例談高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)

◆陳渙之

例談高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)

◆陳渙之

高中數(shù)學(xué)知識(shí)不管是深度還是廣度，同初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相比有了很大的提高，同時(shí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系較緊密，學(xué)生只有加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的知識(shí)難點(diǎn)，所以本文對(duì)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)以及解題過程中容易出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了具體的分析，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。

高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)解題；易錯(cuò)點(diǎn)

一、未能對(duì)定義域引起高度的重視

在對(duì)最值進(jìn)行求解的過程中，未能對(duì)函數(shù)變量的定義域引起高度的重視，導(dǎo)致了在解題的過程中出現(xiàn)了概念性的錯(cuò)誤，為了能夠?qū)⒋胧┑脑虺浞煮w現(xiàn)出來，下面進(jìn)行相應(yīng)的舉例說明。

有這樣一道例題：求出函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x的單調(diào)性。

錯(cuò)誤分析：根據(jù)已知條件以及定義進(jìn)行分析可以得知原函數(shù)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x的定義域是，在解題的過程當(dāng)中忽視了原函數(shù)的變量，所以也就忽視了定義域的變化。在這樣的情況之下，就造成解題思路以及解題的結(jié)果出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以，原題正確的結(jié)果應(yīng)該是“函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在(?1,0)上單調(diào)遞增”。

二、極大值和極小值的坐標(biāo)點(diǎn)不明確

在進(jìn)行函數(shù)極大值和極小值求解的時(shí)候，認(rèn)為當(dāng)原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候，就是原函數(shù)的極值點(diǎn)。對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解不深刻不全面是存在這種錯(cuò)誤思維的主要原因，認(rèn)為當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候就可以求原函數(shù)的極值。

有這樣一道題：函數(shù)f（x）=x3-6x2+cx在x=t的時(shí)候有最小值g（t），求出g（t）的定義域以及值域。

錯(cuò)誤的解法：首先對(duì)函數(shù)f（x）=x3-6x2+cx進(jìn)行求導(dǎo)，就可以得出f′(x)=3x2?1212x+c，然后推導(dǎo)出：(x?2)2+c?1212，然后令f′(t)=0，那么就可以得出c=?3t2+12t。因?yàn)閒（x）能夠在滿足條件的情況下取得極小值，所以f（x）=0有解，因此c＜12，c=?3t2+12t＜12，就可以得出t≠2，所以就可以求出g（t）的值域?yàn)椋篻（t）=f（t）=-2t3+6t2,其中 t≠ 2。

錯(cuò)誤分析：在解答這道題的時(shí)候，我犯的錯(cuò)誤是將f′(x)=0當(dāng)做了f（t）的充要條件，在這道題當(dāng)中，f′(x)=0應(yīng)該是f（t）的必要條件。

正確的解法：c≥12的時(shí)候，f′(x)≥0，那么在這個(gè)時(shí)候f（x）沒有極值；c＜12的時(shí)候，f′(x)=0兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，假如x1＜x2，那么就可以得出x1＜2＜x2。進(jìn)一步推導(dǎo)：當(dāng)x＜x1的時(shí)候，f′(x)>0，那么就可以得出f′(x)在（－∞，x1）內(nèi)是增函數(shù)。當(dāng)x1＜x＜x2的時(shí)候，f′(x)＜0，f′(x)在（x1，x2）內(nèi)是減函數(shù)。當(dāng)x1>x2的時(shí)候，f′(x)>0，f′(x)在（x2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)。

所以就可以得出一下的結(jié)果：當(dāng)f（x）在x1=x2的時(shí)候，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x1=x2的時(shí)候存在著極小值，而且只有一個(gè)。所以當(dāng)t=x2且t>2的時(shí)候，就可以得出g（t）的定義域是（2，+∞），根據(jù)f（t）=3t2-12t+c=0，可以得出c=-3t2+12t，最終就可以推出 g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3-6t2。

三、在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)以及計(jì)算的過程中未能有效理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

通過對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)可以得知，函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)曲線在某一個(gè)點(diǎn)的切線的斜率，如果對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活運(yùn)用，就能夠容易的解決相關(guān)的曲線切線方程。有這樣的一道題：曲線經(jīng)過了點(diǎn)（1,1），求出該曲線的切線方程。

錯(cuò)誤的解法：對(duì)y=-22x+x進(jìn)行求導(dǎo)就可以得出：，然后將點(diǎn)（1,1）帶入到切線當(dāng)中就可以得出原函數(shù)切線的斜率k=-3，所以就可以得出原函數(shù)的切線方程是y=-3x+4。

結(jié)束語

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中是十分重要的，雖然在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中存在著一些問題，在解答有關(guān)導(dǎo)數(shù)題目的時(shí)候容易出現(xiàn)相應(yīng)的錯(cuò)誤。但是只要在學(xué)習(xí)的過程中加深對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)題目的練習(xí)，掌握解題的思路以及技巧，就能夠有效減少解題的錯(cuò)誤率，從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

[1]羅沐奇.剖析高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題易錯(cuò)點(diǎn)[J].亞太教育,2016,33:70.

（作者單位：長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)）