均勻帶電矩形線圈的電勢(shì)和電場(chǎng)計(jì)算

張 馳

(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 吉林 長(zhǎng)春 130012)

均勻帶電矩形線圈的電勢(shì)和電場(chǎng)計(jì)算

張 馳*

(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 吉林 長(zhǎng)春 130012)

利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電勢(shì)疊加原理,得到了均勻帶電矩形線圈空間電勢(shì)分布的表達(dá)式；再根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系,推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈空間電場(chǎng)分布的表達(dá)式.

均勻帶電矩形線圈 電勢(shì) 電場(chǎng)

有限帶電體的電勢(shì)分布和場(chǎng)強(qiáng)分布是電磁學(xué)中的重要內(nèi)容.文獻(xiàn)[1]用一段均勻帶電細(xì)棒的場(chǎng)強(qiáng)和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理研究了均勻帶電正方形線圈的空間電場(chǎng)分布.本文利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電勢(shì)疊加原理[2],得到了均勻帶電矩形線圈的空間電勢(shì)分布,再根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系[2],推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈的空間電場(chǎng)分布.方法簡(jiǎn)單,結(jié)果明確,希望本文可以幫助同學(xué)們更好地理解和掌握點(diǎn)電荷的電勢(shì)、電勢(shì)疊加原理和場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系.

1 電勢(shì)分布

如圖1所示,有一帶電荷量為Q的均勻帶電矩形線圈,電荷線密度為λ,AB邊長(zhǎng)為2a,BC邊長(zhǎng)為2b.建立如圖1所示的三維直角坐標(biāo)系Oxyz,矩形的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),Ox軸平行于AB邊,Oy軸平行于CB邊.取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)參考點(diǎn)，則均勻帶電的AB邊在任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)產(chǎn)生的電勢(shì)為

利用積分公式

得

(1)

同理可得

UBC=

(2)

UCD=

(3)

UDA=

(4)

圖1 均勻帶電線圈的電勢(shì)分布

所以,將式(1)～(4)代入下式中就可得到均勻帶電矩形線圈在任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)產(chǎn)生的電勢(shì),即

UP=UAB+UBC+UCD+UDA

(5)

假設(shè)a=b,x=0,y=0,且有z?a(b),利用

忽略高階無(wú)窮小,由式(1)可知

再利用

并忽略高階無(wú)窮小,可得

所以

此結(jié)果與點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式一致.

2 電場(chǎng)分布

根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系,可得到均勻帶電矩形線圈在任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

EP=-UP=

(6)

其中

由式(1)～(4)可得

(7)

(8)

(9)

(當(dāng)|x|>a時(shí)取“+”,當(dāng)|x|≤a時(shí)取“-”)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(當(dāng)|y|>b時(shí)取“+” ,當(dāng)|y|≤b時(shí)取“-”)

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(7)～(18)代入式(6)就可以得到均勻帶電矩形線圈在任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EP.

當(dāng)x=0,y=0,且z遠(yuǎn)大于a和b時(shí),有

Ex=0Ey=0

同理,當(dāng)z=0,y=0,且x遠(yuǎn)大于a和b時(shí),有

Ez=0Ey=0

當(dāng)x=0,z=0,且y遠(yuǎn)大于a和b時(shí),有

Ex=0Ez=0

這些結(jié)果與點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式一致,說(shuō)明均勻帶電的矩形線圈相對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處的P點(diǎn)來(lái)說(shuō),可以看做一個(gè)點(diǎn)電荷.

3 結(jié)論

綜上所述,本文對(duì)均勻帶電矩形線圈的空間電勢(shì)分布和空間電場(chǎng)分布進(jìn)行了求解.利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理，得到了均勻帶電矩形線圈空間電勢(shì)分布的表達(dá)式；再根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系,推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈空間電場(chǎng)分布的表達(dá)式.當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P到線圈的距離遠(yuǎn)大于線圈本身的尺寸時(shí)，P點(diǎn)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)分別趨近于點(diǎn)電荷的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng).希望本文的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果有助于同學(xué)們更好地理解和掌握點(diǎn)電荷的電勢(shì)、電勢(shì)疊加原理以及場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系.

1 樊雅平,黃生學(xué).均勻帶電正方形線圈的空間電場(chǎng)分布.河池學(xué)院學(xué)報(bào),2009,29(5):29～32

2 費(fèi)恩曼,萊頓,桑茲.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第2卷).上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2013.44～47

CalculatingtheElectricPotentialandElectricFieldofUniformlyChargedRectangularCoil

Zhang Chi

(College of Electronic Science and Engineering,Jilin University,Changchun,Jilin 130012)

Electric potential distribution of a uniformly rectangular charged coil is obtained by using the electric potential formula of point charge and the electric potential superposition principle.Then,electric field distribution of a uniformly rectangular charged coil is also derived by using the relationship between electric field intensity and electric potential gradient.

uniformly rectangular charged coil ; electric potential; electric field

2017-04-04)

張馳(1997- )，男，在讀本科生.