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    滿園春色“等”不及,有效策略花更艷

    2017-11-01 16:03:35嚴(yán)玉芳
    初中生世界 2017年39期
    關(guān)鍵詞:白球概型紅球

    嚴(yán)玉芳

    滿園春色“等”不及,有效策略花更艷

    嚴(yán)玉芳

    初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),豐富多彩,數(shù)與式、幾何推理、圖形的變換、函數(shù)的變化、統(tǒng)計概率……構(gòu)成了數(shù)學(xué)的“滿園春色”,其中概率是研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,概率的學(xué)習(xí)有利于我們培養(yǎng)和發(fā)展隨機(jī)觀念,初步形成觀察和分析問題的意識“.認(rèn)識概率”主要是從概率統(tǒng)計定義出發(fā)了解概率初步知識,“等可能條件下的概率”將研究如何運用古典概型計算簡單隨機(jī)事件的概率.古典概型具有以下兩個特征:一是試驗的所有可能的結(jié)果只有有限個(有限性);二是每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同(等可能性).如果一個試驗的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為m,事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為n,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=在古典概型中,利用有限性和等可能性成功解決了一類問題的概率,在解決問題的過程中選擇有效的方法與策略是至關(guān)重要的.

    一、對比內(nèi)化,明朗概念

    我們在處理較為復(fù)雜的概率問題時,有時會忽視古典概型的使用條件:等可能.在解決這一問題時,我們可用實例進(jìn)行對比,從而感知和辨析“等可能”和“不等可能”,明確古典定義的適用對象須具備的條件.

    例如:一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球,這些球除了顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出一個球,問:(1)摸到每個球是等可能的嗎?(2)摸到白球和紅球是等可能的嗎?(3)摸到紅球和白球的概率為多少?

    第1問和第2問便于我們對“等可能性”進(jìn)行對比理解,因為這三個球除了顏色外都相同,所以攪勻后從中摸出每個球的可能性相同,紅球有2個,如果把它們編號為紅球1、紅球2,那么攪勻后從中摸出一個球會出現(xiàn)三種可能結(jié)果:摸到白球,摸到紅球1,摸到紅球2,這三種結(jié)果是等可能的,其中摸到紅球有兩種等可能結(jié)果,摸到白球有一種等可能結(jié)果,所以摸到紅球的概率為摸到白球的概率為這樣對“等可能”概念的內(nèi)化就非常明朗了.

    二、情境有序化,清晰思路

    對于一個實際問題,可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決,解決問題的關(guān)鍵在于找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,為了既不重復(fù)也不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,我們運用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖)來計算簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.對于有些情境本身就是有序的,用列舉法能很快找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,但對于本無序的實際情境,我們也可以人為地有序化,再利用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖)分析,也可以有效地列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果,從而求出概率.

    例如:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次,兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是多少?

    這一情境本是有序的,可對這枚質(zhì)地均勻的硬幣第一次拋擲和第二次拋擲的結(jié)果分別討論,通過列表法或畫樹狀圖法列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果,快速求出兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率.

    列表法:如果我們把“第一次正面朝上和第二次正面朝上”記作(正,正),則列表如下:

    由上表可得本題共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果,其中兩次拋擲的結(jié)果都是“正面朝上”只有1種,所以P(正,正).通過列表,把等可能結(jié)果的記法有序化了.

    又如:小明有紅色、黃色、藍(lán)色上衣各一件,有藍(lán)色、棕色褲子各一條,小明任意取出一件上衣和一條褲子穿上,恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子的概率是多少?

    這類情境選擇上衣和褲子本是任意的、無序的,我們在解決這類問題時,可以認(rèn)為設(shè)定先選衣服或褲子進(jìn)行等可能結(jié)果的討論,再在選定的基礎(chǔ)上對另一對象進(jìn)行等可能結(jié)果討論,可利用列表法或畫樹狀圖進(jìn)行有序分析.

    畫樹狀圖:

    由上圖可知:共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們是等可能的“.恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子”記為事件A,它的發(fā)生只有1種可能性,所以事件A發(fā)生的概率P(A)=

    對于同時投擲兩枚硬幣的情境,我們可以對其結(jié)果有序化分析,先討論其中一枚的結(jié)果,再討論另一枚,或可以轉(zhuǎn)化為先投一枚,再投另一枚的情境分析;在除了顏色外其他都一樣的摸球游戲中,對于求同時摸兩個球顏色相同的概率,可以轉(zhuǎn)化為求先摸一球,不放回,再摸一個球,兩球顏色相同的概率,再用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖),使得分析和結(jié)果都能有序化.

    當(dāng)然,這三種常用方法我們要合理選擇.以上兩例屬于兩步試驗,枚舉法、列表法和畫樹狀圖均可使用,若拋擲硬幣三次,求三次都正面朝上的概率,或選擇上衣、褲子和鞋子的顏色一致的概率,對于這類三步或三步以上的有限個結(jié)果的試驗,必須用畫樹狀圖的方法來分析解決問題了.

    三、幾何概型古典化,方法統(tǒng)一

    在實際情境中有一類事件的發(fā)生的概率的大小與面積有關(guān),如轉(zhuǎn)盤游戲,它就是通過對轉(zhuǎn)盤的“等分”,將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型加以研究的,這類事件的概率計算方法是:設(shè)試驗結(jié)果落在某區(qū)域S中每一點的機(jī)會是均等的,用A表示事件“試驗結(jié)果落在S中的一個小區(qū)域M中”,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=,這樣就將無限個結(jié)果有限化.

    總之,“等可能條件下的概率”的學(xué)習(xí)重在情境分析和親自試驗,在遇到問題時,利用有效的方法和策略更有利于我們積極主動探索,體驗成功的喜悅,增強(qiáng)自信,提升學(xué)習(xí)的興趣.我們要在這滿園春色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,使概率學(xué)習(xí)之花綻放得更加艷麗、多彩.

    (作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)水北中學(xué))

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