用導數(shù)證明函數(shù)不等式的技巧

廣東省湛江市第二中學(524006) 張會學

用導數(shù)證明函數(shù)不等式的技巧

廣東省湛江市第二中學(524006) 張會學

我們常見的不等式有一元一次不等式,一元二次不等式,分數(shù)不等式,基本不等式,柯西不等式,三角不等式,絕對值不等式等等,但是在高中階段,特別是高三的一些壓軸題中,會經(jīng)常出現(xiàn)其他的不等式,比如將基本初等函數(shù)中的對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),冪函數(shù)等混合一起,或對自變量x加一些條件,構成一個新的不等式,這種不等式我們不能用常規(guī)的證明方法,柯西不等式和基本不等式等會失效.此時我們就需要借助導數(shù)這個強大的工具,將這種函數(shù)不等式的問題轉化為函數(shù)最值問題來處理.下面將通過一些例題來探討用導數(shù)來處理這類函數(shù)不等式問題的方法.

一、直接作差構造函數(shù)法

例1證明xlnx＞x?1(x＞0).

證明 設函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)=xlnx?(x?1),則F′(x)=lnx,由F′(x)=lnx=0,得到x=1.當x∈(0,1),F′(x)=lnx＜0,函數(shù)F(x)單調遞減.當x∈(1,+∞),F′(x)=lnx＞0,函數(shù)F(x)單調遞增.所以F(x)min=F(1)=0,因此F(x)≥0,即原不等式成立.

點評 對于一些簡單的類似xlnx＞x?1不等式,即函數(shù)f(x)≥g(x)的證明,我們可以直接作差構造出新的函數(shù)F(x)=f(x)?g(x),再利用函數(shù)的單調性求出F(x)的最小值,只需fmin(x)≥0即可.

二、變形作商構造函數(shù)法

函數(shù)f(x)的單調性如下

x (0,1)1(1,2)2(2,+∞)f′(x)?0+0?f(x)↘極小值↗極大值?

由單調性易知,f(x)＜f(0)=1,極大值所以當x＞0時,f(x)＜1,原不等式得證.

點評 這個不等式如果直接作差證明又比較困難,導函數(shù)的零點不易求出,給后面的證明帶來麻煩,但是我們如果通過作商變形一個新函數(shù),再來證明新函數(shù)最值就顯得容易得多.這種作商變形要注意式子的正負和不等號的變化.當f(x)＞0時,要證

三、移項構造雙函數(shù)比較法

分析

證明x＞0,要證只需證

令f(x)=xlnx+1,由因此,當函數(shù)f(x)單調遞減;當,函數(shù)f(x)單調遞增.所以函數(shù)f(x)最小值同理求得函數(shù)g(x)的最大值由于所以f(x)＞g(x),原不等式得證.

點評 這個題目筆者先嘗試用前面兩種方法證明,均以失敗告終,不論是作差構造函數(shù),和作商構造函數(shù)都不太好做,然后想到將這個函數(shù)一分為二,變成兩個函數(shù)f(x)與g(x),再分別求出兩個函數(shù)的最值,發(fā)現(xiàn)fmin(x)＞gmax(x),山重水復疑無路,柳暗花明又一村,這樣此題就得出證明了.這種思想方法就是先變形,然后證明f(x)＞g(x)?fmin(x)＞gmax(x).

四、利用熟知不等式放縮法

例4證明(xlnx+1)ex?2x＞0(x≥1).

分析 由于

這兩個不等式比較容易證明,同時會經(jīng)常出現(xiàn),因此我們可以利用這兩個熟知的不等式來放縮,然后再加以證明.

證明 因為xlnx＞x?1,xlnx+1＞x,所以(xlnx+1)ex?2x＞xex?2x.

要證明(xlnx+1)ex?2x＞0,只需證xex?2x＞0.

令h(x)=x2+2x?2,函數(shù)h(x)在[1,+∞)遞增,所以h(x)≥h(1)=1＞0,因此原不等式得證.

點評 這個不等式的證明我們也嘗試了前面幾種解法,但是發(fā)現(xiàn)直接作差求導,變形作商求導都不濟于事,構造兩個函數(shù)比較最值也行不通,因為這里找出兩個函數(shù)f(x)和g(x),使得fmin(x)＞gmax(x)是比較困難的.這時我們可以想到利用熟知的函數(shù)不等式加以放縮,要證A＞B,我們可以找個中間值C,若A＞C且C＞B,這樣就這樣推出A＞B了.通常放縮之后,要使得函數(shù)的單調性,極值點和最值都比較好計算,再證明就比較容易了.當然對于放縮的不等式:一般還需要簡單的證明才能使用.最后這個題目如果去掉條件x≥1,實際上也是成立的,這里就不另外闡述了,留給讀者自己思考.

五、構造函數(shù)單調性證明法

例5 證明當x＞1時,有l(wèi)n2(x+1)＞lnx·ln(x+2).

分析 根據(jù)所證不等式的結構特點,稍加變形,很容易分解出來兩邊是遞推函數(shù)的形式這樣我們只需構造函數(shù)然后證明函數(shù)f(x)是在[1,+∞)上是減函數(shù)即可.

證明 將原不等式變形為

再次構造函數(shù)g(x)=xlnx,由于x＞1,

函數(shù)g(x)在(1,+∞)遞增,所以g(x)＜g(x+1),即

又x(x+1)(lnx)2＞0,得到f′(x)＜0,函數(shù)f(x)遞減,所以f(x)＞f(x+1),即

原不等式成立.

點評 這個不等式在分析求證的過程中比較容易看出是一個比較相似的兩個函數(shù)組合,這時我們應該充分利用結構特點構造一個新函數(shù),通過新函數(shù)的單調性去證明不等式成立,而不要直接作差或者變形求導.

解決函數(shù)不等式的方法多種多樣,這里只是拋磚引玉,在證明這類不等式的時候,要多加思考,對式子結構充分把握,嘗試多種方法.當一種方法不行,應馬上轉換思路.不拘泥于一種方法,切忌一條路走到黑,應該敵變我也變,這樣才能找到解決問題的正確方法.