從不等式鏈的角度看一道高考解析幾何試題的命制*

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(730087) 李守明

從不等式鏈的角度看一道高考解析幾何試題的命制*

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(730087) 李守明

題目 (2017年全國卷II理科第10題)已知F為拋物線C∶y2=4x的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為().

A.16 B.14 C.12 D.10

1.試題的兩種解法

解法1 依題意,直線l1和l2的斜率存在,且斜率不為0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),又設(shè)直線l1的方程為y=k(x?1),代入拋物線方程y2=4x,消去y得,

則

所以

同理可得

則

解法2 如圖1所示,設(shè)AB傾斜角為θ,作AK1垂直準線,AK2垂直x軸,垂足分別為

所以|AF|cosθ+p=|AF|,

圖1

同理可得

則

同理

所以

評注 直線與圓錐曲線相交形成的弦中,焦點弦是較為特殊的,焦點弦長的計算也比較獨特,較少運用弦長公式,而主要采用圓錐曲線的定義,解法1借助拋物線的定義,得到焦點在橫坐標軸正半軸上的弦長公式|AB|=x1+x2+p,解法2同樣是借助拋物線的定義,結(jié)合幾何圖形,得到焦點在橫坐標軸正半軸上的弦長公式后續(xù)解答變得簡單,解法1運用基本不等式,解法2運用三角函數(shù)的有關(guān)知識得到本題的解.

2.試題的產(chǎn)生思路

此題命題的思路是什么?又會有怎樣的變式呢?聯(lián)想到不等式鏈

既然本題|AB|+|DE|有最小值,那么或者|AB|·|DE|就有可能為定值.筆者帶著這種猜想進行了探索和證明.

變式1 已知F為拋物線C∶y2=4x的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E,則為定值.

證明 依題意,直線l1和l2的斜率存在,且斜率不為0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),又設(shè)直線l1的方程為y=k(x?1),代入拋物線方程y2=4x,消去y得,

則

所以

同理可得

所以

解法3

所以|AB|+|DE|≥16,當|AB|=|DE|時取等號.

3.結(jié)論的推廣

在一般情形下的拋物線y2=2px(p＞0),AB和CD為過焦點且互相垂直的弦,那么是否也為定值呢?

推廣1 已知F為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E,則為定值.

證明 以拋物線的焦點F為極點,x為極軸建立極坐標系,設(shè)點A(ρ,θ),則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

所以

那么對于圓錐曲線中的橢圓和雙曲線來說是不是也有相類似的結(jié)論呢?

證明 不妨設(shè)F為橢圓的左焦點,以F為極點,x為極軸建立極坐標系,設(shè)點A(ρ,θ),則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

當A,B在雙曲線同一支,而C,D不在雙曲線的同一支時,

當A,B不在雙曲線同一支,而C,D也不在雙曲線的同一支時,

證明 不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點,以F為極點,x為極軸建立極坐標系,設(shè)點A(ρ,θ),當A,B,C,D在雙曲線的同一支上時,則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

所以

當A,B在雙曲線同一支,而C,D不在雙曲線的同一支時,

當A,B不在雙曲線同一支,而C,D也不在雙曲線的同一支時,則有

4.高考鏈接

例 (2007年高考全國卷I文第22題理21題)已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2過F1的直線交橢圓于B,D兩點,過F2的直線交橢圓于A,C兩點,且AC⊥BD,垂足為P.

(I)P點的坐標為,證明

(II)求四邊形ABCD的面積的最小值.

解 (I)略;(II)因為

則

當且僅當|AC|=|BD|取等號.

5.追本溯源

從不等式鏈的角度命制試題,在人教版選修課本習題中有所體現(xiàn),原題如下:

(人教A版選修4-4第15頁)已知橢圓中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b(a＞b＞c),分別為橢圓上的兩點,且OA⊥OB.

(2)求△OAB面積的最大值最小值.

(2)因為

|OA|=|OB|取等號.則

所以

故求得△OAB面積的最大值為本題可用橢圓的參數(shù)方程求得的求△OAB面積的最大值為.

6.變式練習

以拋物線為例,明白了焦點弦AB和CD互相垂直時,具有性質(zhì)為定值,那么就可以理解試題命制者命題的初衷,借助不等式鏈,改編形成不同的試題.

例 (2017四川資陽市模擬試題)過拋物線C∶y2=4x的焦點F做互相垂直的弦AC和BD,則點A,B,C,D構(gòu)成四邊形的面積的最小值為( )

A.16 B.32 C.48 D.64

(當且僅當|AC|=|BD|取“=”),

所以

當且僅當|AC|=|BD|取等號.

解 因為

所以

當|AB|=|CD|時取等號.所以或a=(舍),則故答案為D.

[1]普通高中課程標準實驗教科書選修4-4[M],北京:高等教育出版社,2007.

蘭州市“十三五”教育科學規(guī)劃課題《運用“一題一課”培養(yǎng)高中學生數(shù)學解題能力的研究》