淺談立體幾何問題解法

江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 周天晨

淺談立體幾何問題解法

江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 周天晨

立體幾何學(xué)是研究空間中的點(diǎn)線面體之間關(guān)系的一門學(xué)科。立體幾何問題是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，大部分的立體幾何問題比較靈活，對(duì)解題者思維敏捷程度的要求較高?？臻g向量法在解題的程序化與降低解題難度方面做出了巨大的貢獻(xiàn)；輔助線法在加快解題速度和節(jié)省時(shí)間方面成效顯著；平面束方程法在求解線與面之間關(guān)系類型題目方面收效頗豐。本文提出了解空間幾何題目常用的三種方法：空間向量法、輔助線法和平面束方程法，并通過幾個(gè)問題進(jìn)行分析、求解。

立體幾何；空間向量；輔助線；平面束方程

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。立體幾何學(xué)，就是研究空間中的點(diǎn)線面體之間關(guān)系的一門學(xué)科?？臻g圖形的平行、垂直、距離、夾角問題是高中立體幾何解決的主要問題。常規(guī)的立體幾何方法主要依據(jù)定理和概念，借助各種幾何圖形的不同變化，利用邏輯推理對(duì)空間圖形的性質(zhì)進(jìn)行研究，一些復(fù)雜的題型解題時(shí)常常需要找到準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，通常需要構(gòu)造輔助線、輔助面轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，而這些問題的本身常具有技巧性和隨機(jī)性。本文提出了解空間幾何題目常用的三種方法：空間向量法、輔助線法和平面束方程法，并通過幾個(gè)問題進(jìn)行分析、求解。

一、空間向量法

向量是解決幾何問題的一種有效工具，借助于向量可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而起到化難為易的作用?？臻g向量法是指使用向量的代數(shù)方法去解決立體幾何問題的方法。在高中立體幾何問題中，大部分問題用向量法明顯比用其他方法簡單。很多問題中，輔助線需構(gòu)建巧妙，并且對(duì)解題者思維的敏捷程度要求很高，而向量法特點(diǎn)就是簡單粗暴，并不需要構(gòu)建輔助線，只需要輔以大量的代數(shù)運(yùn)算，就可以使立體幾何問題變得思路順暢，因此，在處理空間立體幾何問題中，向量法占據(jù)著重要的地位。

例1 三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖1所示， 截 面 為A1B1C1， ∠BAC=90°，AA1⊥ 平 面ABC，AA1=，AB=AC=2A1C1=2，D為BC的中點(diǎn)，證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1。

解：首先以A為原點(diǎn)，AB、AC、AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1

根據(jù)題意可得：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，由D為BC中點(diǎn)，可以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到D(1，1，0)，所以向量=(0，0，)，=(1，1，0)，=(-2，2，0)，=(0，-1，)。

設(shè)平面A1AD的法向量為=（x1，y1，z1），平面BCC1B1的法向量為=（x2，y2，z2），由：可得，令y1=-1，x=-1，z=0，所以，=（1，-1,0），同理可得=（1,1，），

11又因?yàn)椤?1-1+0=0，所以

故平面A1AD⊥平面BCC1B1得證。

二、輔助線法

立體幾何問題是高考的重點(diǎn)，也是高考的難點(diǎn)。在考場(chǎng)上，時(shí)間就是金錢，對(duì)于某些有特定特點(diǎn)的立體幾何問題來說，輔助線法求解可以很快捷，比起煩瑣的空間向量法來說，準(zhǔn)確使用該法可以節(jié)省不少時(shí)間。在考場(chǎng)上流行著這樣的一句話：“得輔助線者得天下”。其實(shí)，立體幾何問題添加輔助線有一定規(guī)律可循，常見的如中位線、對(duì)角線或中線、垂線等。下面給出一道例題，分別運(yùn)用空間向量法和輔助線法進(jìn)行求解。

例2 如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C∥平面ODC1。

圖2

解法一：假設(shè)正方體邊長為1，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

根據(jù)題意可得：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)。=（x1，y1，z1）,則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到O(，1)，所以向量=(0，1，1)，=(1，0，1)。設(shè)平面OC1D的法向量為=（x1，y1，z1），則有：

解法二：連接D1C，設(shè)與DC1相交于點(diǎn)O1，連接OO1，因?yàn)镺1是D1C的中點(diǎn)，O是B1D1的中點(diǎn)，所以O(shè)O1是三角形D1B1C的中位線，所以O(shè)O1∥CB1，又因?yàn)镺O1面ODC1，而CB1面ODC1，所以B1C∥平面ODC1。

三、平面束方程法

其中λ為任意常數(shù)。因?yàn)橄禂?shù)A1，…，D2不成比例，所以對(duì)于任意一個(gè)λ，方程中未知數(shù)的系數(shù) (A1+λA2)、(B1+λB2)、(C1+λC2)不全為0，從而上述方程表示一個(gè)平面Ω。同時(shí)，如果一點(diǎn)在直線L上，則該點(diǎn)勢(shì)必滿足平面Ω的方程，所以，平面Ω的方程表示的是通過直線L的所有平面的集合。

對(duì)于給定空間直線方程，求滿足某種條件的平面方程，常常采用平面束方程法，解題快捷且準(zhǔn)確。

即：(1+λ)x+(1-λ)y+(-1+λ)z+(-1+λ)=0。

其中λ為待定常數(shù)，該平面與平面x+y+z=0垂直的條件是：

(1+λ)·1+(1-λ)·1+(-1+λ)·1=0，

即：λ+1=0λ=-1。

反代回平面束方程可得：y-z-1=0，

立體幾何的解題方法還有許多，由于篇幅限制，關(guān)于本文僅芻談了空間向量法、輔助線法及平面束方程法的應(yīng)用。事實(shí)上，這三種方法的應(yīng)用范圍何其之廣，本文提到的例題僅為鳳毛翎角。總之，這三種方法是高中數(shù)學(xué)立體幾何問題學(xué)習(xí)過程中一個(gè)很好的解題工具。熟練掌握它們的一些常規(guī)運(yùn)用，在基礎(chǔ)問題方面勤加練習(xí)，做到舉一反三，才能在考試中發(fā)揮出理想的實(shí)力。

[1]潘虹．淺談空間向量方法在立體幾何中的應(yīng)用[J]．讀與寫（教育教學(xué)刊），2013（02）：127．

[2]張琳．立體幾何教學(xué)及解題方法研究[D]．西北大學(xué)，2016．

[3]梁毅麟．平面法向量在解立體幾何題中的應(yīng)用探究[J]．科技傳播，2010（03）：73-76+68．