函數(shù)的性質(zhì)如何自然地教學(xué)

廣東省陽(yáng)春市第一中學(xué)(529600) 吳英穎

函數(shù)的性質(zhì)如何自然地教學(xué)

廣東省陽(yáng)春市第一中學(xué)(529600) 吳英穎

1.緒論

1.1 問(wèn)題的提出

高中函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)全新的概念,學(xué)生在學(xué)習(xí)該性質(zhì)時(shí)感覺(jué)從天上掉下一個(gè)概念的感覺(jué),難以理解,更談不上靈活應(yīng)用.

為幫助學(xué)生透徹理解并掌握所學(xué)的概念,關(guān)鍵的問(wèn)題是不僅要讓學(xué)生知道一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,更要讓學(xué)生知道為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容,由“知其然”發(fā)展到“知其所以然”.即使是教師直接告訴學(xué)生課題內(nèi)容,也要作出充分的鋪墊,使得學(xué)生覺(jué)得這個(gè)時(shí)候?qū)W習(xí)這個(gè)內(nèi)容是應(yīng)該的,自然而然的.

1.2 函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)現(xiàn)狀

在進(jìn)行高中函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)時(shí),我們都明白函數(shù)圖象是性質(zhì)的突破口,因?yàn)樗菍?duì)函數(shù)性態(tài)的直觀表述.所以很多教師都利用圖象來(lái)引入新課,從而得出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.但由于函數(shù)性質(zhì)概念的抽象性和復(fù)雜性,大部分學(xué)生往往只能通過(guò)圖象簡(jiǎn)單地體會(huì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)的存在,只是被動(dòng)地接受教材和老師所講解的性質(zhì)和概念定義,并沒(méi)很好地理解為什么概念要這樣定義,為什么會(huì)有這樣的性質(zhì),這些性質(zhì)如何應(yīng)用.

1.3 本文將要研究的問(wèn)題

首先,通過(guò)文獻(xiàn)分析,闡述了數(shù)學(xué)概念及其特征、分類;探究概念學(xué)習(xí)的方式及其學(xué)習(xí)心理過(guò)程;基于概念學(xué)習(xí)的心理過(guò)程和數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成式、同化式、問(wèn)題引申式進(jìn)行解讀;并對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略進(jìn)行探究.

其次,通過(guò)文獻(xiàn)從學(xué)習(xí)的角度分析了函數(shù)性質(zhì)概念的特點(diǎn)及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)造成的困難;研讀了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)性質(zhì)教學(xué)的要求,明確教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的目標(biāo);教材是教與學(xué)的依據(jù),因此從教材的編排體系來(lái)分析函數(shù)性質(zhì),以期能準(zhǔn)確地把握教學(xué)的重難點(diǎn).

再次,對(duì)函數(shù)性質(zhì)的概念教學(xué)進(jìn)行探討,提出函數(shù)性質(zhì)教學(xué)的思路和教學(xué)的具體建議:數(shù)形結(jié)合,優(yōu)化思維過(guò)程;巧妙的設(shè)置探究問(wèn)題;教學(xué)方式多樣化;多角度的理解概念;形成概念系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);滲透數(shù)學(xué)思想方法.

1.4 研究的理論基礎(chǔ)(數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì))

人類獲得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā),歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過(guò)程,這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程.概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來(lái)理解接納新概念的過(guò)程,這是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的過(guò)程.不論是通過(guò)概念的形成方式還是通過(guò)概念的同化方式來(lái)獲得新的概念,其最終目標(biāo)都是掌握同類事物的關(guān)鍵屬性,使學(xué)生在頭腦里建構(gòu)起良好的概念認(rèn)知圖式.

1.5 本研究的價(jià)值及創(chuàng)新點(diǎn)

只有自然,才能使其對(duì)學(xué)生而言是“可以理解的”、“可以學(xué)到手的”和“可以推廣應(yīng)用的”.也只有是自然的,教學(xué)活動(dòng)才能向?qū)W生展現(xiàn)“活生生”的研究工作,而不是死的知識(shí),才能幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容,而不是囫圇吞棗,死記硬背;也只有是自然的,才能幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法,內(nèi)在的思想觀念.

2.函數(shù)性質(zhì)概念生成分析

2.1 從知識(shí)內(nèi)在發(fā)展規(guī)律看

教材體現(xiàn)了“螺旋式上升”的新課程特點(diǎn).初中階段學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù),重點(diǎn)從直觀圖形和自然文字的角度,讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)感知和形象描述“函數(shù)的增減性”、“函數(shù)的對(duì)稱性”,而沒(méi)有運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行抽象概括.當(dāng)高中再次研究性質(zhì)時(shí),則將重點(diǎn)放在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言抽象概括出和“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”的一般定義.讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中,不斷地在認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)“感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí)—感性再認(rèn)識(shí)—理性再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程.

2.2 從初、高中銜接角度看

教材遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律,立足初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象性質(zhì),從具體到抽象,從特殊到一般,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念的發(fā)現(xiàn)、概括過(guò)程.從知識(shí)、學(xué)法、教法三方面為“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念的初、高中銜接創(chuàng)造了有利條件.

2.3 從培養(yǎng)抽象概括能力看

波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn),因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深,也是容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此在單調(diào)性和奇偶性概念的形成過(guò)程中,要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體函數(shù)的感知,自主觀察分析、抽象概括,自覺(jué)領(lǐng)悟“上升、下降”和“關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的本質(zhì)屬性,從而形成新的嚴(yán)密的“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念.

3.自然地教學(xué)的設(shè)計(jì)實(shí)例

自然的教學(xué),需要一個(gè)極具強(qiáng)烈對(duì)比,極易產(chǎn)生認(rèn)知沖突的問(wèn)題,用這個(gè)問(wèn)題去引導(dǎo)學(xué)生,去誘使學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想、構(gòu)造,在學(xué)習(xí)過(guò)程中,自己給自己提出下一步要研究什么的問(wèn)題,這樣才會(huì)使學(xué)生跨越認(rèn)知障礙,發(fā)展自我探求知識(shí)的能力,自然生發(fā)出新的概念結(jié)構(gòu).自然的教學(xué)更重要的內(nèi)涵,是指教學(xué)是依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律進(jìn)行的,不是教師灌輸?shù)?而是在教師的恰當(dāng)?shù)皿w的引導(dǎo)下,學(xué)生依靠自己的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)自然而然建構(gòu)出知識(shí).

3.1 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1.1 創(chuàng)設(shè)生活實(shí)際情境,引入課題

如圖1為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖:

圖1

(1)觀察這個(gè)氣溫變化圖,說(shuō)出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況.

(2)怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大,氣溫逐漸升高或下降”這一特征?

引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考.

思考(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到;

(2)在某時(shí)刻的溫度;

(3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低.

(4)還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?

設(shè)計(jì)意圖從生活中的實(shí)際例子感知函數(shù)單調(diào)性的存在,完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí).

3.1.2 利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入函數(shù)單調(diào)性概念

對(duì)于自變量變化時(shí),函數(shù)值是變大還是變小,初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí),但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

1.借助圖象,直觀感知

問(wèn)題分別作出函數(shù)y=x+2,y=?x+2,y=x2,的圖象,并且觀察自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律?

思考(1)我們學(xué)過(guò)區(qū)間的表示方法,如何用區(qū)間的概念來(lái)表述函數(shù)y=x2圖象的變化規(guī)律

設(shè)計(jì)意圖從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第二次認(rèn)識(shí).

2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1 圖2是函數(shù)的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?(電腦顯示,學(xué)生分組討論)

圖2

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.

問(wèn)題2 如何從解析式的角度說(shuō)明f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù)?

思考(1)能否在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如1和2,因?yàn)?2＜22,所以f(x)=x在[0,+∞)為增函數(shù).

(2)若僅僅兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不能說(shuō)明函數(shù)y=x2在區(qū)間[0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),那舉出無(wú)數(shù)個(gè)呢?

對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析.

如:函數(shù)y=x2(x∈[?1,+∞))中有無(wú)數(shù)個(gè)隨x的增大而增大的實(shí)數(shù),是不是也可以說(shuō)函數(shù)y=x2在區(qū)間[?1,+∞)上是增函數(shù)?可這與圖象矛盾啊?

使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量.

當(dāng)x1,x2∈[0,+∞)且x1＜x2,由圖象可知,即給自變量一個(gè)增量

函數(shù)值的增量為所以f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù).

進(jìn)一步尋求自變量的增量與函數(shù)值的增量之間的變化規(guī)律,判斷函數(shù)單調(diào)性.注意這里的“都有”是對(duì)應(yīng)于“任意”的.

設(shè)計(jì)意圖把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊.

3.抽象思維,形成概念

問(wèn)題你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義思考:

(1)由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)＜f(x2)能否推出x1＜x2(x1＞x2),

(2)我們來(lái)比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中?x,?y的符號(hào)規(guī)律,你有什么發(fā)現(xiàn)沒(méi)有?

(3)如果將增函數(shù)中的“當(dāng)?x=x2?x1＞0時(shí),都有?y=f(x2)?f(x1)＞0”改為當(dāng)?x=x2?x1＜0時(shí),都有?y=f(x2)?f(x1)＜0結(jié)論是否一樣呢?

(4)減函數(shù)的定義是否也可以進(jìn)行這樣修改?

(5)根據(jù)剛才的分析,你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關(guān)系?

(6)那你們能否將定義修改地更為簡(jiǎn)潔呢?如:如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,

設(shè)計(jì)意圖這一階段教師領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了剖析,帶領(lǐng)學(xué)生深入定義的表達(dá)形式,探索概念的本質(zhì).實(shí)現(xiàn)學(xué)生將概念從具體的圖形表達(dá)形式化到一般的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化.事實(shí)上,這一階段是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第四次歸納——由數(shù)學(xué)符號(hào)敘述抽象到了形式化.

4.理解概念,操作演練

問(wèn)題判斷題:

(2)若函數(shù)f(x)滿足f(2)＜f(3)則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù).

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).

通過(guò)判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):

(1)單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

(2)對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).

(3)單調(diào)性是對(duì)定義域的某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì),不能用特殊值說(shuō)明問(wèn)題.

(4)函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù).如圖3所示.

思考如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過(guò)對(duì)判斷題的辨析,加深學(xué)生對(duì)定義的理解,完成對(duì)概念的第五次認(rèn)識(shí).

圖3

3.2 函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計(jì)

3.2.1 通過(guò)學(xué)生實(shí)驗(yàn)引入奇函數(shù)、偶函數(shù)概念

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn),可在學(xué)生腦海中留下深刻印象.取一張紙,在其上畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系,并在第一象限任畫(huà)一可作為函數(shù)圖象的圖形,然后按如下操作并回答相應(yīng)問(wèn)題:

(1)以y軸為折痕將紙對(duì)折,并在紙的背面(即第二象限)畫(huà)出第一象限內(nèi)圖形的痕跡,然后將紙展開(kāi),觀察坐標(biāo)系中的圖形;

問(wèn)題將第一象限和第二象限的圖形看成一個(gè)整體,則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,若能請(qǐng)說(shuō)出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)?函數(shù)圖象上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系?

答案①可以作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,并且它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;②若點(diǎn)(x,f(x))在函數(shù)圖象上,則相應(yīng)的點(diǎn)(?x,f(x))也在函數(shù)圖象上,即函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn),它們的縱坐標(biāo)也一定相等.

(2)以y軸為折痕將紙對(duì)折,然后以x軸為折痕將紙對(duì)折,在紙的背面(即第三象限)畫(huà)出第一象限內(nèi)圖形的痕跡,然后將紙展開(kāi),觀察坐標(biāo)系中的圖形:

問(wèn)題將第一象限和第三象限的圖形看成一個(gè)整體,則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,若能請(qǐng)說(shuō)出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)?函數(shù)圖象上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系?

答案①可以作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,并且它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

②若點(diǎn)(x,f(x))在函數(shù)圖象上,則相應(yīng)的點(diǎn)(?x,?f(x)))也在函數(shù)圖象上,即函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn),它們的縱坐標(biāo)也一定互為相反數(shù).

像上面實(shí)踐操作(1)中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)即是偶函數(shù);操作(2)中圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)即是奇函數(shù)的.

注意

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);

②由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則?x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

4.結(jié)束語(yǔ)

教法自然,意味著教學(xué)是自然天成的,不是人為的,不是偽造的,不是強(qiáng)加于人的.自然的教學(xué)首先是指知識(shí)是有內(nèi)在邏輯的,知識(shí)的學(xué)習(xí)是依據(jù)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯順序依次進(jìn)行,不是隨意的.

與其它設(shè)計(jì)相比,本設(shè)計(jì)的引導(dǎo)過(guò)程、問(wèn)題的提出與解決過(guò)程更加自然,有效地突破了函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),學(xué)生更容易接受,因而教學(xué)效果更有效！