多重分割組合數(shù)有限和計算公式

張來萍，及萬會

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川750105)

多重分割組合數(shù)有限和計算公式

張來萍，及萬會

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川750105)

設(shè)正整數(shù)n,m,r，非負整數(shù)b,a,利用r次單位根的性質(zhì)，使用復(fù)數(shù)方法給出一類多重分割組合數(shù)有限和與正負相間多重分割組合數(shù)有限和用三角函數(shù)表示的計算公式，并給出系數(shù)為多重分割組合數(shù)的對偶三角函數(shù)有限和計算公式．

組合數(shù)；三角函數(shù)；單位根；多重分割；正負相間；有限和

0 引言

利用r次單位根的性質(zhì)和復(fù)變函數(shù)方法，給出這類多重分割組合數(shù)序列和式的計算公式．并給出系數(shù)為多重分割組合數(shù)的對偶三角函數(shù)有限和計算公式．文中符號[A]表示A的整數(shù)部分．

1 主要結(jié)論與證明

(1)

(2)

(3)

在(1)式中令a=0，得(2)式;在(1)式中,令x=1，得到(3)式左端，我們給出(3)式右端表達式．

另一方面，用復(fù)數(shù)理論計算

在(3)式中，令b=0;或m=1；或m=1,b=0；或m=1,a=0．

推論1下列多重分割組合數(shù)和式用三角函數(shù)表示的計算公式，

(4)

(5)

(6)

(7)

定理2設(shè)奇數(shù)r，正整數(shù)n,m，非負整數(shù)b,a，且r-1≥a，則正負相間多重分割組合數(shù)和式

(8)

(9)

(10)

證明(8) (9)式類似(1) (2)式可得，下面證明(10)式

另一方面，用復(fù)數(shù)理論計算

復(fù)數(shù)式實部

得到

在(10)式，令b=0;或m=1;或m=1,b=0;或m=1,a=0，

推論2下列正負相間多重分割組合數(shù)和式用三角函數(shù)表示的計算公式

(11)

(12)

(13)

(14)

推論3設(shè)正整數(shù)n，r，非負整數(shù)a，且r-1≥a，則系數(shù)為多重分割組合數(shù)的對偶三角函數(shù)有限和式

(15)

(16)

(17)

(18)

證明在(1)式中，令m=1,b=0，x=cosβ+isinβ，代入(1)式利用復(fù)數(shù)相等，計算得到(15)、 (16)式．

在(15)、(16)式中令a=0，得到(17)、(18)式．

推論4設(shè)奇數(shù)r，正整數(shù)n，非負整數(shù)a，且r-1≥a，則系數(shù)為多重分割組合數(shù)的正負相間對偶三角函數(shù)有限和式

(19)

(20)

(21)

(22)

證明在(8)式中，令m=1,b=0，x=cosβ+isinβ，代入(8)式利用復(fù)數(shù)相等，計算得到(19)、 (20)式．

在(19) 、(20)式中， 令a=0，得到(21) 、(22)式．

2 一些多重分割組合數(shù)和式的數(shù)值計算公式

例1計算下列組合數(shù)和式

解用定理1及其推論1結(jié)論.

例2計算下列正負相間組合數(shù)和式

解利用定理2與推論2 結(jié)論.

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TheEvaluationofMultiplePartitionInvolvingCombinatorialNumbers

ZHANG Laiping，JI Wanhui

(DepartmentofBasic，YinChuanEnergyCollege，YinChuan750105,China)

Letm,n,rbe positive integers,b,abe nonnegative integer, use property of unit root ofrtimes and method of complex function. The trigonometric fuctions are used to express the finite sum of a class of multi-partion combinations. The formula of finite sum of positive and negative multi-partition combinations is also presented by trigometric functions. And gives the finite sum of dual trig functions with coefficients of multi-partition involving combinatorial numbers.

combinatorial numbers; trigonometric function; unit root; multi-partition; alternated with positive and negative; finite sum

2016-09-18

寧夏自然科學(xué)基金項目(NZ12208);銀川能源學(xué)院科研基金項目(2015-KY-Y-49)

張來萍(1979—),女，寧夏彭陽人，銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；通信作者:及萬會(1942—)，男，河北泊頭人，銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部教授，主要研究方向：數(shù)論.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.002

O173

A

1007-0834(2017)03-0007-06