縝密思考防失誤，跳出陷阱有妙招

江蘇海門三星初級中學(xué) 丁 慧

縝密思考防失誤，跳出陷阱有妙招

江蘇海門三星初級中學(xué) 丁 慧

數(shù)學(xué)離不開解題，解題的過程實質(zhì)是一個通過不斷的探索由未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，這個過程需要透過現(xiàn)象有效抓住問題的本質(zhì)。然而在解題過程中，學(xué)生常常因為對概念、法則、定理、公式、原理、方法等認(rèn)識不足或偏差，導(dǎo)致在解決數(shù)學(xué)問題時出現(xiàn)相反或是不完全的結(jié)果，從而陷入解題陷阱。如何有效走出解題的誤區(qū)和盲區(qū)？本文提出四種解決方法，與同行研討。

一、使用概念要明辨，跳出概念陷阱題

本題的正確答案是C，然而學(xué)生各種答案都有。其主要原因是不能深刻理解無理數(shù)的概念，選A的是沒有理解二次方根的意義，選B的是把與π等同了，選D的是因為沒有理解零指數(shù)冪的意義。

在解答概念類試題時，一定要仔細(xì)辨析試題待求的問題，在準(zhǔn)確用好概念的前提下再對試題進(jìn)行解答。如本題中要針對這些錯誤，在教學(xué)中加強(qiáng)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不是帶根號的數(shù)就是無理數(shù)等概念的辨別，告訴學(xué)生學(xué)會“數(shù)看實質(zhì)，式看形式”的方法技巧。

二、作圖用圖要正確，跳出圖解陷阱題

例2 已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，當(dāng)0≤x≤3時，y的最大值與最小值分別為（ ）

A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0，0

本題的正確答案是A，但本題有很多學(xué)生選B選項，學(xué)生簡單地把自變量分別為0和3的時候代入，求出y的值，而沒有考慮二次函數(shù)取得最小值時的自變量在條件所給的區(qū)間內(nèi)。

圖解問題的關(guān)鍵是正確作圖，對于二次函數(shù)而言，一些關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)識尤其重要。如本題中，我們要認(rèn)真區(qū)分定義域為R和定義域為特定區(qū)間的函數(shù)圖象的區(qū)別，在此基礎(chǔ)上再分別討論函數(shù)的最值問題。

三、條件性質(zhì)要周全，跳出隱含陷阱題

例3 若關(guān)于x的方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A.k＞-1 B.k≥-1 C.k≠0 D.k≥-1且k≠0

本題正確答案是D,但題目中一元二次方程的這一隱含條件很容易被忽視，很容易導(dǎo)致漏解，從而導(dǎo)致錯解，本題應(yīng)首先考慮二次項系數(shù)不為0這一條件。

數(shù)學(xué)中的很多問題都在一定條件下成立，這就需要學(xué)生在審題時要認(rèn)真讀題、挖掘題目內(nèi)在隱含的條件。如在本題中，對方程有兩個不相等實數(shù)根的認(rèn)識是指方程為一元二次方程，這一點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵。

四、推理論證要嚴(yán)謹(jǐn)，跳出定式陷阱題

例4 若關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+3x-1與x軸有唯一交點(diǎn)，求a的值。

解析：當(dāng)a=0時，函數(shù)是一次函數(shù)，所以與x軸有唯一交點(diǎn)。

當(dāng)a≠0時，函數(shù)是二次函數(shù)，那么當(dāng)時，有唯一交點(diǎn)，

即b2-4ac=0，32-4×a×(-1)=0，

因此a的值為0或

本題的推理論證建立在對函數(shù)的正確理解上，由于a的值沒有確定，所以函數(shù)既可以是二次函數(shù)，也可以是一次函數(shù)，而學(xué)生的思維定式就只把函數(shù)當(dāng)成二次函數(shù)來解題。所以解題時要認(rèn)真進(jìn)行對比分析，打破思維定式。

五、運(yùn)算過程要適切，跳出運(yùn)算陷阱題

例5 鄂州市化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每千克60元，不低于每千克30元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x=60時，y=80；當(dāng)x=50時，y=100。在銷售過程中每天還要支付其他費(fèi)用450元。

（1）求出y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求該公司銷售該原料日獲利W（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該公司的日獲利最大？最大獲利多少元？

解析：（1）根據(jù)題意設(shè)y=kx+b，則有解得k=-2，b=200。

所以y=－2x+200（30≤x≤60）。

（2）由題意得：W=(x－30)(－2x+200)－450=

－2x2+260x－6450=－2(x－65)2+2000。

（3）W=－2(x－65)2+2000，

因為30≤x≤60，

所以當(dāng)x=60時，W有最大值為1950。

所以當(dāng)銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，為1950元。

實際問題中自變量常常有相應(yīng)的取值范圍，如果忽視實際取值范圍，不僅題目結(jié)果出現(xiàn)問題，而且也和實際不切合。如本題中，若不注意取值范圍范圍為，本題最多的錯誤就是學(xué)生配方后直接得出在單價為65元時最大利潤為2000元，沒有考慮自變量的取值范圍為30≤x≤60，從而掉入陷阱中。

變式（2016南通） 如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（3，0），函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)D。

（1）求m的值；

（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；

（3）若P為函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，直線l與x軸上方的平行四邊形OABC的一邊交于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)時，求t的值。

本題的錯誤主要出現(xiàn)在第（3）問，很多學(xué)生沒有注意t的取值范圍。過動點(diǎn)P作直線l⊥x軸，直線l與x軸上方的平行四邊形OABC的一邊交于點(diǎn)N，這就意味著P的橫坐標(biāo)t的取值是有范圍的，t的取值范圍是0＜t＜5，超越這個范圍的t的都是不切合的。解決這個問題的關(guān)鍵就是從交點(diǎn)的位置與相應(yīng)的t的取值范圍去思考，在OA、AB、BC邊上時，點(diǎn)P與點(diǎn)N的相對位置表示出線段PN、PM的長度，繼而代入求解，求出結(jié)果后再回到開始的取值范圍，把不符合的數(shù)值刪去。

綜上，雖然數(shù)學(xué)中的陷阱題往往以假亂真，但我們只要熟悉跳出陷阱的妙招，就一定能有效避免無謂失分。