一類(lèi)到圓錐曲線頂點(diǎn)距離有關(guān)的最值問(wèn)題

浙江省三門(mén)第二高級(jí)中學(xué) 葉 挺

一類(lèi)到圓錐曲線頂點(diǎn)距離有關(guān)的最值問(wèn)題

浙江省三門(mén)第二高級(jí)中學(xué) 葉 挺

一、橢圓上和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)距離最大的點(diǎn)位置問(wèn)題

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)B(x，y)，

消去x得：

這是一個(gè)關(guān)于y的二次函數(shù)，

其中y∈[-b，b]，對(duì)稱軸方程：

圖1

結(jié)論1：當(dāng)b≥c，即離心率為時(shí)，橢圓上和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)距離最大的點(diǎn)在短軸的另一個(gè)端點(diǎn)處；當(dāng)b＜c，即離心率為時(shí)，橢圓上和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)距離最大的點(diǎn)在短軸的兩側(cè)。

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)（用a，k表示）；

（2）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍。

分析（2）：點(diǎn)A（0，1）為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)。由對(duì)稱性知，如圖2，若圓與橢圓在y軸的左側(cè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則它們會(huì)有4個(gè)公共點(diǎn)，不滿足條件；故圓與橢圓在y軸的左側(cè)最多有一個(gè)交點(diǎn)，記B為圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，如圖3，則半徑AB長(zhǎng)隨著B(niǎo)點(diǎn)從A點(diǎn)移動(dòng)到（0，-1）過(guò)程中是單調(diào)遞增的，即橢圓上和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)距離最大的點(diǎn)在短軸的另一個(gè)端點(diǎn)處，由結(jié)論1知：離心率的取值范圍是

二、拋物線上和其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)距離最小的點(diǎn)位置問(wèn)題

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記A(a，0) ，B為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求AB距離最小值。

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)B(x，y)，則，

消去y得：|AB|2=x2+（2p-2a）x+a2。

這是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，其中x∈[0，+∞]，對(duì)稱軸方程：x=a-p。

（1）當(dāng)a-p≤0，即a≤p時(shí)，B點(diǎn)在位置（0,0）處，AB距離最?。?/p>

（2）當(dāng)a-p＞0，即a＞p時(shí)，B點(diǎn)在位置（a-p，±處，AB距離最小。

圖2

圖3

圖4

圖5

結(jié)論2：當(dāng)a≤p時(shí)，拋物線上到定點(diǎn)A(a，0)距離最小的點(diǎn)在頂點(diǎn)；

當(dāng)a＞p時(shí)，拋物線上到定點(diǎn)A(a，0)距離最小的點(diǎn)在對(duì)稱軸的兩側(cè)。

結(jié)論應(yīng)用：如圖6所示，酒杯的杯體軸截面是拋物線x2=2py（p＞0）的一部分，若將半徑為r(r＞0)的玻璃球放入杯中，可以觸及酒杯底部（即拋物線的頂點(diǎn)），則r的最大值為_(kāi)________ 。

分析：由圖給出的數(shù)據(jù)得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2y，p=1。

玻璃球可以觸及酒杯底部，等價(jià)于球心到拋物線頂點(diǎn)的距離是球心到拋物線上所有點(diǎn)的距離中的最小值。由結(jié)論2知：a≤p，即r≤1，則r的最大值為1。

圖6