2017年全國(guó)卷II文科第21題的待定常數(shù)法的解法探究

廣東省雷州市第八中學(xué)(524232) 魏 欣 鄧春梅

2017年全國(guó)卷II文科第21題的待定常數(shù)法的解法探究

廣東省雷州市第八中學(xué)(524232) 魏 欣 鄧春梅

一、原題展示

(2017年高考課標(biāo)卷II文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1?x2)ex.

(I)略;(II)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

二、試題分析

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題.以含參數(shù)不等式問(wèn)題為載體,既考查學(xué)生的分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程及不等式思想,又考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

三、解法探究

解析 (I)略;(II)(應(yīng)用分離參數(shù)法和洛必達(dá)法則)

①當(dāng)x=0時(shí),f(0)=(1?02)e0=a·0+1,此時(shí)a∈R.

②當(dāng)x＞0時(shí),

記p(x)=(?x3?x2+x?1)ex+1,則

故p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且p(0)=0,故p(x)＜0,即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則,知

故a的取值范圍是[1,+∞).

上述方法,先用分離參數(shù)法再構(gòu)造函數(shù),最后用洛必達(dá)法則求得構(gòu)造函數(shù)最值.但洛必達(dá)法則畢竟是大學(xué)的內(nèi)容.下文我們用待定常數(shù)法來(lái)解決此問(wèn)題,并對(duì)近幾年高考題闡述如何用待定常數(shù)法化解分離參數(shù)法之困惑.

另解 (待定常數(shù)法)當(dāng)x＞0時(shí),為了降低運(yùn)算量,對(duì)

構(gòu)造含有待定常數(shù)的函數(shù)式,如:設(shè)g(x)=(1?x2)ex?kx?1(x∈(0,+∞)),其中k是待定的常數(shù).則

待定的常數(shù)是這樣確定的,使構(gòu)造的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值在定義域內(nèi)不小于(不大于)零.如:若k=1,則

在(0,+∞)上,g′(x)＜0,所以g(x)單調(diào)遞減,g(x)＜g(0)=0,(1?x2)ex?x?1＜0,

要證明f(x)=(1?x2)ex＜ax+1(x＞0),只需證明

由①②得,a≥1.綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

用待定的常數(shù)解決此類(lèi)問(wèn)題,關(guān)鍵使構(gòu)造的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值在定義域內(nèi)不小于(不大于)零.下面通過(guò)近幾年高考題闡述如何用待定常數(shù)法求解此類(lèi)問(wèn)題.

例1(2016年高考新課標(biāo)II文科第20題)已知函數(shù)

(I)略;(II)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)＞0,求a的取值范圍.

解 (待定常數(shù)法)(II)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),

設(shè)g(x)=(x+1)lnx?k(x?1)(x∈(1,+∞)),其中k是待定的常數(shù),則

若k=2,則

所以,在(1,+∞)上h(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)單調(diào)遞增,

即當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),(x+1)lnx?2(x?1)＞0,

由①②得,a≤2.故a的取值范圍是(?∞,2].

例2 (2016年四川高考理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2?a?lnx,其中a∈R.

(I)略;(II)確定a的所有可能取值,使得在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.

即

所以g(x)在x∈(1,+∞)單調(diào)遞增.所以g(x)＞g(1)=0,即當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),

所以

由③④得,故a的取值范圍是

例3 (2010年全國(guó)新課標(biāo)理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2.

(I)略;(II)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

解 (待定常數(shù)法)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=e0?1?0?a02=0,此時(shí),對(duì)任何a∈R,f(0)≥0成立.

當(dāng)x＞0時(shí),

設(shè)g(x)=ex?1?x?kx2(x＞0),k是待定的常數(shù).則

設(shè)h(x)=ex?1?2kx(x＞0),則h′(x)=ex?2k.若在(0,+∞)上,h(x)單調(diào)遞增,h(x)＞h(0)=0,即g′(x)＞0,所以g′(x)在 (0,+∞)

由⑤⑥得,.綜上所述,a的取值范圍是

四、真題回顧

如下的六道真題均可以用上述的待定常數(shù)法予以求解,由于篇幅關(guān)系,此處解題過(guò)程從略.

1.(2014年新課標(biāo)II理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex?e?x?2x.(II)設(shè)g(x)=f(2x?4bf(x)),當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞0,求b的最大值.

2.(2015年山東理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2?x),其中a∈R.(II)若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

3.(2014年陜西理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x)(x≥0),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(II)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2010年高考新課標(biāo)II文科第21題)已知函數(shù)f(x)=x(ex?1)?ax2.(II)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

5.(2007年全國(guó)I理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.(II)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

6.(2006年全國(guó) II理科第 21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),(II)若對(duì)所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

五、解法啟發(fā)

求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題常常是高考的壓軸題,通常的解法是分類(lèi)討論,但是考生在有限的考試時(shí)間內(nèi)進(jìn)行分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、諸多之母的復(fù)雜運(yùn)算,是很難正確解答的.因此,我們可以利用上述的待定常法來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題,先用分離參數(shù)法再構(gòu)造函數(shù),在求所構(gòu)造函數(shù)函數(shù)的最值時(shí),關(guān)鍵使構(gòu)造的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值在定義域內(nèi)不小于(不大于)零,再利用函數(shù)的單調(diào)性,求出構(gòu)造函數(shù)的最值.這樣,我們就可以大大減少運(yùn)算量,避免分類(lèi)討論等諸多復(fù)雜問(wèn)題,從而提高我們的得分.

另外,縱觀近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題,都考查此類(lèi)問(wèn)題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,所以我們要對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié),并提出更加簡(jiǎn)便的通性通法,對(duì)解法的探索是在踐行我們所學(xué)的知識(shí)技能和思想方法,同時(shí)也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對(duì)試題本質(zhì)的探源,使我們更深刻地認(rèn)識(shí)問(wèn)題,將新舊解題經(jīng)歷跨時(shí)空貫通起來(lái),這又是一個(gè)新的開(kāi)始.

[1]魏欣.一道導(dǎo)數(shù)高考模擬題的啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2013(10上):37-39.

[2]鄧軍民.高考數(shù)學(xué)熱門(mén)考點(diǎn)與解題技巧[M].廣州出版社.2016.