拉格朗日中值定理的應(yīng)用實例

陳少云

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，四川 德陽 618000)

拉格朗日中值定理的應(yīng)用實例

陳少云

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，四川 德陽 618000)

簡要介紹了拉格朗日中值定理的內(nèi)容、幾何意義和推論，通過大量例子闡明如何應(yīng)用拉格朗日中值定理證明等式和不等式．

拉格朗日中值定理；推論；等式；不等式

0 引言

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的許多判定定理由它證明．拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形．因此，它是微積分教學(xué)中的重要內(nèi)容，但其應(yīng)用也是學(xué)習(xí)者的難點，下面通過展示大量例子，希望能較全面地概括其應(yīng)用，給教學(xué)雙方以啟發(fā)．

1 拉格朗日中值定理及其幾何意義

其結(jié)論也可寫成：在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(ξ)．

圖1 拉氏定理的幾何意義Fig1 Geometric meaning of Lagrange Theorem

幾何意義[1-5]如圖1，若連續(xù)曲線y=f(x)在點A(a,f(a))和B(b,f(b))之間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則在A、B之間的曲線上至少存在一點C(ξ,f(ξ))，使得該點處的切線與割線AB平行．

顯然，羅爾定理(如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0)是拉格朗日中值定理的特殊情形．

推論1[3]若函數(shù)y=f(x)不是常數(shù)函數(shù)，y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)<0(或f′(ξ)>0)．

又f(a)=f(b)，f(x)不為常數(shù)函數(shù)，則f(c)-f(a)和f(b)-f(c)異號，從而f′(ξ)f′(η)<0，因此命題得證．

推論2[1-5]如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)．

證明設(shè)?x1,x2∈I，不妨設(shè)x1

根據(jù)已知，f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日定理條件，從而存在ξ∈(x1,x2)，使得

又f′(ξ)=0，所以f(x2)=f(x1)．

即在區(qū)間I上任意兩點的函數(shù)值都相等，因此f(x)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)．

2 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明含導(dǎo)數(shù)的等式

證明令F(x)=xf(x)，則F′(x)=f(x)+xf′(x)．

由已知F(x)在[a,b]上滿足拉格朗日定理條件，所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得F(b)-F(a)=F′(ξ)(b-a)，即

3 利用拉格朗日中值定理證明不等式

若f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足拉格朗日定理條件，則f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，a<ξ

又0

證明令f(t)=tant，則f′(t)=sec2t．

又0<ξ

例7[1]證明： arctana-arctanb≤a-b.

例8[3]證明：arcsinx1-arcsinx2≥x1-x2．

顯然，f(x)在[x1,x2]或[x2,x1]上滿足拉格朗日定理條件，所以介于x1與x2之間必有一點ξ，使得

即

因此

arcsinx1-arcsinx2≥x1-x2．

例9[2]證明：sinx-siny≤x-y.

證明令f(t)=sint，則f′(t)=cost．

顯然，f(t)在[x,y]或[y,x]上滿足拉格朗日定理條件，所以介于x與y之間必有一點ξ，使得sinx-siny=cosξ(x-y)，即sinx-siny=cosξ·x-y．

又cosξ≤1，所以

cosξ·x-y≤x-y，

而

cosξ·x-y=sinx-siny，

因此

sinx-siny≤x-y．

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007:129-134.

[2] 趙樹嫄.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一)微積分[M].3版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2012:120-124.

[3] FINNEY,WEIR,GIORDANO.托馬斯微積分[M].北京：高等教育出版社，2003:237-244.

[4] 李天然.高等數(shù)學(xué)(建工類)[M].北京：高等教育出版社，2008:107-110.

[5] 陳少云.經(jīng)濟數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2016：67-70.

[6] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解(上下冊合訂本)[M]. 6版.北京：高等教育出版社，2007：62-64.

ApplicationExamplesofLagrange’sMeanValueTheorem

CHEN Shaoyun

(DepartmentofInformationEngineering,SichuanCollegeofArchitecturalTechnology,Deyang618000,China)

The contents, its geometric meaning and deduction of Lagrange’s Mean Value Theorem are briefly introduced first in this article. Then with some examples the article illustrates how to prove the equalities and inequalities by Lagrange’s Mean Value Theorem.

Lagrange’s Mean Value Theorem; deduction; equality; inequality

2017-07-09

陳少云(1969—)，男，重慶合川人，四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系副教授，主要研究方向：計算數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教育.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.012

O172.1

A

1007-0834(2017)03-0054-04