基于Lyapunov函數(shù)的永磁同步電機速度控制器設(shè)計*

王 杰, 謝 源, 肖立健, 金鵬飛

(上海電機學院 電氣學院,上海 201306)

基于Lyapunov函數(shù)的永磁同步電機速度控制器設(shè)計*

王 杰, 謝 源, 肖立健, 金鵬飛

(上海電機學院 電氣學院,上海 201306)

傳統(tǒng)的PI 速度控制器具有速度超調(diào)、動態(tài)時間長、跟蹤精度低、抗負載轉(zhuǎn)矩擾動能力和恢復能力差等缺點。提出了利用永磁同步電機(PMSM)的運動方程和轉(zhuǎn)矩方程推導出控制系統(tǒng)q軸電流給定量，基于Lyapunov穩(wěn)定性條件設(shè)計出的一種PMSM速度控制器。相比于傳統(tǒng)的PI速度控制器，該控制器沒有速度超調(diào)量、動態(tài)時間短、跟蹤精度高，抗負載擾動能力和恢復能力有一定的提高。利用 MATLAB/Simulink仿真軟件，搭建控制系統(tǒng)模型并進行仿真分析。仿真驗證了提出的PMSM速度控制器的有效性，獲得了很好的速度控制性能。

永磁同步電機；速度控制器；Lyapunov函數(shù)

0 引 言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM) 相對異步電機具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、轉(zhuǎn)動慣量小、高效率和控制性能好等優(yōu)點，大量應用于工業(yè)生產(chǎn)、日常生活、航空航天、軍事設(shè)施等領(lǐng)域，具有非常誘人的前景。PMSM更加適用于高精度的伺服控制系統(tǒng)。這些領(lǐng)域?qū)MSM的控制系統(tǒng)有很高的要求，因此研究PMSM的控制系統(tǒng)具有重要的意義。

PMSM的控制系統(tǒng)存在模型不精確、參數(shù)時變、負載擾動、電機本身的非線性、強耦合等特性，因此對相應的控制策略有很高的要求。文獻[1-3]指出，傳統(tǒng)的PI控制算法，由于具有速度超調(diào)、動態(tài)時間長、跟蹤精度低和抗負載轉(zhuǎn)矩擾動恢復能力差等缺點，并不能很好地滿足某些控制領(lǐng)域控制要求高的需求。隨著現(xiàn)代控制理論和智能控制算法的不斷深入研究，一些先進的控制策略已經(jīng)用于PMSM的速度控制，并取得了不錯的效果，但也有一些缺點。例如文獻[4-7]提出的自適應控制，通過不斷的改變參數(shù)增益使控制性能更好，但需要實時計算，計算量大。文獻[8-10]中的滑模變結(jié)構(gòu)控制，具有很強的魯棒性，但抖振問題難以解決。文獻[11-13]提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，能夠精確地控制速度，控制性能優(yōu)越，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算量大，需要不斷地學習和訓練。還有文獻[14-17]中提到的模糊控制，由于模糊庫難以準確建立，控制效果有待驗證。以上這些控制策略從不同方面提高了PMSM速度的控制精度，在一定程度上滿足了控制系統(tǒng)的實際要求，但上述的控制策略對系統(tǒng)模型的要求相對較高、算法復雜，有些控制策略存在著積分直流偏置等缺點，影響了其控制性能。同時還需要高性能的微型處理器才能滿足伺服控制系統(tǒng)實時性的要求，增加了系統(tǒng)的設(shè)計成本。

本文提出了一種基于Lyapunov函數(shù)的PMSM速度控制器。它是利用PMSM的運動方程和轉(zhuǎn)矩方程推導出控制系統(tǒng)q軸電流給定量，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性條件，設(shè)計的一種速度控制器。相比于傳統(tǒng)的PI速度控制器，該控制器沒有超調(diào)量、動態(tài)時間短、跟蹤精度高，抗負載擾動能力和恢復能力有明顯的提高。

1 PMSM的數(shù)學模型及控制策略

以表貼式永磁同步電機(Surface Permanent Magnet Synchronous Motor，SPMSM)為研究對象(直軸和交軸電感相等，即Ld=Lq=Ls)，采用文獻[13]中的PMSM的dq軸數(shù)學模型滿足以下條件：(1)忽略電動機鐵心飽和；(2)不計磁滯和渦流損耗；(3)轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組，永磁體也沒有阻尼作用；(4)繞組中感應電動勢是正弦波。

PMSM的dq軸數(shù)學模型如下。

定子電壓方程：

定子磁鏈方程：

將式(2)代入到式(1)，可得定子電壓方程：

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

式(4)是針對內(nèi)置式三相PMSM建立的數(shù)學模型；對于表貼式三相的SPMSM而言，定子電感滿足Ld=Lq=Ls。因此表貼式三相的SPMSM電磁轉(zhuǎn)矩方程：

機械運動方程：

式中:ud、uq——定子電壓的d、q軸分量；

id、iq——定子電流的d、q軸分量；

R——定子的電阻；

φd、φq——定子磁鏈的d、q軸分量；

ωe——電角速度；

ωm——機械角速度；

Ld、Lq——定子d、q電感分量；

Ls——定子電感；

φf——永磁體磁鏈；

p——極對數(shù)；

J——轉(zhuǎn)動慣量；

Te——電磁轉(zhuǎn)矩；

TL——負載轉(zhuǎn)矩；

B——阻力系數(shù)。

采用文獻[18-20]提出的id=0的控制策略，在id=0控制中，定子電流中只有交軸分量，直軸電流由于給定值為0使之維持在0附近，相當于直軸繞組開路。定子的磁動勢在空間上就與永磁體的磁場正交，PMSM相當于直流電機。因此，只需要控制交軸轉(zhuǎn)矩電流就可以控制其輸出轉(zhuǎn)矩和速度。這種控制方法具有控制系統(tǒng)簡單、控制靈活、轉(zhuǎn)矩性能好等特點，而且調(diào)速范圍比較寬，在要求具有高性能、寬調(diào)速范圍的應用場合得到很好的應用，尤其在數(shù)控機床及機器人等領(lǐng)域得到了廣泛應用。

2 傳統(tǒng)PI速度控制器

2.1PI速度控制器分析

由文獻[21]知，根據(jù)圖1所示，假設(shè)實際電流實時完全的跟隨給定電流，則Gi(s)=1。

圖1 id=0控制系統(tǒng)框圖(PI控制器)

由圖1可以得到傳統(tǒng)PI速度控制系統(tǒng)的兩個傳遞函數(shù):

由式(7)、式(8)可知，由于GT(s)、Gω(s)不能獨立設(shè)計，負載轉(zhuǎn)矩變化時，速度必然存在波動。從式(8)明顯能看到，控制器在控制電機速度時，由于傳遞函數(shù)分子中存在較大的微分項，當速度為給定的階躍信號時，則會存在較大的速度超調(diào)和q軸沖擊電流。這也是傳統(tǒng)PI控制器固有的缺點。

2.2基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器設(shè)計

PMSM調(diào)速系統(tǒng)的主要作用是實際速度實時跟蹤給定速度，同時當轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變時能快速的穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩并恢復到給定速度，所以其控制目標主要是速度跟蹤，具體設(shè)計如下。

定義跟蹤誤差為

選擇e為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，構(gòu)成與e相關(guān)的子系統(tǒng)。其子系統(tǒng)方程為

為了使系統(tǒng)速度跟蹤誤差趨向于零，對于子系統(tǒng)式(10)，構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)如下：

對式(11)進行求導得

將式(5)代入到式(12)中得

從式(14)可以求出系統(tǒng)q軸電流給定值:

根據(jù)式(15)便可以設(shè)計速度控制器。該速度控制器具有計算簡單，收斂速度快，無超調(diào)和跟蹤精度高等優(yōu)點。圖2是該速度控制器仿真內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖。通過該速度控制器能夠很好地調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速。

圖2 基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器仿真模塊

3 系統(tǒng)仿真與分析

采用id=0的矢量控制策略，速度控制器采用基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器，電流控制器是傳統(tǒng)PI控制器，選取電機為MATLAB/Simulink中自帶的PMSM。其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖3，電機參數(shù)如表1所示。

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)控制框圖

參數(shù)名稱參數(shù)值定子電阻R/Ω0.331定子電感L/H0.0021永磁體磁通φf/Wb0.3537轉(zhuǎn)動慣量J/(kg·m2)0.0008粘滯摩擦因數(shù)B0.001極對數(shù)p4

為了驗證該速度控制器的有效性和優(yōu)越性，本文在MATLAB/Simulink軟件環(huán)境下搭建了系統(tǒng)仿真模型，設(shè)置速度n=1 000 r/min，仿真時間0.2 s。分別在傳統(tǒng)的PI速度控制器和本文設(shè)計的速度控制器系統(tǒng)下進行仿真，仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 傳統(tǒng)PI速度控制器的波形

圖5 基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器的波形

對比圖4和圖5，明顯可以看到傳統(tǒng)PI速度控制器約有2%的超調(diào)量，而基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器沒有超調(diào)量。這對于整個電機硬件的要求就會適當降低，減少電機硬件的損壞。在圖中可以看出，它們的動態(tài)響應時間也是不相同的，圖4中傳統(tǒng)的PI控制，動態(tài)響應時間約0.017 s，之后系統(tǒng)便處于穩(wěn)定狀態(tài)。圖5中系統(tǒng)動態(tài)響應時間約為0.01 s，響應時間大約縮短了70%，說明該速度控制器能有效的縮短動態(tài)響應時間。

為了驗證兩個速度控制器的跟蹤精度、抗負載擾動能力和負載擾動后的恢復能力，做如下試驗：設(shè)置n=1 000 r/min，電機在初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，0.1 s后負載轉(zhuǎn)矩為2 N·m。仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 傳統(tǒng)PI控制器負載擾動波形

圖7 基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器負載擾動波形

轉(zhuǎn)速跟蹤精度方面分析，從圖6可知，傳統(tǒng)的PI速度控制器作用下的系統(tǒng)初始速度穩(wěn)定在998.7 r/min，與給定速度1 000 r/min的誤差是1.3 r/min，誤差率0.13%；當t=0.1 s時負載轉(zhuǎn)矩突變后，系統(tǒng)速度穩(wěn)定在998.2 r/min，速度跟蹤誤差是1.8 r/min，誤差率0.18%。從圖7可知，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器作用下的系統(tǒng)初始速度穩(wěn)定在999.8 r/min，與給定速度1 000 r/min的誤差是0.2 r/min，誤差率0.02%；當t=0.1 s負載轉(zhuǎn)矩突變時，系統(tǒng)速度依然穩(wěn)定在999.8 r/min，誤差率依然是0.02%?？梢娫谒俣雀櫨确矫?，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器有很好的效果。

抗負載擾動能力和負載擾動后的恢復能力方面分析，傳統(tǒng)PI速度控制器因有積分器的存在，故對負載的擾動有較好的效果。但從圖6可知，PI速度控制器的初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m時，速度穩(wěn)定值約為998.7 r/min；當0.1 s時負載突加至2 N·m時，速度波動后，穩(wěn)定在約998.2 r/min，可見，負載擾動后傳統(tǒng)PI控制器不能恢復到原來的穩(wěn)定值附近。由圖7可知，相對于圖6抗負載擾動上稍差一些，但從系統(tǒng)擾動后恢復能力看，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器具有明顯的優(yōu)勢，從圖7可知，當初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m時，速度穩(wěn)定值約在999.8 r/min；當0.1 s負載突加至2 N·m時，系統(tǒng)穩(wěn)定后速度依然穩(wěn)定在約999.8 r/min，可見該速度控制器的恢復能力較強，不會出現(xiàn)傳統(tǒng)PI速度控制器因負載擾動而出現(xiàn)速度斷層的現(xiàn)象。綜上分析可知，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器相比于傳統(tǒng)的PI控制器在速度跟蹤精度和負載擾動恢復能力方面具有較為明顯的優(yōu)勢。

由于基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器的控制性能優(yōu)越、控制精度高，所以在負載轉(zhuǎn)矩突變時刻的轉(zhuǎn)矩波動也有明顯的減少。為了驗證這個觀點，做如下仿真：使用上個仿真試驗的數(shù)據(jù)，n=1 000 r/min，電機在初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，0.1 s后負載轉(zhuǎn)矩為2 N·m，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 傳統(tǒng)PI速度控制器控制下的轉(zhuǎn)矩

圖9 基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器下的轉(zhuǎn)矩

圖8中顯示電機在初始起動過程中轉(zhuǎn)矩脈動很大，在t=0.1 s負載突變時也出現(xiàn)了較大的脈動。相比較于圖9，在電機初始起動過程中轉(zhuǎn)矩脈動很小，同時在t=0.1 s負載突變時幾乎沒有脈動，響應平穩(wěn)。由此可知，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器對于負載轉(zhuǎn)矩突變帶來的轉(zhuǎn)矩脈動能夠起到很好的抑制作用。

4 結(jié) 語

基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器無超調(diào)量、動態(tài)時間短、速度跟蹤精度較高、抗負載突變恢復能力強，同時，對于電磁轉(zhuǎn)矩有很好的優(yōu)化能力，能夠很好地抑制在起動和負載轉(zhuǎn)矩突變過程中帶來的轉(zhuǎn)矩脈動的影響。

仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的PI速度控制器，基于Lyapunov函數(shù)的速度控制器使系統(tǒng)動態(tài)響應時間從0.017 s縮短到0.01 s，提高了70%；速度跟蹤誤差從1.3 r/min縮小到0.2 r/min，提高了約6倍，速度跟蹤精度有了很大的提高。仿真試驗表明該速度控制器具有很好的抗負載轉(zhuǎn)矩擾動恢復能力，能很好地恢復到之前的速度；同時，能夠優(yōu)化電磁轉(zhuǎn)矩，對于因負載轉(zhuǎn)矩突變引起的轉(zhuǎn)矩脈動有很好的抑制效果。

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DesignofPermanentMagnetSynchronousMotorSpeedControllerBasedonLyapunovFunction*

WANGJie,XIEYuan,XIAOLijian,JINPengfei

(College of Electrical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

The traditional PI speed controller of has the disadvantages of speed overshoot, long dynamic time, low tracking precision, poor ability of load torque disturbance and recovery. A speed controller was proposed. It was based on the motion equation and the torque equation of the permanent magnet synchronous motor to derive theqaxis current of the control system. A speed controller of permanent magnet synchronous motor was designed according to the Lyapunov stability condition. Compared with the traditional PI speed controller, the controller had no speed overshoot, short dynamic time and high tracking precision, and improved ability of load torque disturbance and recovery. By using MATLAB/Simulink simulation software, the control system model was built and the simulation analysis was carried out. Simulation results showed that the speed controller of PMSM was effective, and it could get a good speed control performance.

permanentmagnetsynchronousmotor(PMSM);speedcontroller;Lyapunovfunction

國家自然科學基金項目(61374136,11304200);上海市自然科學基金項目(14ZR1417200)

王 杰(1990—)男，碩士研究生，研究方向為電機驅(qū)動與控制。

TM 301.2

A

1673-6540(2017)10- 0030- 06

2017 -03 -06