二維完全彈性碰撞的理論研究

周 游 劉 程 涂燦輝 劉 華 鄭才龍

(湖北師范大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院 湖北 黃石 435002)

二維完全彈性碰撞的理論研究

周 游 劉 程 涂燦輝 劉 華 鄭才龍*

(湖北師范大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院 湖北 黃石 435002)

用相關(guān)的物理知識(shí)解決二維碰撞的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)碰撞中更為普遍的規(guī)律.對(duì)于二維完全彈性碰撞問(wèn)題，可以用矢量分解、能量守恒和動(dòng)量守恒解決.

二維彈性碰撞 矢量分解 能量守恒 動(dòng)量守恒 速度

在生活或?qū)W習(xí)中，有許多的碰撞現(xiàn)象，例如桌球之間的碰撞、微觀(guān)粒子之間的轟擊、天體之間的相互撞擊等.這些過(guò)程有明顯的特點(diǎn)：一般發(fā)生在二維平面內(nèi)，相互作用的時(shí)間極短，相互作用力極大，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)瞬間發(fā)生急劇改變，在物理學(xué)中這類(lèi)問(wèn)題叫做碰撞[1～3].

碰撞是生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，也是經(jīng)典物理學(xué)的重點(diǎn)，更是動(dòng)量中的核心內(nèi)容.最初動(dòng)量守恒定律正是為了解決碰撞問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)的.我們?cè)谥袑W(xué)物理中學(xué)習(xí)了對(duì)心碰撞，領(lǐng)悟到動(dòng)量的巨大魅力.

通常所說(shuō)的碰撞包括正碰和斜碰，本次研究較為復(fù)雜且應(yīng)用更廣的斜碰，即二維碰撞.發(fā)生斜碰的兩個(gè)物體光滑，沒(méi)有摩擦，碰后兩物體只有平動(dòng)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，這是完全彈性二維碰撞的條件.如果系統(tǒng)有摩擦，則碰后物體既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)，且有能量損失，屬于普通二維碰撞，此問(wèn)題難以解決[4～6].

關(guān)于二維碰撞問(wèn)題，不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行理論或?qū)嶒?yàn)的研究，如用質(zhì)心系法、矢量三角形、計(jì)算機(jī)程序、碰撞實(shí)驗(yàn)等方法進(jìn)行研究；基于他們的工作，我們用基礎(chǔ)物理學(xué)知識(shí)系統(tǒng)地研究了二維完全彈性碰撞[7，8].本文介紹了用通俗易懂的物理方法解決較為復(fù)雜的問(wèn)題,得到了速度大小和方向的準(zhǔn)確解析解，對(duì)各種碰撞情況進(jìn)行分類(lèi)討論,并通過(guò)作圖輔助說(shuō)明均得到了相應(yīng)的結(jié)論，從而拓展了碰撞研究的廣度和深度.

從簡(jiǎn)單情況出發(fā)，處理兩個(gè)小球的二維完全彈性碰撞.設(shè)質(zhì)量為m1的小球A以初速度v0射向質(zhì)量為m2靜止的小球B，如圖1所示，初速度v0方向和兩球碰撞時(shí)球心連線(xiàn)方向所成的入射夾角為α(0≤α<90°)，發(fā)生彈性碰撞后，求解末速度大小和散射角.

圖1 二維完全彈性碰撞分析圖

1 解決思路

由于兩球碰撞為理想的二維碰撞，故碰撞過(guò)程能量守恒、動(dòng)量守恒.A和B碰撞瞬間如圖1狀態(tài).以?xún)汕蚯蛐倪B線(xiàn)方向?yàn)閤軸，垂直于球心連線(xiàn)且過(guò)A球心的方向?yàn)閥軸；可以設(shè)A的末速度v1沿x軸方向分量為vx，在y軸方向上分量為vy，故與B發(fā)生作用的只有vx，根據(jù)一維碰撞規(guī)律，B碰后末速度方向必然和vx方向共線(xiàn).在任意兩個(gè)正交方向上運(yùn)用分動(dòng)量守恒，并結(jié)合能量守恒和分速度關(guān)系，即可求解末速度.

2 解決過(guò)程

設(shè)A碰后的末速度大小為v1，B碰后的末速度大小為v2，v1在x和y軸方向的分量分別為vx和vy，A碰后v1與碰前v0方向夾角為β，碰后兩球末速度v1和v2之間的夾角為θ，即有角度關(guān) 系α+β=θ.

若引入恢復(fù)系數(shù)

本次研究情形即e=1，可用于求解檢驗(yàn).

由x軸方向分動(dòng)量守恒有

m1v0cosα=m1vx+m2v2

(1)

由y軸方向分動(dòng)量守恒有

m1v0sinα=m1vy

(2)

由系統(tǒng)碰撞前后能量守恒有

(3)

由v1的合、分速度關(guān)系有

(4)

由式(1)～(4)即可求解.

由式(1)得

由式(2)得

vy=v0sinα

將vx和vy代入到式(4)有

化簡(jiǎn)得

化簡(jiǎn)得

因

將v2代入上式有

化簡(jiǎn)得

或

因?yàn)閯?dòng)量在v0方向上守恒，故

m1v0=m1v1cosβ+m2v2cosα

將v1和v2代入上式得

又因?yàn)?/p>

聯(lián)立并將v1和v2代入得

3 分析討論

二維彈性碰撞的兩球末速度大小為

A的末速度v1與v0方向夾角為

兩球末速度方向夾角為

特別地，可以分下列幾類(lèi)情況討論：

(1)當(dāng)兩球質(zhì)量相等時(shí)，即u=1時(shí)，公式可以簡(jiǎn)化為

v1=v0sinαv2=v0cosα

β=90°-αθ=90°

(2)當(dāng)碰前夾角α=0，碰撞前后速度始終共線(xiàn)，變?yōu)橐痪S彈性碰撞，即彈性正碰情形

β=θ=0

(3)當(dāng)m1>m2，兩球末速度夾角為銳角；

當(dāng)m1

當(dāng)m1=m2，兩球末速度夾角為直角.

(4)當(dāng)m1?m2，即u很大時(shí)

v1≈v0v2≈2v0cosα

β≈0θ≈α

當(dāng)m1?m2，即u≈0時(shí)

v1≈v0v2≈0

β≈180°-2αθ≈180°-α

4 圖像解析

(1)v1和v2隨α變化圖像

1)當(dāng)u=0.5時(shí)，v1和v2隨α變化圖像如圖2所示.

圖2 u=0.5時(shí)，v1和v2隨α變化圖像

2)當(dāng)u=1時(shí)，v1和v2隨α變化圖像如圖3所示.

圖3 u=1時(shí)，v1和v2隨α變化圖像

3)當(dāng)u=2時(shí)，v1和v2隨α變化圖像如圖4所示.

圖4 u=2時(shí)，v1和v2隨α變化圖像

小結(jié)：無(wú)論質(zhì)量比如何變化，v1隨α改變而遞增至v0，v1隨α改變而遞減至零.

(2)β和θ隨α變化圖像

1)當(dāng)u=0.1時(shí)，β和θ隨α變化圖像如圖5所示.

圖5 u=0.1時(shí)，β和θ隨α變化圖像

2)當(dāng)u=2時(shí)，β和θ隨α變化圖像如圖6所示.

圖6 u=2時(shí)，β和θ隨α變化圖像

3)當(dāng)u=6時(shí)，β和θ隨α變化圖像如圖7所示.

圖7 u=6時(shí)，β和θ隨α變化圖像

小結(jié)：當(dāng)u≤0.3時(shí)，β和θ隨α變化的圖像接近遞減的直線(xiàn)，θ在兩端點(diǎn)取值為180°和90°；β在兩端取值為180°和0；且u越小，擬合度越高.

當(dāng)u≥6時(shí)，θ隨α變化的圖像接近遞增的直線(xiàn)，且u越大，擬合度越好；而β有極大值，且β在兩端點(diǎn)均為零，u越大β的極大值越小.

鑒于當(dāng)質(zhì)量比u>1時(shí)，在入-散射角圖像中發(fā)現(xiàn)A的散射角度β有極大值，通過(guò)求導(dǎo)，即

得

ucos 2α=1

即β在

處有

在上述圖像中，將質(zhì)量比代入極值公式

u=2α=30.00°βmax=30.00°

u=6α=40.20°βmax=9.59°

5 研究總結(jié)

本文從理論上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)了二維完全彈性碰撞的速度公式，并對(duì)其進(jìn)行深入地分析討論.通過(guò)一維碰撞等特殊情況的驗(yàn)證，以及圖像的直觀(guān)變化規(guī)律，我們對(duì)較為陌生的斜碰有了更為完整的認(rèn)識(shí)和深刻的理解.本文解決了中學(xué)尚未學(xué)習(xí)而大學(xué)忽略討論的斜碰問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了斜碰的力學(xué)規(guī)律，拓展了經(jīng)典力學(xué)研究碰撞的范圍.

1 陳亞蘭.一維對(duì)心完全彈性碰撞的速度分析.河南科技,2014(01):184～184

2 朱曉波,黃奚超,鄒毅.二維碰撞的簡(jiǎn)化計(jì)算及其電腦程序.吉林工業(yè)大學(xué)自然科學(xué),2001(31):91～95

3 曾奇軍,戈靜,徐元國(guó),等.彈性碰撞的圖示分析法.信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,26(3):343～347

4 人民教育出版社.高中物理選3-5.北京：人民教育出版社,2010

5 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)(第3版).北京：高等教育出版社,2012

6 H.Orland,R.Schaeffer.Two-body collisions and time dependent Hartree-Fock theory.Zeitschrift für Physik A:Atoms and Nuclei,1979,290(2):191～204

7 李忠相.處理斜碰問(wèn)題的三種方法.物理通報(bào)，2014(5):35～37

8 劉金銘,陳陽(yáng),陳琪.關(guān)于彈性斜碰前后系統(tǒng)動(dòng)能的討論.湖南中學(xué)物理,2015(2):82～84

TheTheoreticalResearchonTwo-dimensionalPerfectElasticCollision

Zhou You Liu Cheng Tu Canhui Liu Hua Zheng Cailong

(School of Chemistry and Chemical Engineering,HuBei Normal University,Huangshi,Hubei 435002)

The Collision is a common phenomenon in our life,and it is important for classical physics,as well as it is the core content in the momentum.The first law of conservation momentum was found in order to solve the problem of collision.We have learnt the central collision in the high school and comprehended the great charm of momentum.In this article,we use the relevant physical knowledge to solve the two-dimensional collision problem,and find the more general regular in collision.As for the problem of two-dimensional perfect elastic collision,the vector decomposition,energy conservation and momentum conservation can be used to solve it.

two-dimensional elastic collision; vector decomposition; energy conservation;conservation of momentum;speed

2017-03-23)

*指導(dǎo)教師：鄭才龍(1971- ),男，講師，主要從事物理教學(xué)工作.