雙曲正切跟蹤微分器設(shè)計(jì)及相平面分析

劉延泉， 郭佳穎

(華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003)

雙曲正切跟蹤微分器設(shè)計(jì)及相平面分析

劉延泉， 郭佳穎

(華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003)

針對(duì)離散跟蹤微分器(Han-TD)加速度函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)整定繁瑣的不足，提出了雙曲正切函數(shù)改進(jìn)微分器的加速度函數(shù)。雙曲正切函數(shù)是一種光滑連續(xù)非線性函數(shù)，該函數(shù)在坐標(biāo)零點(diǎn)附近呈線性特性，所以消除震顫效果顯著。通過(guò)使用李雅普諾夫第二定理從理論證明了改進(jìn)跟蹤微分器的全局收斂的穩(wěn)定特性。使用相平面法尋找微分器奇點(diǎn)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，進(jìn)一步指導(dǎo)參數(shù)的整定。通過(guò)MATLAB仿真，比較雙曲正切跟蹤微分器(Tanh-TD)與Han-TD的跟蹤微分性能和濾波特性。仿真結(jié)果表明，雙曲正切跟蹤微分器對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤可以實(shí)現(xiàn)快速無(wú)超調(diào)，濾波性能更優(yōu)，且提取的微分信號(hào)較為理想，具有工程實(shí)用價(jià)值。

雙曲正切函數(shù)； 跟蹤微分器； 李雅普諾夫第二定理； 相平面

0 引言

跟蹤微分器(TD)最早由韓京清等研究學(xué)者于1994年提出，實(shí)現(xiàn)了從含有噪聲的測(cè)量信號(hào)以及不連續(xù)信號(hào)中提取出連續(xù)濾波信號(hào)和微分信號(hào)的功能[1]。由于跟蹤微分器具備良好的信號(hào)濾波和求導(dǎo)特性，其在電動(dòng)機(jī)控制[2]、機(jī)器人[3]、飛行器[4]等控制系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。針對(duì)跟蹤微分器系統(tǒng)，許多學(xué)者對(duì)其加速度函數(shù)進(jìn)行了分析研究，并給出了改進(jìn)方案。文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)滑模算法的分析，提出了將滑模技術(shù)應(yīng)用于微分器中，但由于該控制器中存在切換函數(shù)，系統(tǒng)易出現(xiàn)抖振問(wèn)題且參數(shù)不易整定。文獻(xiàn)[6]針對(duì)離散跟蹤微分器和快速型跟蹤微分器的研究，提出了將非線性的冪指函數(shù)應(yīng)用于微分器，改進(jìn)后的微分器具有較好濾波特性以及良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，但加速度函數(shù)過(guò)于復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]提出高增益微分器，能夠準(zhǔn)確求取時(shí)間導(dǎo)數(shù)，但對(duì)高頻噪聲不敏感且易出現(xiàn)峰值現(xiàn)象。

本文將使用具有光滑非線性特性的雙曲正切函數(shù)改進(jìn)跟蹤微分器的加速度，改進(jìn)后的控制器不但跟蹤速度較快，而且沒(méi)有超調(diào)現(xiàn)象，對(duì)輸入信號(hào)實(shí)現(xiàn)良好的濾波和微分效果。

1 跟蹤微分器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)跟蹤微分器的核心為加速度函數(shù)，加速度函數(shù)的選取決定了跟蹤微分器的性能好壞。目前，跟蹤微分器主要從線性加速度跟蹤微分器和非線性加速度跟蹤微分器2類(lèi)進(jìn)行分析研究[8]。在零點(diǎn)附近，函數(shù)具有線性特性可獲得良好的穩(wěn)態(tài)性能；在遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有符號(hào)函數(shù)特性可具備良好的動(dòng)態(tài)性能。設(shè)計(jì)新的跟蹤微分器可以從函數(shù)特性角度去構(gòu)造選取。

1.1雙曲正切加速度函數(shù)

雙曲正切加速度函數(shù)f(x)=tanh(x)定義如下：

(1)

定義域區(qū)間(-∞，+∞)；

(2)

由式(1)和式(2)可推，雙曲正切函數(shù)是奇函數(shù)。

(3)

由上式(3)可知，f′(x)的值永遠(yuǎn)大于等于1，所以f(x)單調(diào)遞增。

(4)

雙曲正切函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 雙曲正切函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)曲線

從圖1曲線以及導(dǎo)數(shù)極限(4)可知，在原點(diǎn)附近，雙曲正切函數(shù)呈線性特性，在X趨于無(wú)窮大，函數(shù)f(x)為飽和函數(shù)，即雙曲正切是一個(gè)非線性光滑函數(shù)[9]。

1.2微分器結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定性分析

雙曲正切跟蹤微分器結(jié)構(gòu)如式(5)所示：

(5)

式中：v(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)；x1(t)為系統(tǒng)跟蹤信號(hào)；x2(t)為系統(tǒng)跟蹤微分信號(hào)；R,a1,a2,b1,b2為系統(tǒng)調(diào)節(jié)參數(shù)。

定理1：對(duì)于系統(tǒng)

(6)

如果a1,a2,b1,b2均為正數(shù)，則系統(tǒng)在原點(diǎn)(0,0)呈全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定特性。

證明：選取(0,0)領(lǐng)域內(nèi)的Lyapunov函數(shù)

(7)

由于a1,b1為正數(shù)，當(dāng)x1≠0時(shí)，x1與tanh(b1x1)符號(hào)相同，所以x1·(a1(tanh(b1x1)))>0，即

(8)

對(duì)v(x1,x2)的時(shí)間t求導(dǎo)可得：

(9)

(10)

定理2：對(duì)于系統(tǒng)

(11)

如果a1,a2,b1,b2均為正數(shù)，x1(t)→0,x2(t)→0 (t→∞)，則對(duì)任意有屆可積函數(shù)v(t)和任意常數(shù)T>0，式(11)的解x1(t)滿足：

(12)

定理2該定理從理論上闡明了系統(tǒng)在任意時(shí)間常數(shù)T內(nèi)，當(dāng)R趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)跟蹤信號(hào)x1(t)無(wú)限接近系統(tǒng)的輸入信號(hào)v(t)。

2 相平面分析

相平面分析法不僅能夠自動(dòng)精確地繪制控制系統(tǒng)的相平面圖，還能夠快速地分析系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)的影響，從而研究出系統(tǒng)參數(shù)整定規(guī)律。本文主要使用相平面法來(lái)尋找微分器奇點(diǎn)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，指導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)的整定。

(13)

x1=x2=0，所以φ(x1,x2)=0

(14)

因此，可將系統(tǒng)(11)近似為線性系統(tǒng)：

(15)

式(15)的系數(shù)矩陣：

該特征值

(16)

如圖2所示，當(dāng)X取不同值時(shí)，該微分器系統(tǒng)的相軌跡總是沿著同樣的2個(gè)方向平行趨于奇點(diǎn)(0，0)。從圖中還可得出，當(dāng)奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)類(lèi)型時(shí)，系統(tǒng)是直接收斂，且跟蹤微分器系統(tǒng)處于過(guò)度過(guò)程產(chǎn)生的振蕩比較小。

圖2 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)相軌跡圖

3 系統(tǒng)參數(shù)整定

從式(5)可知，系統(tǒng)需要整定的參數(shù)有R,a1,a2,b1,b2。R值越大，系統(tǒng)的跟蹤速度越快，但是信號(hào)微分效果會(huì)變差，即降低了系統(tǒng)的濾波特性。a1和b1參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的跟蹤速度影響作用相似，當(dāng)a1或b1增大，系統(tǒng)的跟蹤速度將變快，同時(shí)降低了系統(tǒng)的濾波性能。a2和b2參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的微分效果影響相似。當(dāng)a2或b2增大，系統(tǒng)的跟蹤速度會(huì)降低，但提升了系統(tǒng)的濾波特性。因此，可以先設(shè)定b1,b2的值，再設(shè)定R值調(diào)節(jié)微分器的跟蹤效果，最后通過(guò)調(diào)節(jié)a1,a2的值來(lái)平衡系統(tǒng)跟蹤和微分的整體效果。

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證雙曲正切跟蹤微分器的改進(jìn)效果，使用MATLAB工具進(jìn)行仿真，將改進(jìn)的跟蹤微分器和文獻(xiàn)[10]提出的快速離散跟蹤微分器進(jìn)行比較，從而分析系統(tǒng)的控制效果。

4.1跟蹤和微分性能

系統(tǒng)輸入信號(hào)選取幅值為1的方波信號(hào)。當(dāng)比較系統(tǒng)的跟蹤性能時(shí)，仿真中雙曲正切跟蹤微分器的參數(shù)為：R=10,a1=4,a2=4,b1=1,b2=1快速離散跟蹤微分器的參數(shù)為：R=50,h=0.01。當(dāng)比較系統(tǒng)的微分性能時(shí)，快速離散跟蹤微分器R值改為100。微分性能相似比較跟蹤信號(hào)曲線如圖3所示，跟蹤性能相似比較微分信號(hào)曲線如圖4所示。

圖3 微分性能相似比較跟蹤信號(hào)曲線

圖4 跟蹤性能相似比較微分信號(hào)曲線

從圖3可以看出，當(dāng)系統(tǒng)微分性能比較相似的時(shí)候(指此時(shí)達(dá)到相同峰值)，2種跟蹤微分器都能較快地跟蹤輸入的方波信號(hào)，但雙曲正切跟蹤微分器的響應(yīng)速度優(yōu)于快速離散跟蹤微分器，即跟蹤效果更優(yōu)，且二者均無(wú)超調(diào)現(xiàn)象。從圖4可以看出，當(dāng)系統(tǒng)跟蹤效果相似的時(shí)候(指此時(shí)跟蹤曲線重合)，雙曲正切跟蹤微分器的微分信號(hào)曲線峰值低于快速跟蹤微分器，且雙曲正切跟蹤微分器輸出的微分信號(hào)呈鐘形曲線，Han-TD輸出的微分信號(hào)呈三角形曲線，可見(jiàn)Tanh-TD的微分性能更好。

4.2濾波性能

在幅值為1的方波信號(hào)中加入方差為0.05的隨機(jī)噪聲信號(hào)，觀察雙曲正切跟蹤微分器的濾波性能，濾波信號(hào)曲線如圖5所示。

圖5 濾波信號(hào)曲線

圖5的上半幅為2種跟蹤微分器對(duì)噪聲污染的方波信號(hào)的跟蹤曲線，其中，輸入的噪聲信號(hào)均值為0。從圖中可以看出，雙曲正切跟蹤微分器能較好地從被噪聲污染的方波信號(hào)中提取出原信號(hào)。圖5的下半幅為2種跟蹤微分器對(duì)噪聲污染的方波信號(hào)的微分信號(hào)曲線，從圖中可知，Han-TD對(duì)噪聲微分作用比較強(qiáng)，Tanh-TD能較好地避免對(duì)噪聲信號(hào)的放大作用?？梢?jiàn)，相對(duì)于快速離散跟蹤微分器(Han-TD)，雙曲正切跟蹤微分器能更好地過(guò)濾噪聲信號(hào)，輸出的微分信號(hào)也相對(duì)較好，即Tanh-TD濾波性能較好。

5 結(jié)論

針對(duì)目前經(jīng)常使用的快速離散跟蹤微分器的不足，設(shè)計(jì)了雙曲正切跟蹤微分器，雙曲正切加速度函數(shù)形式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，調(diào)節(jié)參數(shù)方便，具備良好的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。通過(guò)理論證明了改進(jìn)的跟蹤微分器擁有全局收斂的穩(wěn)定特性，通過(guò)參數(shù)調(diào)整保障了系統(tǒng)奇點(diǎn)類(lèi)型為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，雙曲正切跟蹤微分器比快速離散跟蹤微分器具有更強(qiáng)的跟蹤性能和微分效果以及更好的濾波特性，具有工程實(shí)用價(jià)值。

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Design and Phase Plane Analysis of a Hyperbolic Tangent Tracking Differentiator

LIU Yanquan， GUO Jiaying

(School of Control and Computer Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

According to the deficiencies of the discrete tracking differentiator (Han-TD) acceleration function, such as complex structure and parameter setting, an acceleration function of a hyperbolic tangent function improvement differentiator is proposed. The hyperbolic tangent function is a smooth continuous nonlinear function, which is linear in the vicinity of coordinates 0, so the effect of eliminating the tremor is remarkable. By using Lyapunov’s second theorem, the stability of the global convergence of the improved tracking differentiator is proved theoretically. The stability node of the singularity of the differential device is found by using phase plane method, and the parameter tuning is further guided. The tracking differential performance and filtering characteristics obtained by hyperbolic tangent tracking differentiator (Tanh-TD) and Han-TD respectively are compared by MATLB simulation. The simulation results show that the hyperbolic tangent tracking differentiator can realize the fast non-overshoot with better filtering performance, and the differential signal of extracting is ideal, which has the practical value for engineering.

hyperbolic tangent function； tracking differentiator； Lyapunov’s second theorem； phase plane

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2017.10.013

TM273

A

1672-0792(2017)10-0074-05

2017-05-02。

劉延泉(1963-)，男，副教授，主要研究方向?yàn)镻LC、DCS及其應(yīng)用、協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)優(yōu)化等方面。郭佳穎(1992-)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。