例談運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像的妙用①*

何崇榮

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第三中學(xué) 湖北 武漢 430317)

例談運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像的妙用①*

何崇榮

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第三中學(xué) 湖北 武漢 430317)

舉例介紹利用圖像法巧妙解決一些比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題.

運(yùn)動(dòng)學(xué) 圖像 妙用

圖像法是解決物理問(wèn)題常用的方法，它往往能直觀地反映物理規(guī)律.利用圖像法解題有時(shí)能將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，形成巧解.下面通過(guò)具體例子來(lái)談?wù)勥\(yùn)動(dòng)學(xué)圖像的巧妙應(yīng)用.

1 速率-時(shí)間圖像

【例1】如圖1所示，一個(gè)固定在水平面上的光滑物塊，其左側(cè)面是斜面AB，右側(cè)面是曲面AC,已知AB和AC的長(zhǎng)度相等.兩個(gè)小球p和q同時(shí)從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開(kāi)始下滑，比較它們到達(dá)水平面的先后( )

A．q小球先到 B．p小球先到

C．兩小球同時(shí)到 D．無(wú)法確定

圖1 例1題圖

答案：A.

解析：小球p沿光滑斜面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小球q沿光滑曲面下滑，沿曲面切線方向的加速度不斷減小.根據(jù)機(jī)械能守恒，兩小球到達(dá)水平面的速率相同.于是畫(huà)出兩者運(yùn)動(dòng)的速率-時(shí)間圖像如圖2所示，圖像直觀表明：tqs△BB′O，而s△BB′O>s△AA′O=sp，所以sq>sp，這與AB和AC的長(zhǎng)度相同相矛盾，于是兩者的速率-時(shí)間圖像大概應(yīng)該是如圖2所示.于是正確答案為A.

圖2 速率-時(shí)間圖像1

圖3 速率-時(shí)間圖像2

評(píng)析：要比較兩小球到達(dá)水平面的時(shí)間，可以考慮將兩者到達(dá)水平面的時(shí)間表示出來(lái).但是小球q沿光滑曲面下滑，做一般的曲線運(yùn)動(dòng)，很難表示小球q到達(dá)水平面的時(shí)間.而利用速率-時(shí)間圖像，不用求兩者到達(dá)水平面的時(shí)間表達(dá)式，就能直觀反映兩者所用時(shí)間大小關(guān)系.

2 速度-時(shí)間圖像

【例2】(原創(chuàng)題)機(jī)車啟動(dòng)往往有兩種方式：以恒定功率(即額定功率)啟動(dòng)和以恒定的加速度啟動(dòng)，設(shè)機(jī)車分別按這兩種方式從靜止啟動(dòng)到獲得最大速度所用時(shí)間分別為t1，t2，行駛距離分別是s1，s2，則關(guān)于機(jī)車兩種啟動(dòng)方式所用時(shí)間及行駛距離比較正確的是( )

A.t1>t2B.t1

C.s1s2

答案：B,C.

解析：如圖4所示，是機(jī)車啟動(dòng)過(guò)程的速度-時(shí)間圖像.曲線OBC表示以恒定功率啟動(dòng)，曲線OAD表示以恒定加速度啟動(dòng).設(shè)機(jī)車從靜止啟動(dòng),獲得的最大速度為vm，機(jī)車以恒定的加速度啟動(dòng)，勻加速持續(xù)的時(shí)間為t0，此時(shí)機(jī)車的速度為v1m，機(jī)車的額定功率為Pm，曲線上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的牽引力分別為FA，F(xiàn)B，兩點(diǎn)的加速度分別為aA，aB.

圖4 機(jī)車啟動(dòng)的速度-時(shí)間圖像

在A點(diǎn)有

Pm=FAv1m

在B點(diǎn)有

Pm=FBv1m

于是FA=FB，根據(jù)牛頓第二定律得

aA=aB

所以曲線BC與曲線AD完全相同，所以t1

由于曲線BC與曲線AD完全相同，所以曲線BC與坐標(biāo)軸圍成的面積和曲線AD與坐標(biāo)軸圍成的面積相同.對(duì)于曲線OBC，設(shè)曲線上B點(diǎn)的切線與t軸相交于E點(diǎn)，則OA//BE，于是△BB′E?△AA′O，所以曲線OB與坐標(biāo)軸圍成的面積小于直線OA與坐標(biāo)軸圍成的面積.所以s1

評(píng)析：機(jī)車不管采用哪種方式啟動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都有一階段做的是變加速直線運(yùn)動(dòng)，那么很難定量表示機(jī)車行駛時(shí)間和距離.但利用速度-時(shí)間圖像可直觀反映兩種啟動(dòng)方式中所用時(shí)間的大小關(guān)系以及行駛距離間的大小關(guān)系.

3 位移-時(shí)間圖像

【例3】在地面上以初速度2v0豎直上拋一物體A后，又以初速度v0在同一地點(diǎn)豎直上拋另一個(gè)物體B，若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時(shí)間間隔Δt必須滿足的條件是(不計(jì)空氣阻力)( )

答案：C.

解法1：找出臨界情況

當(dāng)時(shí)間間隔Δt較小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致B已落地，A還在空中，所以最短時(shí)間間隔為B落地時(shí)，A也恰好落回原處相遇，因此

當(dāng)時(shí)間間隔Δt較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)A已落地，B還沒(méi)有拋出，所以最長(zhǎng)時(shí)間間隔為B拋出時(shí)，A也恰好落回原處相遇，因此

所以要使兩物體能在空中相遇，兩物體拋出的時(shí)間間隔Δt必須滿足

解法2：根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)列方程求解

設(shè)B拋出后經(jīng)過(guò)時(shí)間t，兩者在空中相遇.則

然后根據(jù)xA=xB，B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t滿足

解法3：利用位移-時(shí)間圖像求解

兩物體的位移-時(shí)間圖像，如圖5所示，兩條圖線的交點(diǎn)表示A,B相遇時(shí)刻，由圖可直觀看出兩物體拋出的時(shí)間間隔Δt必須滿足

圖5 位移-時(shí)間圖像

拓展：當(dāng)兩物體拋出的時(shí)間間隔Δt必須滿足什么條件時(shí)，B在上升(或下降)階段與A相遇呢？

圖像很直觀地顯示B剛好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)與A相遇這種臨界情況.

設(shè)B剛好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)與A相遇，根據(jù)xA=xB得

解得

于是當(dāng)

時(shí)，B在下降階段與A相遇；當(dāng)

時(shí)，B在上升階段與A相遇.

評(píng)析：第一種解法兩種臨界情況不是那么容易判斷出來(lái);第二種解法利用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)列方程計(jì)算比較麻煩;第三種利用位移-時(shí)間圖像求解就很直觀明了，借助圖像可以很容易理解兩種臨界情況，也能直觀顯示兩物體相遇具體情景.

4 加速度-時(shí)間圖像

【例4】(改編題)如圖6所示，把一重為G的物體,用水平推力F=kt(k為恒量,t為時(shí)間)壓在豎直的足夠高的平整墻上,從t=0開(kāi)始,求物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和最大速度.

解析：分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)物體，根據(jù)牛頓第二定律有

mg-μN(yùn)=ma

N=F=kt

所以

mg-μkt=ma

物體先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度減為零時(shí)

之后正壓力N繼續(xù)增大，則摩擦力繼續(xù)增大，于是物體開(kāi)始減速，減速階段加速度大小

所以第二階段物體做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體速度減為零時(shí)，物體靜止.

圖6 例4題圖

這兩個(gè)階段，物體的加速度關(guān)于t=t1對(duì)稱，如圖7所示，于是全過(guò)程物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

由于物體加速度a與時(shí)間t滿足線性關(guān)系，于是a-t圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積很容易計(jì)算，從而求出物體的最大速度

Δv=Sa-t=vm-0

則

圖7 加速度-時(shí)間圖像

評(píng)析：由于物體做的是變加速直線運(yùn)動(dòng)，高中階段不可能用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解.而物體加速度a與時(shí)間t滿足線性關(guān)系，于是可以利用a-t圖像求解物體運(yùn)動(dòng)的最大速度和時(shí)間.

2017-03-14)

*①《物理通報(bào)》武漢工作室供稿.