以橢圓為例研究圓錐曲線的由來及其解析定義

江西省宜春中學(xué)2018屆高三（22）班 宋 禹

以橢圓為例研究圓錐曲線的由來及其解析定義

江西省宜春中學(xué)2018屆高三（22）班 宋 禹

高中數(shù)學(xué)教材將橢圓、雙曲線、拋物線歸在圓錐曲線章節(jié)中，這在當(dāng)時(shí)給我及許多初學(xué)的同學(xué)帶來了一些疑惑。不管是第一定義、第二定義還是性質(zhì)與判斷，這三種曲線似乎都與圓錐并無聯(lián)系，為什么它們會(huì)被命名為圓錐曲線呢？

為了解開這個(gè)疑惑，筆者查閱資料研究圓錐曲線的發(fā)展歷史。原來，最初這幾種曲線就是用平面切割圓錐得到的，故命名為圓錐曲線。在2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線》中，記載了用不同角度的平面去截一個(gè)二次錐面，得到的交線中就包括橢圓、雙曲線、拋物線及一些退化情形（圓和直線）。而我們現(xiàn)在所熟知的圓錐曲線的定義和性質(zhì)，是在16世紀(jì)以后才由數(shù)學(xué)家們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的，之后對于圓錐曲線的研究更多偏向于解析幾何方向，包括直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中。

然而，為什么用一個(gè)平面截圓錐就能得到橢圓等曲線？這些曲線為什么能滿足解析幾何下的定義？這仍然是困擾許多高中學(xué)生的問題。本文以橢圓為例，從平面幾何和立體幾何的角度證明，用平面截圓錐所得曲線確實(shí)可以滿足橢圓的解析定義。因直接研究平面截圓錐較煩瑣，本文先從證明平面截圓柱所得“圓柱曲線”為橢圓開始說明。

一、平面截圓柱

首先證明用一個(gè)平面截圓柱的側(cè)面所得曲線為橢圓，具體可以簡化為如下模型。

例1 如圖1，平面α截圓柱得到曲線C，求證：曲線C為橢圓。

圖1

分析：令A(yù)'B'＝ 2r，AA'＝ 2h，AB'＝2a，則有r2+h2=a2,證明橢圓可以通過其定義“到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)”來證明，但關(guān)鍵之處就是要確定橢圓的焦點(diǎn)位置，這里可以應(yīng)用先猜后證的思想。圖中可猜想其“長軸”為2a，“短軸”為2r，則得出其焦距為2h，如果在AB上取兩點(diǎn)C、D，使CO＝DO＝h，那C、D可能就是兩焦點(diǎn)，這之后如果能證明曲線上任意一點(diǎn)P，使得PC+PD=2a,問題就解決了。

證明：在線段AB上取C、D兩點(diǎn)，使CO＝DO＝h，做出如圖所示的輔助線，其中PF⊥AB'，P'E⊥A'B'，易得四邊形PP′EF是矩形。

設(shè)P'E＝y(tǒng)，EO'＝x,則x2+y2=r2，

PC2=PF2+FC2=P'E2+（FE-CC'）2+（EO'-C'O'）2，

所以曲線C是以2a為長軸，2r為短軸，2h為焦距的橢圓。

這只是證明的第一步，只證明了所謂的“圓柱曲線”為橢圓。如果能證明平面截圓錐側(cè)面所得曲線在底面的投影是一個(gè)圓，那么運(yùn)用這個(gè)模型就可以直接得出該曲線可以是橢圓的結(jié)論，但投影是不是圓有待證明。

二、先猜后證

例2 如圖2，平面α截圓錐形成曲線C，曲線C在圓錐底面的投影是不是圓？

圖2

思路：同樣是先猜后證的思想，猜想它是個(gè)圓，之后找等量關(guān)系，即其上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等。若能證明其是圓，問題便迎刃而解，若不是圓，用字母表示很難證出，最快的方法就是用特殊值法判斷其有沒有可能是圓。

解：用特殊值法判斷。設(shè)底面圓半徑R=1，圓錐的高H=3，AA'=2h=2，則h=1,取底面圓上任意一點(diǎn)P，連接PO',PO,PO交曲線C于D，PO'交曲線BA'于D'，曲線C的投影是曲線BA'，所以DD′與底面垂直。

這樣就得到了x,y的關(guān)系式，現(xiàn)在只需要將任意一個(gè)符合條件的x的值帶入，求出ED'的值，將其與EA'比較，就可初步判斷其是否可能為圓。

∴D'E≠A'E,所以曲線C在圓錐底面的投影不是圓。

這樣便不能運(yùn)用之前的那個(gè)模型，通過此方法也就無法說明曲線C為橢圓，所以這部分只當(dāng)作先猜后證以及特殊值法的一種運(yùn)用，激發(fā)讀者想到更好的方法。

三、平面截橢圓柱

既然二中的投影不是圓，筆者就自然而然地想到了是橢圓，還是通過一中的方法，首先證明平面截橢圓柱得到的圖形是橢圓。

例3 如圖3，平面α截橢圓柱得到曲線C，求證：曲線C為橢圓。

圖3

分析：類似于一中先猜后證的思想方法，先找出其“焦點(diǎn)”位置令NM'=2a，MM'=2h，MN=2A，則有

設(shè)底面橢圓的半短軸長（即是曲線C的“半短軸”長）為b，曲線C的半焦距為C，則有同樣的道理，只要在曲線C上找一點(diǎn)P，使得兩“焦點(diǎn)”S、T的距離之和PS+PT=2A,即可得證。

解：設(shè)NM'=2a，MM'=2h，MN=2A，底面橢圓的半短軸長為b，則有在M、N上取兩點(diǎn)S、T，使得SO=OT=C（其中

令m=PS+PT,化簡可得：m=2A，所以曲線C為橢圓。

接下來，如果能證明圓錐曲線（橢圓）在底面圓的投影是橢圓，那么運(yùn)用這個(gè)模型就可以解決這個(gè)問題了，這里就不再進(jìn)行深入討論讀者有意可繼續(xù)探究。

四、探究過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論

回顧“一”中的探究過程，筆者發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)現(xiàn)象：

所證橢圓AB的離心率

在三角形BAA'中，sin∠ABA'=仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，該角是平面與圓柱底面所成的二面角，所以可概括為：sinθ=e。（θ為平面截圓柱時(shí)，平面與圓柱底面所成二面角的大小，e為所截的橢圓的離心率）

本文是筆者為解開自己和同學(xué)們關(guān)于圓錐曲線的疑惑所做的研究，證明了橢圓的幾何定義與解析定義的等價(jià)性，也發(fā)現(xiàn)了一些有益的結(jié)論，其中反復(fù)運(yùn)用了先猜后證的思想。猜證思想是數(shù)學(xué)中重要的工具之一，許多偉大的數(shù)學(xué)定理都是科學(xué)家們先有大致的猜測再經(jīng)過嚴(yán)格的證明得到。同樣，在高中數(shù)學(xué)解題中，這也是一種很重要的思想，但是在實(shí)際操作過程中，同學(xué)們往往猜測之后沒有嚴(yán)格證明，或者在證明過程中碰到困難就輕易放棄猜想，如在本文二中發(fā)現(xiàn)平面截圓錐所得曲線的投影不是圓后，就認(rèn)為該曲線不是橢圓。這些問題都是同學(xué)們常犯的問題，希望本文能為大家對于猜證思想的運(yùn)用帶來更深的認(rèn)識，大膽假設(shè)，細(xì)心求證！