待定系數(shù)法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孫紅玲

摘 要：待定系數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的方法之一，應(yīng)用較為廣泛。本文簡(jiǎn)單介紹了待定系數(shù)法的概念，通過實(shí)例分析總結(jié)出了解題步驟，有利于學(xué)生較快的理解、掌握。

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法；函數(shù)；數(shù)列；曲線方程；向量

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)中學(xué)生而言要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力。

高考試題主要考查的數(shù)學(xué)方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等。其中待定系數(shù)法是指要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f（x）=g（x）的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f（a）=g（a）；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

筆者從多年在一線的教學(xué)體會(huì)中對(duì)待定系數(shù)法的主要應(yīng)用歸納舉例如下：

一、求解函數(shù)式

例1：已知f（x）是二次函數(shù)且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）的解析式。分析：首先用字母設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數(shù)，寫出函數(shù)解析式.

解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=2，得c=2

f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）-ax2-bx=x-1

即2ax+a+b=x-1 故有a= b=﹣

所以f（x）= x2- x+2

注：在求函數(shù)解析式時(shí)，如果知道函數(shù)的類型，就可先設(shè)出函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)，得到函數(shù)解析式。

二、求函數(shù)的最值

例2：有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？分析：實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。

解：依題意矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為（30-2x）cm，底邊寬為（14-2x）cm，高為xcm。

∴盒子容積V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x，

顯然：15-x>0，7-x>0，x>0。

設(shè)V= （15a-ax）（7b-bx）x （a>0，b>0）

要使用均值不等式，則﹣a-b+1=015a-ax=7b-bx=x

解得：a= ， b= ， x=3。

從而V= （ - ）（ - x）x≤ （ ）3= ×27=576。

所以當(dāng)x=3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。

三、求數(shù)列通項(xiàng)公式

例3：已知數(shù)列an中，a1=1，an=2an-1+1（n≧2，n∈N）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。分析：利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，首先把某些已知條件轉(zhuǎn)化成我們熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)列的形式，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，用字母表示，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，解出未知數(shù)，即可得結(jié)果。

解：因?yàn)閍n=2an-1+1，可設(shè)an+λ=2（an-1+λ），

解之λ=1， 故an+1=2（an-1+1）

令bn=an+1，則bn=2bn-1，因此bn是等比數(shù)列，公比為2，b1=a1+1=2

所以bn=2×2n-1=2n，即有an+1=2n，an=2n-1

注：求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多變，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察，分析，推理能力要求較高。

四、向量中的共線問題

例4：若向量 ， 是不共線的兩向量，且 =λ1 + ， = +λ2 （λ1，λ2∈R），則A，B，C三點(diǎn)共線的條件是 __。分析：用待定系數(shù)法解決這種向量問題，可以先根據(jù)向量的關(guān)系，設(shè)出待定的未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程組，解方程組，求待定的未知數(shù)，然后就可求的題目所要求解的答案.

解：求A，B，C三點(diǎn)共線的條件即為求向量 和向量 的條件，則根據(jù)向量共線的條件可知，存在μ（μ∈R且μ≠0），使 =μ ，即λ1 + =μ（ +λ2 ）.

由向量 和 不共線，則根據(jù) ， 前的系數(shù)相等可列出方程組λ1=μ1=μλ2

則可解得μ=λ1= ，故可得到λ1λ2=1.

評(píng)析：這類題型總的來說是根據(jù)向量的相等來建立等式的，從而得出待定的系數(shù)，解出所求的答案.

通過以上幾個(gè)實(shí)例來看，使用待定系數(shù)法的關(guān)鍵在于如何列出一組含待定系數(shù)的方程，其主要應(yīng)從以下幾方面著手分析：利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程；由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；利用定義本身的屬性列方程；利用幾何條件列方程。它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

當(dāng)然，待定系數(shù)法在中學(xué)數(shù)學(xué)中不僅僅限于以上幾種用法，在其他方面還有較為廣泛的應(yīng)用。所以，要用好它并不是一朝一夕的事，但平時(shí)只要善于總結(jié)，注重積累，就不難掌握這種非常重要的數(shù)學(xué)方法，從而為我們解決此類問題帶來幫助。endprint