倪x取時(shí)會(huì)選用趣味性較強(qiáng)的案例來吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將知識(shí)融入案例，讓學(xué)生在輕松愉悅的環(huán)境下獲取知識(shí)、開發(fā)潛能。

（3）具有真實(shí)性和實(shí)用性。微積分的學(xué)習(xí)往往比較枯燥乏味，在案例選取時(shí)注重真實(shí)性和實(shí)用性，讓學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問題，很大程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。例如在講授導(dǎo)數(shù)時(shí)可引入變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，曲線的切線斜率，在講授定積分時(shí)可從曲邊梯形面積導(dǎo)入。這樣更具有直觀性、真實(shí)性。學(xué)生既容易接受又容易理解。

（4）具有典型性。所選取的案例應(yīng)該是學(xué)生平時(shí)有所了解但是又了解不深的普遍問題，這樣學(xué)生就比較有興趣去深入鉆研，例如我們?cè)谥v授函數(shù)極限與最值時(shí)通常選取一個(gè)典型案例就是易拉罐設(shè)計(jì)問題。學(xué)生都喝過圓柱形易拉罐飲料，如百事可樂、王老吉等，假設(shè)要設(shè)計(jì)一個(gè)容積固定的圓柱形容器，其中頂面是其他面厚度的三倍，其底面半徑與高之比為多少時(shí)容器所耗材料最少？當(dāng)容器所有面厚度一樣，問題又會(huì)怎樣呢？通過這些典型的案例討論分析，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣更大，主動(dòng)性更強(qiáng)。

3案例教學(xué)法在微積分教學(xué)中的實(shí)施

3.1選擇案例

教師在課前應(yīng)做好充分的準(zhǔn)備，結(jié)合《微積分》課本中重要的知識(shí)點(diǎn)，選取具有趣味性、真實(shí)性、實(shí)用性和典型性的案例在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出問題，讓學(xué)生主動(dòng)思考，互相討論解決問題，從而在教師的引導(dǎo)下理解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。在案例選擇時(shí)首先選擇進(jìn)入課本內(nèi)容之前的案例，從實(shí)際出發(fā)，以問題引導(dǎo)，突出探究；然后選擇進(jìn)入課本時(shí)的案例，在講解完基礎(chǔ)知識(shí)之后，引入適當(dāng)?shù)陌咐?，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決案例中提出的問題，增強(qiáng)學(xué)生的成就感，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.2分析案例

在學(xué)生理解案例所提出的問題的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生如何分析案例，同時(shí)，教師也可以讓學(xué)生獨(dú)立思考之后進(jìn)行分組討論，然后每個(gè)小組各派代表表述本組觀點(diǎn)，期間可以由教師對(duì)各組觀點(diǎn)進(jìn)行指正或者也可以由其他小組發(fā)表不同的意見，最后在討論中大家達(dá)成一致，共同完成對(duì)案例的分析。讓每個(gè)學(xué)生都參與到課堂討論中，主動(dòng)思考，積極表現(xiàn)，在分析案例的同時(shí)開拓思維，增長(zhǎng)求知欲。

3.3解決案例

通過學(xué)生對(duì)案例的充分討論與分析，教師引導(dǎo)學(xué)生如何去解決問題是案例教學(xué)法的關(guān)鍵一步，教師應(yīng)當(dāng)從案例分析中過渡到運(yùn)用理論知識(shí)解決問題。在循循善誘的引導(dǎo)下讓學(xué)生自主思考解決問題的辦法，學(xué)生各抒己見，大家互相討論指正。讓學(xué)生自主歸納出解決問題的思路和方法，建立數(shù)學(xué)模型并求解。最后教師對(duì)學(xué)生的方法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充，使學(xué)生在實(shí)際問題中解決了問題，提高了學(xué)習(xí)積極性并受到了啟發(fā)，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。

3.4案例的小結(jié)與推廣

案例的小結(jié)與推廣是案例教學(xué)法中最后一步，也是重要的一步。在解決某一實(shí)際案例的基礎(chǔ)上，教師可以提出多個(gè)解決此案例的方法讓同學(xué)們進(jìn)行思考與討論。在大家的互動(dòng)中比較各種方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，歸納出這些方法的適用類型和特點(diǎn)。讓學(xué)生在輕松的環(huán)境下更加深刻地理解所學(xué)知識(shí)。最后，教師再列舉出相關(guān)案例讓學(xué)生自己動(dòng)手解決，舉一反三鞏固所學(xué)知識(shí)，同時(shí)也提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

總之，充分利用課堂時(shí)間，讓學(xué)生增長(zhǎng)知識(shí)一直是教師的職責(zé)。在微積分的教學(xué)中采用案例教學(xué)法可以將抽象的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用的需要，將枯燥乏味的數(shù)學(xué)公式變成解決問題的工具，很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)求知欲，讓學(xué)生在輕松愉悅的環(huán)境中最大限度地獲取知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] Thomas G B，Weir M D， Hass J， et al. Thomas' Calculus Early Transcendentals[M].Pearson，2010.endprint