用GeoGebra呈現(xiàn)理想氣體狀態(tài)方程的三維圖景*

盛寶驥

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇 南京 210003)

用GeoGebra呈現(xiàn)理想氣體狀態(tài)方程的三維圖景*

盛寶驥

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇 南京 210003)

通過GeoGebra軟件繪制了理想氣體狀態(tài)方程的三維立體圖，并在三維圖中分析了教學(xué)中常見的等溫線、等壓線、等容線，為理想氣體狀態(tài)方程提供了另一種教學(xué)視角.

GeoGebra 理想氣體狀態(tài)方程圖像 雙曲拋物面

1 課后反思

人教版教科書高中《物理·選修3-3》第八章“氣體”[1]有較多圖像的理解與應(yīng)用，例如在p-V圖中比較不同溫度的等溫線，同時在p-V圖、V-T圖、p-T圖中表示一定質(zhì)量氣體經(jīng)歷的等壓、等溫、等容的循環(huán)過程.筆者發(fā)現(xiàn)無論是哪一幅圖，都是二維平面圖，而理想氣體狀態(tài)方程有3個狀態(tài)參量，能不能用三維圖像呈現(xiàn)p,V,T之間的關(guān)系呢？下文是筆者圍繞這個教學(xué)反思進行的思考與嘗試.

2 逐步成型

2.1繪圖軟件的選擇

Mathematica,Matlab和Maple是目前主流的科學(xué)計算軟件，均可以繪制方程的三維圖像，但是考慮到這3款軟件專業(yè)性較強，絕大部分中學(xué)教師和學(xué)生不具備相應(yīng)編程基礎(chǔ)，門檻高難度大,通過與數(shù)學(xué)教師的交流，筆者最終選擇了GeoGebra這款軟件，該軟件不僅操作簡單，在PC端和MAC端均有正版免費下載軟件，更適合在中學(xué)教師和學(xué)生中推廣應(yīng)用.

2.2方程的選擇

(1)

圖1 三維坐標與狀態(tài)參量的對應(yīng)關(guān)系

2.3形成三維曲面

打開GeoGebra，在【視圖】中選擇【3D繪圖區(qū)】，將式(1)輸入到軟件下方的文本框中，理想氣體狀態(tài)方程的三維空間曲面就繪制出來了，如圖2所示.

圖2 理想氣體狀態(tài)方程的三維空間曲面

幾何的面是由點組成的,曲面上每一個點的三維坐標對應(yīng)氣體的溫度、壓強、體積，一個點對應(yīng)一個氣體狀態(tài).曲面包含了一定質(zhì)量氣體遵循理想氣體狀態(tài)方程所有可能的狀態(tài).軟件操作者可以點擊右鍵拖動或旋轉(zhuǎn)圖像，這樣就可以從不同角度觀察立體圖像，如圖3所示.

(a)

(b)

在軟件的代數(shù)區(qū)自動顯示了所繪函數(shù)的名稱——雙曲拋物面，雙曲拋物面由于形似馬鞍，又稱馬鞍面(圖4).

圖4 雙曲拋物面與馬鞍面

3 聯(lián)系與拓展應(yīng)用

3.1對比二維平面圖

雖然理想氣體狀態(tài)方程的三維圖像給人眼前一亮的感覺，但是教學(xué)中學(xué)生熟悉的等溫線、等壓線卻看不見了，必須將這些熟悉的線找出來.

圖5 200 K等溫線

通過選擇從熱力學(xué)溫度軸(即y軸)視角觀察，就可以清楚地看到我們熟悉的200 K的等溫線，用相同的方法，筆者繪制了300 K的等溫線，與教學(xué)中溫度高的等溫線在外側(cè)的結(jié)論是一致的(圖6).

圖6 200 K,300 K等溫線對比

筆者用相似的辦法進一步繪制了等壓線和等容線(圖7)，圖像呈現(xiàn)出的規(guī)律與教學(xué)中的相關(guān)結(jié)論也是一致的.

圖7 不同體積等容線對比

3.2循環(huán)變化的立體圖

【原題】已知一定質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)發(fā)生變化，由狀態(tài)1→狀態(tài)2→狀態(tài)3→狀態(tài)1，完成了一個循環(huán)，用V-T坐標系把這一循環(huán)過程表示為如圖8所示．如果改用p-V坐標系或p-T坐標系表示這一循環(huán)，下列哪些圖是正確的?( )

圖8 原題題圖

答案：B,C.

這樣一個循環(huán)過程能不能在三維坐標系中呈現(xiàn)呢？首先筆者對3個狀態(tài)的溫度、體積、壓強賦予具體數(shù)值,如表1所示.

表1 3個狀態(tài)參量的倍率關(guān)系

然后筆者將物理方程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，分別用交點A,B,C表示3個氣體狀態(tài)，這樣這個循環(huán)過程的三維圖像就呈現(xiàn)出來了,如圖9所示.

圖9 循環(huán)變化的三維圖像

這個循環(huán)過程的圖像是由一段雙曲線和兩段直線所組成的立體圖，調(diào)整觀察視角從x軸(溫度軸)角度觀察立體圖，與p-V的關(guān)系是一致的，從另外兩個軸觀察，與p-T，V-T的關(guān)系也是一致的，如圖10所示.

圖10 不同視角下的循環(huán)變化圖像

4 總結(jié)與感悟

筆者通過對課后反思的深度思考，結(jié)合GeoGebra軟件，建立數(shù)學(xué)模型，將理想氣體狀態(tài)方程原本的空間圖像呈現(xiàn)了出來，并且與傳統(tǒng)二維平面圖形進行對比驗證，還拓展到氣體狀態(tài)的循環(huán)變化.

對于今后的教學(xué)而言，教師也可以先呈現(xiàn)三維圖像，然后代入特點條件，逐步演繹出等溫線、等壓線和等容線.教師也可以選擇在單元復(fù)習(xí)的時候利用以上教學(xué)資源，提供一個不同的視角看熟悉的問題.這樣的優(yōu)點是可以將原來繁雜的二維圖像歸納匯總到同一個三維圖像中，起到畫龍點睛的效果，也更符合人教版教材中知識點的編排順序.

1 人民教育出版社，課程教材研究所,物理課程教材開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理·選修3-3.北京：人民教育出版社,2010.23～25

2 Morphett A, Gunn S, Maillardet R. Developing interactiveapplets with GeoGebra: processes, technolo-gies. Proceedings of Elephant Delta ′15[C]. Port Elizabeth, 2015

PresentingtheThree-dimensionalPictureoftheStateEquationofIdealGasUsingGeoGebra

Sheng Baoji

(High School Affiliated To Nanjing Normal University，Nanjing, Jiangsu 210003)

In this paper, the three-dimensional image of the ideal gas state equation is drawn by GeoGebra, and the isotherm、iscxhare and isobars are analyzed in the three-dimensional graph, which provides another teaching perspective for the ideal gas equation.

GeoGebra; ideal gas state equation image; hyperbolic paraboloid

2017-07-27)

**南京市教育規(guī)劃課題第九期個人課題,項目編號：“十三五”個(9)字第OK2900號

盛寶驥(1980- )，男，中教高級，主要從事高中物理教學(xué)和物理實驗研究.